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1、高一数学必修一全册知识点（定义、公式、定理）第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1）列举法：a,b,c2）描
2、述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-323）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4）Venn 图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合2(3)空集不含任何元素的集合例：x|x=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：A B有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。B反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AA或 B2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)2实例：设 A=x|x-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相
3、等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。nn-1有 n 个元素的集合，含有2 个子集，2个真子集三、集合的运算运算交集类型定由所有属于 A 且属义于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B的交集 记作 AB（读作A 交 B），即AB=x|xA，且xB 韦恩图示并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集记作：AB（读作A
4、并 B），即AB=x|xA，或xB)补集设 S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由 S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作CSA，即CSA=x|xS,且xASABABA图1图 2AA=A性性A=AB=BAABA质质 ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=例题：1.1.下列四组对象，能构成集合的是下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有个3.若集合
5、 M=y|y=x-2x+1,xR,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 .24.设集合 A=x1 x 2，B=x x a，若 AB，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。6.用描述 法表示 图中 阴 影 部分 的 点（含边 界上 的 点）组成 的 集合M=.7.已知集合 A=x|x+2x-8=0,B=x|x-5x+6=0,C=x|x-mx+m-19=0,若BC，AC=，求 m 的值2222二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照
6、某个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域注意：1 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过
7、四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(
8、x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的
9、；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就
10、说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取 x，x D，且 x x；2作差 f(x)f(x)；3变形（通常是
11、因式分解和配方）；4定号（即判断差 f(x)f(x)的正负）；5下结论（指出函数 f(x)在给定的区间D 上的单调性）12121212(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x
12、)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1
13、 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调
14、递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；例题：1.求下列函数的定义域：y x12x2 2x 15y 1()x1x 3 32.设函数f(x)的定义域为0，1，则函数f(x2)的定义域为_ _3.若函数f(x1)的定义域为2，3，则函数f(2x1)的定义域是x2(x 1)4.函数，若f(x)3，则x=f(x)x2(1 x 2)2x(x 2)5.求下列函数的值域：y x2 2x3(xR)y x2 2x 3x1,2(3)y x 12x (4)y x24x56.已知函数f(x1)x24x，求函数7.已知函数f(x)，f(2x1)的解析式f(x)满足2f(x)f(
15、x)3x4，则f(x)=。8.设f(x)是 R 上的奇函数，且当x0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时f(x)=f(x)在 R 上的解析式为x22x3y x26 x 19.求下列函数的单调区间：y x2 2x3y 10.判断函数y x31的单调性并证明你的结论11.设函数f(x)1 x2判断它的奇偶性并且求证：1f()f(x)21 xx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数y f(x)的图
16、象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y ax bx c(a 0)（1），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程ax bx c 0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程ax bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点22225.函数的模型收集数据画散点图不符选择函数模型合实际求函数模型检验符合实际用函数模型解释实际问题