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1、20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）（新课标卷）理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷
2、上无效。本试卷上无效。3 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷第卷一一选择题：选择题：本大题共本大题共 1212 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。（1 1）设集合）设集合M 0,1,2，N=x x23x2 0，则，则MN(A)(A)1(B)(B)2(C)(C)0,1(D)(D)1,2解析：解析：N=x x23x2 0 x1 x 2，
3、MN 1,2答案：答案：D D（2 2）设复数）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 2i，则，则z1z2(A)(A)5(B)(B)5(C)(C)4i(D)(D)4i解析：解析：z1 2i，z2 2i，z1z2(2 i)(2i)i222 5答案：答案：A A（3 3）设向量）设向量a a，b b满足满足a ab b 10，a ab b 6，则，则a ab b=(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)5(D)5解析：解析：a ab b 10，a ab b 6，(a a b b)210，(a a b b)2 6由由得：得：a ab b=
4、1答案：答案：A A（4 4）钝角三角形）钝角三角形ABC的面积是的面积是，AB 1，BC 2，则，则AC(A)5(A)51212(B)(B)512(C)2(C)212(D)1(D)12，2解析：解析：SABC|AB|BC|sin B，即：，即：12sin B，sin B 即即B 45或或135又又|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B|AC|21或或 5 5，又，又ABC为钝角三角形，为钝角三角形，|AC|2 5，即：，即：AC 5答案：答案：B B（5 5）某地区空气质量监测资料表明，某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是一天的空气质量为优良的概率是 0
5、.750.75，连续两天为优良的概率是连续两天为优良的概率是 0.60.6，已知某天的空气质量为优良，则随后，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是一天的空气质量为优良的概率是(A)0.8(A)0.8(B)0.75(B)0.75(C)0.6(C)0.60.6 0.80.75(D)0.45(D)0.45解析：此题为条件概率，所以解析：此题为条件概率，所以P 答案：答案：A A（6 6）如图，网格纸上正方形小格的边长为）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 1（表示（表示 1cm1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一
6、个底面半径为面半径为 3cm3cm，高为，高为 6cm6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为172710(C)(C)27(A)(A)591(D)(D)3(B)(B)解析：原来毛坯体积为：解析：原来毛坯体积为：326 54(cm2)，由三视图得，该零件由左侧底，由三视图得，该零件由左侧底面半径为面半径为 2cm2cm，高为，高为 4cm4cm 的圆柱和右侧底面半径为的圆柱和右侧底面半径为 3cm3cm，高为，高为 2cm2cm 的的圆柱构成，所以该零件的体积为：圆柱构成，所以该零件的体积为：224322
7、 34(cm2)，则切削，则切削掉部分的体积为掉部分的体积为5434 20(cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为坯体积的比值为答案：答案：C C（7 7）执行右面的程序框图，如果输入的）执行右面的程序框图，如果输入的x，t均为均为 2 2，则输出的则输出的S(A)(A)4是20105427开始t输入x，S 3M 1，k 1k t否(B)(B)5M(C)(C)6(D)(D)711Mxk输出S结束S M Sk k 1解析：输入的解析：输入的x，t均为均为 2 21 2是，是，M 2 2，2S 235，k 11 2；2 2是，是，M 2 2，2S 25 7
