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1、.初高中数学衔接知识点专题初中的数学与高中的知识点有密切的联系，学好数学对高考的总分影响很大！专题一专题一数与式的运算数与式的运算【要点回顾】【要点回顾】1 1绝对值绝对值11绝对值的代数意义：绝对值的代数意义：即即|a|22绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：的距离的距离33两个数的差的绝对值的几何意义：两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示表示的距离的距离44两个绝对值不等式两个绝对值不等式:|x|a(a 0)；|x|a(a 0)2 2乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：11平方差公式：平方差公式：；22完全平方和公式：完全平方和公式：；33完全平方差公式：完全平方差公
2、式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式公式 11(abc)2 公式公式 22 公式公式 33说明说明:上述公式均称为“乘法公式乘法公式”3 3根式根式11式子式子a(a 0)叫做二次根式，其性质如下：叫做二次根式，其性质如下：a3b3(立方和公式立方和公式)a3b3(立方差公式立方差公式)ba22平方根与算术平方根的概念：平方根与算术平方根的概念：叫做叫做a的平方根，记作的平方根，记作x a(a 0)，其，其2(1)(a)；(2)a；(3)2ab；(4)中中a(a 0)叫做叫做a的算术平方根的算术平方根33立方根的概念：立方根的概念：叫做叫做a的立方根，记为的立方根，记为x 4 4分
3、式分式分母（子）有理化分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程子中的根号的过程【例题选讲】【例题选讲】例例 3 3已知x 3x 1 0，求x 23a31的值x3例例 5 5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323（2）(1 x)2(
4、2 x)2 (x 1).专题二专题二因式分解因式分解1 1公式法公式法常用的乘法公式：常用的乘法公式：11平方差公式：平方差公式：；22完全平方和公式：完全平方和公式：；33完全平方差公式：完全平方差公式：44(abc)255a3b366a3b3(立方和公式立方和公式)(立方差公式立方差公式)2 2分组分解法分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取 因此，可以先将多项式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（常见题型：（1 1）
5、分组后能提取公因式）分组后能提取公因式（2 2）分组后能直接运用公式）分组后能直接运用公式3 3十字相乘法十字相乘法（1 1）x(p q)x pq型的因式分解型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和x(p q)x pq x pxqx pq x(x p)q(x p)(x p)(x q)，x(pq)x pq (x p)(xq)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式（2 2）一般二次三项式）一般二次三项式ax bxc型的因式分解型的因式分解2由a1a2x(a1c2a2c1)x c1c2(a1x c
6、1)(a2x c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c22222a1分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a221cc2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax bxc的一次项系数b，那么ax bxc就可以分解成(a1xc1)(a2x c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十十字相乘法字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4 4其它因式分解的方法其它因式分解的方法其他常用的因式分解的
7、方法：其他常用的因式分解的方法：（1 1）配方法）配方法（2 2）拆、添项法）拆、添项法【例题选讲】【例题选讲】例例 1 1（公式法）（公式法）分解因式：(1)3a b81b；(2)a ab例例 2 2（分组分解法）分解因式：（分组分解法）分解因式：（1）ab(c d)(a b)cd（2）2x 4xy 2y 8z例例 3 3（十字相乘法）（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)x 5x24(2)x 2x15(3)x xy 6y(4)(x x)8(x x)12.2222222222222347622.例例 4 4（十字相乘法）（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)12x 5x2；(2)5x 6
8、xy 8y说明：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号例例 5 5（拆项法）（拆项法）分解因式x 3x 4 专题三专题三一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】【要点回顾】1 1一元二次方程的根的判断式一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为：由于可以用b 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把b 4ac叫做一元二次方程2
