二次函数讲义.doc

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1、二次函数讲义章节第三章课题第14课时二次函数(一)教学重点二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定.教学难点二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律;教学过程一:【课前预习】（一）、【知识梳理】1二次函数的定义：形如( ）的函数为二次函数2二次函数的图象及性质：（1）二次函数的图象是一条 他的图像与性质如下表格： a值函 数 的 图 象 与 性 质a0、开口_ ,并且_；、对称轴是_；顶点坐标（_，_）；、当x_时，函数取得最小值_;、函数增减性：_a0、开口_ ，并且_；、对称轴是_；顶点坐标(_,_）；、当x_时，函数取得最大值_;、函数增减性：_ _3二次函数表达式的求法：

2、（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；(2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式： 其中顶点为（h，k)对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：，其中与x轴的交点坐标为（，0），（，0）(二）、【课前练习】1下列函数中,不是二次函数的是（ )A B C； D 2。 函数的图象是(3，2)为顶点的抛物线,则这个函数的解析式是（ ） A B C D3. 二次函数的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A顶点（1,4）， 对称轴 x=1 B顶点（1,4），对称轴x=1 C顶点(1，4）， 对称轴 x=4 D顶点(1，4），对称轴x=4

3、4。把二次函数化成的形式为，图象的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y随着x的增大而减小，当x 时，y随着x的增大而增大；当x= 时, 函数有 值,其 值是 ；若将该函数经过 的平移可以得到函数的图象。5直线与抛物线的交点坐标为 。二：【经典考题剖析】1。下列函数中,哪些是二次函数？ 2. 已知抛物线过三点（1，1）、（0，2）、（1，l）. （1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？3。 当 x=4时，函数的最小值为8，抛物线过点（6，0).求：(1）函数的表达式;（2）顶点坐标和对称轴

4、；（3)x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时,y随x增大而减小。4.已知二次函数的图象如图所示,试判断的符号。5。 已知抛物线 （n为常数)。（1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A是(1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B,DCx轴于C。当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在，请说明理由。三：【课后训练】1把抛物线y=（x2)21经平移得到（ ) A向右平移2个单

5、位,向上平移1个单位；B向右平移2个单位，向下平移1个单位 C向左平移2个单位，向上平移1个单位；D向左平移2个单位，向下平移1个单位2某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） Ay=x2+a； By= a（x1）2； Cy=a（1x）2； Dya（l+x）23设直线 y=2x-3，抛物线 y=x22x，点P（1，1），那么点P(1,1）（ ） A在直线上，但不在抛物线上； B在抛物线上，但不在直线上 C既在直线上，又在抛物线上; D既不在直线上，又不在抛物线上4二次函数 y=2（x3）2+5的图象的开口方向、对称轴和

6、顶点坐标分别为（ ） A开口向下,对称轴x=3，顶点坐标为（3，5） B开口向下，对称轴x3，顶点坐标为（3，5） C开口向上，对称轴x=3，顶点坐标为（3，5） D开口向上,对称轴x=3,顶点坐标为（3，5）5已知是二次函数；当a_时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y轴的交点坐标 。 6抛物线如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是 7求下列函数的解析式（1)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且经过点（l，1），(4，0）两点6题(2）已知抛物线与 x轴交于点(1，0）和(2，0）且过点 (3，4)，8已知函数（1）用配方法将解析式化成顶点式.（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标

7、；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小（4）求出函数图象与坐标轴的交点坐标。9阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化 例如:由抛物线，有y=，所以抛物线的顶点坐标为(m，2m1），即当m的值变化时,x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将代人，得y=2x1可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x1,回答问题：(1）在上述过程中，由到所用的数学方法是_，其中运用了_公式，由得到所用的数学方法是_；(2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐

8、标x之间的关系式 。四：【课后小结】布置作业见探究在线教后记课时15。二次函数的图象与性质（二）习题课【课前热身】1（10 济南）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是( ）A3B2C1D0yOx132(10金华）若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 。3。 (10 天津）已知二次函数 （)的图象如图所示，有下列结论：；其中，正确结论的个数是 。4已知二次函数的图象经过A(0,1)，B(1，0),C（1，0），那么此函数的关系式是 .如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值_【考点链接】1 二次函数的解析式