8、，k 213，3 2否，输出否，输出S 7答案：答案：D D（8 8）设曲线）设曲线y axln(x1)在点在点(0,0)处的切线方程处的切线方程为为y 2x，则，则a(A)(A)0解析：解析：y a即即a 3答案：答案：D D(B)(B)1(C)(C)2(D)(D)311，且在点且在点(0,0)处的切线的斜率为处的切线的斜率为 2 2，y|x0 a 2，01x1x y7 0（9 9）设）设x，y满足约束条件满足约束条件x3y1 0，则，则z 2x y的最大值为的最大值为3x y5 0(A)(A)10(B)(B)8(C)(C)3(D)(D)2l2x y7 0y解析：作出解析：作出x，y满足约束
9、条件满足约束条件x3y1 0表示表示3x y5 0的平面区域如图阴影部分：做出目标函数的平面区域如图阴影部分：做出目标函数l0：y 2x，y 2x z，当，当y 2x z的截距的截距ACx3y1 01OB最小时，最小时，z有最大值。有最大值。当当y 2x z经过经过C点时，点时，z有最大值。有最大值。x3y1 0由由得：得：C(5,2)x y7 0l02xx y7 0l13x y 5 0此时：此时：z有最大值有最大值252 8答案：答案：B B（1010）设设F为抛物线为抛物线C：y2 3x的焦点，的焦点，过过F且倾斜角为且倾斜角为30的直线交的直线交C于于A，B两点，两点，O为坐标原点，则为
10、坐标原点，则OAB的面积为的面积为3 3(A)(A)49 3(B)(B)8(C)(C)6332(D)(D)33(x)，3494解析：解析：F(,0)，设，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线，直线AB的方程为的方程为y 34代入抛物线方程得：代入抛物线方程得：x2219219x 0，x1 x2，x1x2216216由弦长公式得由弦长公式得|AB|(1k2)(x1 x2)24x1x2 12由点到直线的距离公式得：由点到直线的距离公式得：O到直线到直线AB的距离的距离d|3300|3438322()(1)3SOAB12答案：答案：D D（1111）直三棱柱）直三棱柱ABC A1B1C1中，中
11、，BCA 90，M，N分别是分别是A1B1，A1C1的中的中点，点，BC CA CC1，则，则BM与与AN所成角的余弦值为所成角的余弦值为(A)(A)110123894(B)(B)25(C)(C)3010(D)(D)C22PB解析：如图所示，取解析：如图所示，取BC的中点的中点P，连结，连结NP、APM，N分别是分别是A1B1，A1C1的中点，的中点，四边形四边形NMBP为平行四边形，为平行四边形，BM所求角的余弦值等于所求角的余弦值等于ANP的余弦值的余弦值不妨令不妨令BC CA CC1 2，则，则AN AP 5NP MB 6，PNAC1NA1B1M|AN|2|NP|2|AP|2(5)2(6
12、)2(5)230cosANP 2|AN|NP|102 5 6答案：答案：C C（1212）设函数）设函数f(x)3sinxm若存在若存在f(x)的极值点的极值点x0满足满足x02 f(x0)2 m2，则则m的取值范围是的取值范围是(A)(A)(,6)(6,)(C)(C)(,2)(2,)解析：解析：f(x)3cosm(B)(B)(,4)(4,)(D)(D)(,1)(1,)，令，令f(x)3cosmxmx1 0得：得：x m(k)kZ Zm22x0 f(x0)2 m21x0 m(k)kZ Z2，又又，1m2(k)2 3sin(k)2 m22211即：即：3 m21(k)2，1(k)2 0，故：，故
13、：k 02213 m21()2，即：，即：m2 4，故：，故：m 2或或m 22答案：答案：C C第卷第卷本卷包括必考题和选考题两部分。本卷包括必考题和选考题两部分。第第 1313 题第题第 2121 题为必考题，题为必考题，每个试每个试题考生都必须做答。第题考生都必须做答。第 2222 题第题第 2424 题为选考题，考生根据要求做答。题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。（1313）(xa)10的展开式中，的展开式中，x7的系数为的系数为15，则，则a （用数字填（用数字填写答案）写答案）r10rrxa，10r
14、 7，即，即r 3，解析：解析：Tr1 C10373x a 15x7，解之：，解之：a T4 C1012答案：答案：（1414）函数）函数f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为的最大值为解析：解析：f(x)sin(x2)2sincos(x)sin(x)2sincos(x)sincos(x)cossin(x)2sincos(x)cossin(x)sincos(x)sin x12f(x)的最大值为的最大值为 1 1答案：答案：1 1（1515）已知偶函数）已知偶函数f(x)在在0,)单调递减，单调递减，f(2)0若若f(x1)0，则，则x的取的取值范围是值范围是解析：解析：f(x)是