9、2222232ax2bx c 0(a 0)的根的判别式，表示为：b24ac对于一元二次方程对于一元二次方程axaxbxbxc c0 0（a a 0 0），有，有11当当 0 0 时，方程有两个不相等的实数根：时，方程有两个不相等的实数根：；22当当 0 0 时，方程有两个相等的实数根：时，方程有两个相等的实数根：；33当当 0 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根2 2一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程定理：如果一元二次方程ax bx c 0(a 0)的两个根为的两个根为x1,x2，那么：，那么：22 2x1 x2,x1x2说明：说明：一元二次方
10、程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦韦达定理达定理”上述定理成立的前提是 02特别地，特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程xpxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2，22所以，方程xpxq0 可化为x(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0 的两2根，所以，x1，x2也是一元二次方程x(x1x2)xx1x20因此有2 2以两个数以两个数x x1 1，x x2 2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为1 1）是）是x x(x x1 1x x2
11、2)x xx x1 1x x2 20 0【例题选讲】【例题选讲】例例 3 3若x1,x2是方程x 2x2007 0的两个根，试求下列各式的值：22(1)x1 x2；2(2)11；x1x2(3)(x15)(x25)；(4)|x1 x2|【巩固练习】【巩固练习】1若x1,x2是方程2x 6x3 0的两个根，则A2B2211的值为(x1x21C2)D92 专题四专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】【要点回顾】1 1平面直角坐标系平面直角坐标系11组成平面直角坐标系。叫做x轴或横轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标
12、系的原点。22 平面直角坐标系的对称点：平面直角坐标系的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标x轴y轴原点.点(a,b)直线x a直线y b直线y x直线y x2 2函数图象函数图象11一次函数：一次函数：称y是x的一次函数，记为：y kxb(k、b是常数，k0)特别的，当b=0 时，称y是x的正比例函数。22 正比例函数的图象与性质：正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而33 一次函数的图象与性质：一次函数的图象与性质：函数y kxb(k、b是常数，k0)的
13、图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设y kxb(k0)，则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而44反比例函数的图象与性质：反比例函数的图象与性质：函数y k(k0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象x限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x与y x；又是中心对称图形，对称中心是原点例例 3 3 如图，反比例函数y k的图象与一次函数y mxb的图象交于A(1，3)，B(n，1)两点x（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数
14、的值yk33解：解：（1）Q A(13)，在y 的图象上，k 3，y 又Q B(n，1)在y 的图象Axxx3 mb上，n 3，即B(3，解得：m 1，b 2，反比例函数的1)，Ox1 3mb，B3解析式为y，一次函数的解析式为y x2，图（12）x（2）从图象上可知，当x 3或0 x 1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。专题五专题五二次函数二次函数【要点回顾】【要点回顾】2 21 1 二次函数二次函数y yaxaxbxbxc c的图像和性质的图像和性质2 22 2问题问题22函数函数y ya a(x xh h)k k与与y yaxax的图象之间存在怎
15、样的关系？的图象之间存在怎样的关系？2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yaxbxc(a0)的图象的方法：b2b2b24acb2bb2 a(x)由于yaxbxca(xx)ca(xx2)c，所以，y4a2a4a4aaa22ax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，2 2二次函数二次函数y yaxaxbxbxc c(a a 0)0)具有下列性质：具有下列性质：.1当a0 时，函数yaxbxc图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值22当a0 时，函数yaxbxc图象开口方向；顶点坐标为，
16、对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值y2bx2ayb4acb2,)A(2a4aOxOxb4acb2b,)A(x2a4a2a上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2 2二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式11二次函数的三种表示方式：二次函数的三种表示方式：（1 1）一般式：一般式：；（2 2）顶点式：顶点式：；（3 3）交点式：交点式：说明：说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活
