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1、二次函数学案二次函数学案二次函数（一）二次函数（一）【知识点 1】二次函数的概念：形如 y=ax2+bx+c（a0a0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数。若 b=c=0，则 y=ax2练习：练习：1、下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出 a，b，c？（1）y=2-3x；（2）y=x(x-4)；（3）y=2若 b=0，则 y=ax2+c2若 c=0，则 y=ax2+bx；122x-3x-1；（4）y=4x（1-x）+4x；22、已知圆的 面积是Scm2，圆的 半径是Rcm，则 圆的 面积S与半径R之间的 函数 关系式：3、已知一个矩形的周长是 60m，一边长是 x
2、 m，写出这个矩形的面积 S（m2）与这个矩形的一边长 x 之间的函数关系式。5、若【知识点 2】y=axy=axxy=xy=2y(m m)x2m2m是二次函数，求 m 的值。2 2的图像和性质：的图像和性质：用描点法画建立坐标系画出下列二次函数的图象然后研究其性质：000012x22y=2x1_ y_ 5_ 4_ 3_ 2_ 1_-5-_4-_3-_2x _-_1O_-1_-2_-3_-4_-5_ 1_ 2_ 3_ 4_ x开口方向函数增减性顶点坐标（最值）对称轴a 0a 0a 0a 0和坐标轴的交点y ax26、已知点 A（3，a）在抛物线 y=x2上，（1）求 a 的值。（2）点 B（3
3、，-a）在抛物线 y=x 上吗？27、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求 m 的值。2二次函数（二二次函数（二）【知识点】y=ax2+c 的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：x-3-2-10123y=x29410149y=x2+1y=x2-1y54321-5-4-3-2x-1O1234x-1-2-3-4-5【讨论】y=ax2+c 的图像和 x 轴的交点情况：开口方向增减性函数顶点坐标（最值）对称a 0a 0轴a 0 a 0和坐标轴的交点y ax2y ax2c1、y 3x22的图象可由抛物线y 3x2的图象向平移个单位得到，对称轴是；它的顶点坐标是，当 x=时，函数有最值
4、为2、若抛物线 y=ax2+c 的顶点在 y 轴上，且过点（1，3）和（2，6），求此抛物线的解析式。3抛 物 线4、函数y 11x 1与y x2在同一直角坐标系中的图象大致为（）22yyyyOxOxOxxABCD6、已知二次函数 y（m 1）x2m22m1+m2，则 m。7.下列判断中正确的是()a、b、c 均为实常数的函数 yax bxc 是二次函数二次函数 yax bxc 中，三个实常数 a、b、c 之积不为 0二次函数 yax2bxc 中，a、b、c 三个实常数中必须 a0函数 yax2bxc 中，若 a0，则此函数必为一次函数A、B、C、D228.若点 P(1,a)和 Q(-1,b)
5、都在抛物线y=X2+1 上，则线段PQ 的长是9.（2009 年北京市中考）23.已知关于x的一元二次方程2x 4x k 1 0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y 2x24xk 1的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；24二次函数（三）二次函数（三）【知识点】y a(xh)2的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：x2y=（x+1）y=（x-1）开口方向函数增减性顶点坐标对称轴2y54321-5-4-3-2x-2-1012-1O-1-2-3-4-51234xa 0和坐标轴的交点a 0向下a 0a 0y
6、ax2y ax2cy a(xh)21、抛物线y 向上向上向上向下向下11(x 2)2的图象可由抛物线y x2向平移个单位得到，33它的顶点坐标是，对称轴是；当 x=时，函数有最值，是。图像和x,y轴的交点坐标为。2、把 y=3x2-5 的图象向上平移 5 个单位，再向左平移 3 个单位得到的函数为_.3、已知抛物线l1和x轴有且只有一个交点（3，0），并且l1过点（1，8），求l1的解析式。5二次函数（四）二次函数（四）【知识点】y a(xh)2k的图像和 性质：用描点 法画下 列二次 函数的 图象然后 研究其 性质：xy x2y (x1)2-2-1012y (x1)1-51、把y2y-3-2
7、x11234-4-1O-1-2-3-4-5x 3x2的图象向上平移 2 个单位得抛物线，再向左平移 3 个单位得抛物线。2、把y 2x2的图象向平移个单位得抛物线y 2x 42，再向平移单位得抛物线y 2(x4)25。1(x1)25的开口_，对称轴是，顶点坐标是，2和x轴的交点坐标是，和y轴的交点坐标是，当x时，y有最值；3、抛物线y 当x时，y随x的增大而减小。函数开口方向增减性a 0向上向上向上2a 0向下向下向下顶点坐标对称轴和坐标轴的交点a 0a 0y ax2y ax2cy a(x h)2y a(x h)k顶点式向上向下62y a(xh)k的二次函数解析式称作二次函数的顶点式形如顶点为
8、对称轴为最值为2 2例：例：二次函数y y 2 2(x x 1 1)4 4的图象的开口方向_顶点坐标是_对称轴是_,当 X_时,Y 随着 X 的增大而增大,当 X_时,Y 随着 X 的增大而减少，当 X=_时函数有最_值，最_值是_1抛物线y(x3)2的开口方向,对称轴是，顶点坐标为，在对称轴左侧，即x时，y 随x增大而；在对称轴右侧，即x时，y 随x增大而，当x=时，y 有最值为.2抛物线y 3(x 2)2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴左侧，即x时，y 随x增大而，在对称轴右侧,即x时 y 随x增大而，当x=时，y 有最值为.3将抛物线y x2沿 x 轴向平行移动个单位，可得到抛