15、偶函数，是偶函数，f(x1)0 f(x1)0 f(2)，又又f(x)在在0,)单调递减，单调递减，x1 2，解之：，解之：1 x 3答案：答案：(1,3)（1616）设点）设点M(x0,1)，若在圆，若在圆O：x2 y21上存在点上存在点N，使得，使得OMN 45，则，则yx0的取值范围是的取值范围是M解析：由图可知点解析：由图可知点M所在直线所在直线y 1与圆与圆O相切，相切，ONOM又又ON 1，由正弦定理得：，由正弦定理得：sinOMNsinONMONx1OM，即：，即：OM 2sinONM2sinONM2又又0 ONM，OM 2，即，即x021 2，解之：，解之：1 x01答案：答案：
16、1,1三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（1717）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知数列已知数列an满足满足a11，an1 3an1（）证明（）证明an 是等比数列，并求是等比数列，并求an的通项公式；的通项公式；（）证明（）证明1113 a1a2an2121112 3解析：解析：（）证明：（）证明：an1 3an1，an1 3(an)，即：，即：122(an)21313又又a1，an 是以是以为首项，为首项，3 3 为公比的等比数列为公比的等比数列2222an13n113n1an3，即，即an2223n1121
17、（）证明：由（）知（）证明：由（）知an，nn1(nN*N*)an3 13211()n111111331(1)n312n1a1a2an33323213故：故：1113 a1a2an2P（1818）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）E如图，四棱锥如图，四棱锥P ABCD中，底面中，底面ABCD为矩为矩形，形，PA平面平面ABCD，E为为PD的中点的中点（）证明：（）证明：PB平面平面AEC；BCAD（）设二面角（）设二面角D AE C为为60，AP1AD 3，求三棱锥，求三棱锥E ACD的体积的体积解析：解析：（）证明：连结（）证明：连结BD交交AC于点于点O，连结，连结OE底面底面A
18、BCD为矩形，点为矩形，点O为为BD的中点，又的中点，又E为为PD的中点，的中点，OEPBOE 平面平面AEC，PB 平面平面AEC，PB平面平面AEC（）以（）以A为原点，直线为原点，直线AB、AD、AP分别为分别为x、y、z轴建立空间直轴建立空间直角坐标系，角坐标系，设设AB a，则则D(0,3,0)，A(0,0,0)，E(0,3 1,)，C(a,3,0)，22AE (0,3 1,)，AC (a,3,0)，设设n (x,y,z)是平面是平面AEC的法向量，的法向量，22a31y xyz 0n AE 3，令令x 3，得得则则，解解 之之：22n AC ax3y 0z 3yn (3,a,3a)
19、又又AB (a,0,0)是平面是平面AED的一个法向量，的一个法向量，cos AB,n 11323aa 34a2 cos60 1231，解之，解之a 221132312238VEACD|AD|CD|AP|3（1919）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）某地区某地区 20072007 年至年至 20132013 年农村居民家庭人均纯收入年农村居民家庭人均纯收入y y（单位：千元）的（单位：千元）的数据如下表：数据如下表：年份年份年份代号年份代号t人均纯收人均纯收2.92.9入入y y（）求（）求y y关于关于t的线性回归方程；的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析（）利用（）中
20、的回归方程，分析20072007 年至年至 20132013 年该地区农村居年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区并预测该地区 20152015 年农村居民家庭人均纯年农村居民家庭人均纯收入收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：3.33.33.63.64.44.44.84.85.25.25.95.9200720072008200820092009201020102011201120122012201320131 12 23 34 45 56 67 7b(ti1nit)(yi y)i(t
21、i1n，a ybtt)2解析：解析：（）由题意得：（）由题意得：t 4，y b 2.93.33.64.44.85.25.9 4.37(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.6 0.5(3)2(2)2(1)202122232a ybt 4.30.54 2.3故：所求线性回归方程为：故：所求线性回归方程为：y 0.5t 2.3（）由（）中的回归方程的斜率（）由（）中的回归方程的斜率k 0.5 0可知，可知，20072007 年至年至 20132013 年年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加令令t 9得：得：y 0.592.36