17、选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与给出三点，其中两点为与x x轴的两个交点轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求时可利用交点式来求例例 3 3已知函数y x,2 x a，其中a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值【巩固练习】【巩固练习】1选择题：2（1）把函数y(x1)4 的图象的顶点坐标是（）（A）（1，4）（B）（1，4）（C）（1，4）（D）
18、（1，4）2（2）函数yx4x6 的最值情况是（）（A）有最大值 6（B）有最小值 6（C）有最大值 10（D）有最大值 22（3）函数y2x4x5 中，当3x2 时，则y值的取值围是（）（A）3y1（B）7y1（C）7y11（D）7y112填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为（2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 专题六专题六二次函数的最值问题二次函数的最值问题【要点回顾】【要点回顾】1 1二次函数二次函数y ax bx c(a 0)的最值的最值22.4acb2b二次函数
19、在自变量x取任意实数时的最值情况(当a 0时，函数在x 处取得最小值，4a2a4acb2b无最大值；当a 0时，函数在x 处取得最大值，无最小值4a2a2 2二次函数最大值或最小值的求法二次函数最大值或最小值的求法第一步确定第一步确定a a的符号的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步配方求顶点第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3 3求二次函数在某一围的最值求二次函数在某一围的最值如：如：y ax bxc在在m x n（其中（其中m n）的最值）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x0；第二步：讨论：第二步：讨
20、论：11若若a 0时求最小值或时求最小值或a 0时求最大值，需分三种情况讨论：时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于对称轴小于m即即x0 m，即对称轴在，即对称轴在m x n的左侧；的左侧；对称轴对称轴m x0 n，即对称轴在，即对称轴在m x n的部；的部；对称轴大于对称轴大于n即即x0 n，即对称轴在，即对称轴在m x n的右侧。的右侧。22 若若a 0时求最大值或时求最大值或a 0时求最小值，需分两种情况讨论：时求最小值，需分两种情况讨论：2mn，即对称轴在，即对称轴在m x n的中点的左侧；的中点的左侧；2mn对称轴对称轴x0，即对称轴在，即对称轴在m x n的中点的右侧；的中点的右
21、侧；2对称轴对称轴x0【例题选讲】【例题选讲】例例 1 1 求下列函数的最大值或最小值（1）y 2x 3x 5；（2）y x 3x 4例例 2 2 当1 x 2时，求函数y x x1的最大值和最小值例例 3 3 当x 0时，求函数y x(2 x)的取值围例例 4 4 当t x t 1时，求函数y 222125x x的最小值(其中t为常数)22分析：分析：由于x所给的围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其围的相对位置解：解：函数y 125x x的对称轴为x 1画出其草图22.(1)当对称轴在所给围左侧即t 1时：当x t时，ymin125t t；22(2)当对称轴在所给围之间即t 1t 1
22、 0t 1时：当x 1时，ymin(3)当对称轴在所给围右侧 即t 11t 0时：当x t 1时，ymin1251 1 3；22151(t 1)2(t 1)t23222122t 3,t 0综上所述：y 3,0 t 115 t2t,t 122【巩固练习】【巩固练习】1抛物线y x(m4)x2m3，当m=_ 时，图象的顶点在y轴上；当m=_ 时，图象的顶点在x轴上；当m=_ 时，图象过原点2用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3设a 0，当1 x 1时，函数y x axb1的最小值是4，最大值是 0，求a,b的值4已知函数y x 2ax 1在1 x 2上的最大值
23、为 4，求a的值5求关于x的二次函数y x 2tx 1在1 x 1上的最大值(t为常数)专题七专题七不不 等等 式式【要点回顾】【要点回顾】1 1一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法11定义：形如定义：形如为关于为关于x的一元二次不等式的一元二次不等式22一一元元二二次次不不等等式式ax bx c 0(或 0)与与二二次次函函数数y ax bxc (a 0)及及一一元元二二次次方方程程222222ax2bxc 0的关系的关系(简称：三个二次简称：三个二次)（）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二
24、次方程求解，步骤如下：(1)(1)将二次项系数先化为正数；(2)(2)观测相应的二次函数图象.如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式 0来判断)则如果图象与x轴只有一个 交点(b,0)，此时对应的一元 二次方程有两个相等的 实数根2axx x2 b(也可由根的判别式 0来判断)则：2a如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式 0来判断)则：（）解一元二次不等式的步骤是：）解一元二次不等式的步骤是：(1)(1)化二次项系数为正；化二次项系数为正；(2)(2)若若二二次次三三项项式
25、式能能分分解解成成两两个个一一次次因因式式的的积积，则则求求出出两两根根x1,x2那那么么“0”型型的的解解为为x x1或x x2(俗称两根之外俗称两根之外)；“0”型的解为型的解为x1 x x2(俗称两根之间俗称两根之间)；b24acb2)(3)(3)否则，否则，对二次三项式进行配方，对二次三项式进行配方，变成变成ax bxc a(x，结合完全平方式为非结合完全平方式为非2a4a2负数的性质求解负数的性质求解2 2简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转