9、物线y(x5)2；沿 x 轴向平行移动个单位，可得到抛物线y(x5)2.4.抛物线 y=5顶点为(6，0)，开口向下，形状与函数y 1413131312(x+3)的顶点坐标是_.212x的图象相同的抛物线所对应的函数是（）22 22 2A.y=1 1(x6)2B.y=1 1(x+6)2C.y=1 1(x6)2D.y=1 1(x+6)22 22 26要得到抛物线y 11(x4)2，可将抛物线y x2()33A向上平移 4 个单位B向下平移 4 个单位C向右平移 4 个单位D向左平移 4 个单位7.抛物线 y=m(x5)2经过点（0，3），则抛物线解析式为.8.已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)
10、，且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式。73、用配方法把下列函数写成 y=a(x-h)+k 的形式，画出草图并说明其开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：（1）y x24x3(2)y 4、根据配方的原则，将y ax2bx c化为y a(x h)2 k的形式，并说明其开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：练习：练习：写出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：（1）y x25x 8(2)y 3x2 2x(3)y 2x24x3二次函数（六）二次函数（六）【知识点】二次函数 y=ax +bx+c（a 0）的系数 a,b,c 的符号和图像的关系：1、a
11、的符号决定开口方向（），a大小决定开口大小（）;2、抛物线与 y 轴交点坐标为（，），所以 c 的符号决定抛物线与 y 轴交点的位置（c 0时，c 0时，c 0时，）;3、抛物线的对称轴为，所以 a,b 的符号决定对称轴的位置（a,b 同号时，a,b 异号时，）4、当x 1时，y，当x 1时，y 当x 2时，y，当x 2时，y 2212x 2x 3285、如果 a0,c0,那么二次函数 y=x +bx+c 的图象为（）6、已知二次函数y ax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.ab 0，c 0B.ab 0，c 0C.ab 0，c 0D.ab 0，c 027、已知一次函数 yaxc
12、 与二次函数 yax bxc（a0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）yyyy6 题图yo2xOA、xOB、xOC、xOD、x8.一个二次函数的图象与抛物线y 3x2的形状相同,且顶点为(1,4),那么这个函数的关系式是_.9.顶点在原点且以y轴为对称轴的抛物线过点（2，-4），求此抛物线的解析式；10.已知二次函数的图像的顶点坐标为（1，-6），且经过点（2，-8）,求这个二次函数的关系式.911.二次函数图象与 x 轴有两个交点 A（-3，0）、B（1，0），顶点到 x 轴的距离是 4，求此二次函数的解析式.第五讲：二次函数（四）第五讲：二次函数（四）二次函数（七）二次函数（七）【知识点
13、】用待定系数法求二次函数的解析式1 二次函数的交点式若抛物线与 x 轴有一个或两个交点（x1，0），（x2，0）则抛物线可以写为：y=a（x-x1）（x-x2），我们把这种形式叫做二次函数的交点式或双根式求下列格式与 x 轴 y 轴交点的坐标2(1)(4)y x x 12(2)y x2 x6(3)y x210 x 24y x28x20(5)y2 2y 35 0(1)y x27x 10小结我们学过的三种解析式的形式：(1)一般式：y=ax+bx+c(a0)（2）顶点式：y a(x h)k(a 0)(3)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，22102、求二次函数解析式(1)一般式：y=
14、ax+bx+c(a0)（2）顶点式：y a(x h)2 k(a 0)(3)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，例 1：已知二次函数的图象经过点（1，1），（2，5），（0，5），求二次函数解析式。例 2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-1，2），且过点（2，-3），求二次函数解析式。例 3：已知二次函数的图象经过点（-4，0）（6，0），（2，2），求二次函数解析式。例 4：二次函数的图象过4，3点，且 x3 时，二次函数有最大值1，求此函数的解析式。211例 5：已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为2，4，且ymin 9，求二次函数解析式。2例6：已 知 二次 函 数y x22(
15、m1)x2(m1)的图 像的 顶 点在 直 线y 4上，求 二次 函 数解 析 式。例 7：抛物线图象经过0，1和3，2两点，顶点在直线 y3x3 上，开口向下，求该图象的函数解析式。2例 8：已知二次函数yax bxc，当x 1时，ymin 4，且图像在x轴上截得的线段长为 4，求二次函数解析式。12例 9：二次函数y ax2bxc的部分对应值如下表：（1）xy251003142330二次函数图象所对应的顶点坐标为.（2）当x 4时,y.（3）二次函数的解析式为.例 10：已知抛物线经过直线y 例 11：抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A3，0，对称轴为x1，顶点到x 轴的距离为 2