9、：（1）一般式： ；(2)顶点式： ； (3）交点式： .2顶点式的几种特殊形式。 ， , ，（4） . 3抛物线与轴的交点有两个交点 有一个交点（顶点在轴上） 没有交点 抛物线与轴两交点：若抛物线与轴两交点为，则当时,x的范围_时,x的范围_ 时，x的范围_时，x的范围_【典例精析】例1已知二次函数的图像过点A（0,5）求m的值，并写出二次函数的关系式求二次函数图像的顶点坐标,对称轴以及与x轴的交 点坐标画出图像示意图，根据图像说明,x在什么范围内取值时，？例2如图所示，求二次函数的关系式。例3已知一元二次方程的一根为 2 （1）求q关于p的关系式; （2)求证:抛物线与轴有两个交点； （3

10、)设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（，0）、B(,0)两点，求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式 【当堂反馈】1（10蚌埠）已知函数，并且是方程的两个根，则实数的大小关系可能是 A B C D2（10 三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A B C D3已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和（0，5)两点，求二次函数的关系式。【课后精练】1已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。2(10红河）做出二次函数的图像，并将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位。（1）画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式；（

11、2)求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时，函数值大于0？3（10益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（2,0)，B（6，0），C（0，3)。(1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）过点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标；（3)若抛物线的顶点为，连结C、D，判断四边形CEDP的形状,并说明理由.4中考复习指南P56 18教学目标（知识、能力、教育）1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与轴的交点情况；3。会利用韦达定理解决有关二次函

12、数的问题。4。会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点二次函数性质的综合运用教学难点二次函数性质的综合运用教学过程一:【课前预习】（一）、【知识梳理】1二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况。(2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根。（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=a

13、x2+bx+c有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根;当二次函数yax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根。2。二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.3。解决实际问题时的基本思路：(1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系;（4)利用

14、二次函数的有关性质进行求解；(5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等。（二）、【课前练习】1。 直线y=3x-3与抛物线y=x2 x+1的交点的个数是（ ）A0 B1 C2 D不能确定2。 函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根情况是( ） A有两个不相等的实数根; B有两个异号实数根 C有两个相等实数根; D无实数根3。 不论m为何实数，抛物线y=x2mxm2（ ） A在x轴上方； B与x轴只有一个交点 C与x轴有两个交点; D在x轴下方4. 已知二次函数y =x2x6（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;(2）画出函数图象;（3)观察图象，指出方程x2x-6=0的解；（4）求

15、二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积。二：【经典考题剖析】1. 已知二次函数y=x26x+8，求： （1)抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3)画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： 方程x2 6x8=0的解是什么? x取什么值时，函数值大于0？ x取什么值时，函数值小于0？ 2. 已知抛物线yx22x8， （1）求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; （2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P,求ABP的面积3.如图所示,直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角ABC，BAC=90o,过C作CD

16、轴，垂足为D（1）求点A、B的坐标和AD的长(2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式4。如图,在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,回答下列问题:（1）设运动后开始第t（单位：s)时,五边形APQCD的面积为S(单位：cm2），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围（2）t为何值时S最小?求出S的最小值5. 如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点,抛物线经过点A、P、O（原点）.（1）求过A、P、O的抛物线解析式;(2）在（1)中所得到的抛物

17、线上,是否存在一点Q,使QAO450，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.三:【课后训练】1.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A。2 B。12 C。24 D.2或242。已知二次函数(0)与一次函数（0）的图像交于点A（2,4），B(8,2）,如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A. B。 C. D.或 3.如图,抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A。.4个 B。3个 C。2个 D.1个4。设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点,线段OA与OB的比为13，则的

18、值为( ) A.或2 B. C.1 D.25。已知二次函数的最大值是2，它的图像交轴于A、B两点，交 轴于C点，则 。6。如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米）7。已知二次函数（0）的图像过点E(2，3)，对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（,0）,且，。（1）求这个二次函数的解析式；(2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。8。已知抛物线与轴交于点A（，0）,B（,0）两点

19、，与轴交于点C,且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；(2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等,求直线PH的解析式；9。已知如图，ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm,若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上,且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，SBDEF=y cm2求:（1）y与x的函数关系式；(2）自变量 x的取值范围；(3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？10。设抛物线经过A（1,2），B（2,1）两点,且与轴相交于点M.（1)求和（用含的代数式表示）；（2）求抛物线上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；（3)在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线上，试判断直线AM和轴的位置关系，并说明理由。四：【课后小结】- 12 -