26、化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零为零.3 3含有字母系数的一元一次不等式含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为ax b的形式b；ab2当a 0时，不等式的解为：x；a3当a 0时，不等式化为：0 x b；若b 0，则不等式的解是全体实数；若b 0，则不等式无解1当a 0时，不等式的解为：x【例题选讲】【例题选讲】例例 1 1解下列不等式：(1)x x6 02(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)解解 法法 一一：原 不 等 式 可 以 化 为：(x3)(x2)0，于 是：x3 0或x2 0 x 3x 3x3 0 x 3或x 2所以，原不等式的解是x 3或x 2或x 2
27、x2 0 x 2.2解法二：解法二：解相应的方程x x6 0得：x1 3,x2 2，所以原不等式的解是x 3或x 22(2)解法一解法一：原不等式可化为：x 4x 0，即x 4x 0 x(x4)0于是：2x 0 x 0或 x 0或x 4，所以原不等式的解是x 0或x 4x4 0 x4 0222解解法法二二：原不等式可化为：x 4x 0，即x 4x 0，解相应方程x 4x 0，得x1 0,x2 4，所以原不等式的解是x 0或x 4说明：说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解 各专题参考答案各专题参考答案 专题一数与式的运算参考答案专题一数
28、与式的运算参考答案例例 1 1（1）解法 1：由x2 0，得x 2；若x 2，不等式可变为x21，即x 3；若x 2，不等式可变为(x2)1，即x21，解得：x 1综上所述，原不等式的解为1 x 3解法 2：x2表示x轴上坐标为x的点到坐标为 2 的点之间的距离，所以不等式x2 1的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为 3 的点的左侧，在坐标为 1 的点的右侧所以原不等式的解为1 x 3解法 3：x2 1 1 x211 x 3，所以原不等式的解为1 x 3（2 2）解法一：）解法一：由x1 0，得x 1；由x3 0，得x 3；若x
29、 1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x44，解得x0，又x1，x0；若1 x 2，不等式可变为(x1)(x3)4，即 14，不存在满足条件的x；若x 3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x44，解得x4又x 3，x4综上所述，原不等式的解为x0，或x4解法二解法二：如图，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为 1 的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为 2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|可知点P在点C(坐标为 0)的左侧、或点P在点D(坐标为 4)的右侧所以原不等式的解为x0，或x4|x3|C0|x1|2所以，不等式x1 x34 的几何意
30、义即为|PA|PB|4由|AB|2，PxA1BD34x123822 2143x x 2 2x x 3392例例 2 2（1）解解：原式=x(2x)(x)(2x)()2x(2)x2x 2(2x)22213221313说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列13131313m n52125824222336（3）原式=(a 4)(a 4a 4)(a)4 a 64（2）原式=(m)(n)（4）原式=(x y)(x xy y)(x y)(x xy y)(x y)x 2x y y例例 3 3 解解：Q x 3x 1 0 x 0 x原式=(x)(x 12222222233263361 3
31、x121112)(x)(x)3 3(323)182xxxx例例 4 4 解解：Q abc 0,ab c,bc a,ca b.a2b2c2bcacaba(a)b(b)c(c)原式=abcbcacababcbcacabQ a3b3(ab)(a b)23ab c(c23ab)c33abc3abca3b3c3 3abc，把代入得原式=3abc3(23)3(23)例例 5 5 解解：（1）原式=63 322 3(23)(2 3)(x1)(x2)2x3 (x 2)（2）原式=|x1|x2|(x1)(x2)1(1 x 2)说明说明：注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的围未知时，要对字母的取值分
32、类讨论aba2bab2（3）原式=abab2xxx2222x 2x x x 2 2x 3 2x x x（4）原式=22223(23)2例例 6 6 解解：x 74 3,y 74 3 x y 14,xy 122 3232222原式=(x y)(x xy y)(x y)(x y)3xy14(14 3)2702说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量【巩固练习】【巩固练习】14 x 32444213333或26222224355x y z 2x y 2x z 2y z613,2专题二因式分解
33、答案专题二因式分解答案x y4 3,3,4b a3y例例 1 1 分析：分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号出现a b，可看着是66(a3)2(b3)2或(a2)3(b2)3解：解：(1)3a b81b 3b(a 27b)3b(a 3b)(a 3ab9b)(2)a ab a(a b)a(a b)(a b)a(a b)(a abb)(ab)(a abb)766633332222343322 a(a b)(ab)(a2abb2)(a2abb2)例例 2 2（1 1）分析：）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：解：ab(c