16、，求该图象的函数解析式。例 12：已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与 x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式。3x 3与两坐标轴的交点，且过1，1，求抛物线的函数解析式。213例 13：已知：二次函数y x2mx m2（1）求证：不论 m 为任何实数，该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，确定 m 的值，并写出二次函数的解析式例 14：二次函数y ax2bxc的图像与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于 A 点根据图像确定 a、b、c 的符号，并说明理由；如果点 A 的坐标为（0，3），ABC45，ACB60，求这个二次函数的解析式
17、例 15：、如图，直角梯形OABC中，O为坐标原点，OA OC，点C的坐标是(0，8)，以点B为顶点的抛物线y ax2bxc经过原点和x轴上的点A求抛物线的解析式。14例 16：小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 y=的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m.抛物线的顶点坐标；求出球飞行的最大水平距离；若小明第二次仍从此处击球，使其最大高度不变，而球刚好进洞，则球飞行的路线满足抛物线的解析式是什么？14x+2x，其中 y(m)是球2二次函数复习巩固:1、抛物线 y=-3x2+5x-4 开口,y=4x2 6x+5 开口.2、抛物线 y=1
18、(x3)21 开口向，顶点坐标是，对称轴是.23、二次函数 y=2x2-4x-3，当 x=时，有最大值，是.4、二次函数 y=2x2-4x-3，当 x=时，有最大值，是5、抛物线y x2 4x 3的顶点坐标是6、抛物线 y 2x 4x 1的顶点关于 x 轴对称的点的坐标为.7、抛物线 y（x1）21 的顶点坐标是（）A、（1，1）B、（1，1）C、（1，1）D、（1，1）28、抛物线 y（x2）3 的对称轴是()A、直线 x3B、直线 x3C、直线 x2D、直线 x29、抛物线 y(x1)22 的顶点坐标是（）A、(1，2)B、(1，2)C、(1，2)D、(1，2)10、抛物线y x2 2x
19、3的对称轴是直线（）A.x 2B.x 2C.x 1D.x 1211、二次函数y (x 1)2 2的最小值是（）A.2B.2C.1D.11512、抛物线y x2 2x 3的对称轴是直线（）A.x 2B.x 2C.x 1D.x 113、二次函数y (x 1)2 2的最小值是（）A.2B.2C.114、指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标22D.1（1）y=-2(x 3)7（2）y=-4（x+2）+5（3）y x21（4）y 3(x 5)215、已知二次函数y x2；y 3x2；y x2；y 15x2；95y 4x2；y 4x2.（1）其中开口向上的有；（2）开口向下,且开口最大的是；（3）当
20、自变量由小到大变化时，函数值逐渐变大，然后逐渐变小的有.16、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）10y8x2（2）12y x（3）y2x233（4）y 1211x（5）y 3(x 2)2（6）y 2(x)2523（7）y (x 2)21（8）y (x 3)22（9）y x24x 1（10）y x26x 2（3）y 3x218x 917、抛物线 yx22x2 的顶点坐标是（）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）18、填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标12x21y x2121y (x 1)212y 1619、抛物线y x21的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_
21、.20、抛物线y x21的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_.21、抛物线y 2(x 1)23的开口向，顶点坐标是，对称轴是22、已知二次函数y 2x28x 6，通过配方化为y a(x h)2 k的形式，为，顶点坐标是，对称轴是23、抛物线y ax2bx c(a 0)的顶点坐标是，对称轴是24、抛物线y x25x 4与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是25、二次函数y 2x2 4x 3的顶点坐标是，对称轴是二次函数中考真题（2009 年顺义一模）7.抛物线y 2x24x1的顶点坐标是A(1,1):（2009 年朝阳二模）6将抛物线y x23向左平移 1 个单位长度后，得到的抛物线
22、的解析式是Ay x2 4By x2 2Cy (x 1)23Dy (x 1)23（2009 年大兴二模）11抛物线y x2bxc的部分图象如图所示，若y 0，则x的取值范围是.B(1,2)C(1,3)D(1,3)y31O1x(第 11 题图)17（2009 年房山二模）23已知抛物线y 3x22xn，（1）若 n=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求 n 的取值范围（2009 年石景山二模）23如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线y ax2bxc恰经过x轴上的点A、B（1）求点C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛yD物线的解析式已知抛物线y mx24mx 4m2(m是常数)（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴交于非负整数点，求此抛物线的解析式CO ABx第 23 题18