22、.8，故：预测该地区故：预测该地区 20152015 年农村居民家庭人均纯收入为年农村居民家庭人均纯收入为 6.86.8 千元。千元。（2020）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）x2y2设设F1，F2分别是椭圆分别是椭圆C：221(a b 0)的左，右焦点，的左，右焦点，M是是C上一上一ab点且点且MF2与与x轴垂直直线轴垂直直线MF1与与C的另一交点为的另一交点为N（）若直线（）若直线MN的斜率为的斜率为，求，求C的离心率；的离心率；（）若直线（）若直线MN在在y轴上的截距为轴上的截距为 2 2，且，且MN 5 F1N，求，求a，bb23解析：解析：（）由题意得：（）由题意得：F
23、1(c,0)，M(c,)，MN的斜率为的斜率为a434b2c13a，又，又a2b2c2，解之：，解之：e 或或2（舍）（舍）a22c431故：直线故：直线MN的斜率为的斜率为时，时，C的离心率为的离心率为42b2（）由题意知：点（）由题意知：点M在第一象限，在第一象限，F1(c,0)，M(c,)，直线，直线MN的的ab2b2x2；斜率为：斜率为：，则，则MN：y 2ac2acb2(c)2，得，得b2 4aF1(c,0)在直线在直线MN上，上，0 2acb2cb2MN 5 F1N，MF1 4 F1N，且，且MF1(2c,)，F1N (,)a24ab49c223cb23cb216a4N(,)，又，
24、又N(,)在椭圆在椭圆C上，上，22124a24aab联立、解得：联立、解得：a 7，b 2 7（2121）（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知函数已知函数f(x)exex2x（）讨论（）讨论f(x)的单调性；的单调性；（）设（）设g(x)f(2x)4bf(x)，当，当x 0时，时，g(x)0，求，求b的最大值；的最大值；（）已知（）已知1.4142 2 1.4143，估计，估计ln2的近似值（精确到的近似值（精确到 0.0010.001）解析：解析：（）（）f(x)ex12 0，f(x)在在R R上单调递增上单调递增ex请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选
25、一题做答，如果多做，则按所做的第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分。一题给分。做答时请写清题号。做答时请写清题号。A（2222）（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修41：几何证明选讲：几何证明选讲如图，如图，P是是O外一点，外一点，PA是切线，是切线，A为切点，为切点，割线割线PBC与与O相交与相交与B，C，PC 2PA，D为为PCP的中点，的中点，AD的延长线交的延长线交O与点与点E证明：证明：B（）（）BE EC（）（）ADDE 2PB2（2323）（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程ODCE在直角坐标系
26、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆标系，半圆C的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos，0,2（）求（）求C的参数方程；的参数方程；（）设点（）设点D在在C上，上，C在在D处的切线与直线处的切线与直线l：y 3x 2垂直，根据垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定（）中你得到的参数方程，确定D的坐标的坐标解析：解析：（）设点（）设点M(x,y)是曲线是曲线C上任意一点，上任意一点，2cos，x2 y2 2x，即：，即：(x1)2 y21C的参数方程为的参数方程为x 1cos，为参数为参数y sin（）（）设点设点
27、D(1cos,sin)，C在在D处的切线与直线处的切线与直线l：y 3x 2垂垂直直11sinsin sin32222，又，又sincos1，解之：，解之：或或 cos3cos 3cos322点点D的坐标为：的坐标为：(13 131,)或或(1,)2222（2424）（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修45：不等式选讲：不等式选讲设函数设函数f(x)|x|xa|(a 0)（）证明：（）证明：f(x)2；（）若（）若f(3)5，求，求a的取值范围的取值范围解析：解析：（）（）f(x)|x|xa|(x)(xa)|a|，且，且a 0f(x)a 2，当且仅当，当且仅当a 1时，取“时，取“”故：故：f(x)2（）（）f(3)5，f(3)|3|3a|3|a3|5即：即：3|a3|5a 30 a 3或或113a3 533a 5aa1a1a1a1a1a1a1a1a解之：解之：15521 a 22