34、 d)(a b)cd abc abd a cd b cd (abc a cd)(b cd abd)222222222222 ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)222（2 2）分析：）分析：先将系数 2 提出后，得到x 2xy y 4z，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解：解：2x 4xy 2y 8z 2(x 2xy y 4z)2(x y)(2z)2(x y 2z)(x y 2z)例例 5 5解：解：x 3x 4 (x 1)(3x 3)(x1)(x x1)3(x1)(x1)3232222222222(x1)(x2 x1)3(x
35、1)(x1)(x24x 4)(x1)(x2)2【巩固练习】【巩固练习】1(1)(bcad)(acbd);(2)(x4m2n)(x2n);(3)(x 4x8)(x 4x8);22(4)(x1)(x3)(x7);(5)(x2y)2(x2y).28；3121223(x x1)(x 3x1)x 4x x(x4)2212122其他情况如下：(x x 1)(x x)x 1(x 1)(x 1)；2211(x23x 1)(x2 x)x2 2x 1(x 1)2.223223224a a cb cabc b (a abb)(a bc)2专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案专题三一元二次方程根与系数的关系习题答
36、案例例 1 1 解：解：(2)43k 412k，(1)412k 0 k(3)412k 0 k 211；(2)412k 0 k；3311；(4)412k 0 k 3322例例 2 2 解：解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x(y 2)x y y 1 0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：(y 2)4(y y 1)3y 0 y 0，代入原方程得：x 2x1 0 x 1综上知：x 1,y 0例例 3 3 解：解：由题意，根据根与系数的关系得：x1 x2 2,x1x2 20072222(1)x1 x2(x1 x2)2x1x2(2)2(2007)4018222211x1 x222x1x
37、2x1x220072007(3)(x15)(x25)x1x25(x1 x2)25 2007 5(2)25 1972(2)(4)|x1 x2|(x1 x2)(x1 x2)4x1x2(2)4(2007)2 2008222说说明明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x1 x2(x1 x2)2x1x2，22211x1 x2222，(x1 x2)(x1 x2)4x1x2，|x1 x2|(x1 x2)4x1x2等等韦达定理体现了x1x2x1x2整体思想【巩固练习】【巩固练习】1 A；2A；3p 1,q 3；4a 3,b 3,c 0；5m 1(1)当k 3时，方程为33x1 0，有实根；(2)
38、当k 3时，0也有实根6(1)k 且k 1；(2)k 74专题四专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例例 1 1 解：解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x2 2，y1 3，则A2,3、B2,3(2)因为A、B关于 y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x2 2，y1 3，则A2,3、B2,3(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x2 2，y1 3，则A2,3、B2,3例例 2 2 分析：分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k0，又因为 b2，所以直线与 y 轴
39、交于（0，2），即可知 OB2，而 AOB 的面积为 2，由此可推算出OA2，而直线过第二象限，所以A 点坐标为（2，0），.由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。解解：B 是直线 ykx2 与 y 轴交点，B（0，2），OB2，又Q SAOB1AOBO 2，AO 22，y x2又Q y kx2，过第二象限，A(2，0)把x1 2，y1 0代入y kx2中得k 1【巩固练习】【巩固练习】1 B2 D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)3（1）k 8（2）点P的坐标是P(2，4)或P(81)，专题五二次函数参考答案专题五二次函数参考答案22例例 1 1 解：y3x6x13(x1)4，函
40、数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1 时，函数y取最大值y4；当x1 时，y随着x的增大而增大；当x1 时，y随着x的增大而减小；A(1,4)y采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B(2 3 32 3 3,0)和C(,0)，33D(0,1)与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25 所示）说明：说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例例 2 2分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值
41、，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是x的一次函数，于是，设ykx（B），将x130，y70；x150，y50 代入方程，有COBx1x70 130k b,解得k1，b200yx20050 150k b,22设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x320 x24000(x160)1600，当x160 时，z取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元例例 3 3分析：分析：本例中函数自变量的围是一个变化的围，需要对a的取值进行讨论2解：（1）当a2 时，函数yx的图象仅仅
42、对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时x2；（2）当2a0 时，由图226可知，当x2 时，函数取最大值y4；当xa时，函数取2最小值ya；（3）当 0a2 时，由图226可知，当x2 时，函数取最大值y4；当x0 时，函数取最小值y0；2（4）当a2 时，由图 226可知，当xa时，函数取最大值ya；当x0 时，函数取最小值y0yy44yya24Oa2x2Oaxa22aOx2a2说明：说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数
43、图象来直观地解决问题例例 4 4（1 1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2又顶点在直线yx1 上，所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为y a(x2)1(a 0)，二次函数的图像经过点（3，1），1 a(32)1，解得a2二次函数的解析式为y 2(x2)1，即y2x8x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，
44、要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题（2 2）分析一：分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3)(x1)(a0)，展开，222212a24a2 4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离得yax2ax3a，顶点的纵坐标为4a11231232，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为yx x，或yx x222222分析二分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴
45、的距离为 2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为222，顶点的纵坐标为 2，或2于是可设二次函数为ya(x1)2，或ya(x1)2，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)2，或 0a(11)2a2211，或a所以，所求的二次函数为y221122(x1)2，或y(x1)222说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条
46、件，选择恰当的方法来解决问题2（3 3）解：设该二次函数为yaxbxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得22 abc2解得a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x12x88 c8 4a2bc【巩固练习】【巩固练习】1（1）D（2）C（3）D2（1）yxx2（2）yx2x33（1）y 2x2 2x 1（2）y 4(x 1)23 4x28x 122112521122y x32 x 3x（4）(x 3)(x 5)x x 32225554当长为 6m，宽为 3m 时，矩形的面积最大y（3）y x,0 x 2,4 x,2 x 4,25（1）函数（f x）的解析式为y
47、x4,4 x 6,O8 x,6 x 8.2468x（2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y的取值围是 0y2专题六二次函数的最值问题参考答案专题六二次函数的最值问题参考答案例例 1 1 分析分析：由于函数y 2x 3x 5和y x 3x 4的自变量 x 的取值围是全体实数，所以只要确.22.定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解解：（1）因为二次函数y 2x23x 5中的二次项系数 20，所以抛物线y 2x23x 5有最低点，即函3349数有最小值因为y 2x23x 5=2(x)2，所以当x 时，函数y 2x23x 5有最小值是4484982（2）因为二次
48、函数y x 3x 4中的二次项系数-10，所以抛物线y x23x 4有最高点，即函数有最大值因为y x23x 4=(x)232253，所以当x 时，函数y x23x 4有最大值42254例例 2 2 解：解：作出函数的图象当x 1时，ymin 1，当x 2时，ymax 5说明：说明：二次函数在自变量x的给定围，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的围的图象形状各异下面给出一些常见情况：例例 3 3 解：解：作出函数y x(2 x)x 2x在x 0的图象2可以看出：当x 1时，ymin 1，无最大
49、值所以，当x 0时，函数的取值围是y 1例例 5 5 解：解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为y m(x30)，又m 1623x y (x30)(1623x)3x2252x4860,30 x 54(2)由(1)知对称轴为x 42，位于x的围，另抛物线开口向下当x 42时，ymax 3422252424860 432当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432 元【巩固练习】【巩固练习】l22311414 或 2，2m3a 2,b 24a 或a 116245当t 0时，ymax 22t，此时x 1；当t 0时，ymax 22t，此时
50、x 1专题七不等式答案专题七不等式答案例例 2 2 解：解：(1)不等式可化为(x2)(x4)0 不等式的解是2 x 4.17 024k 0k 0k 0例例 3 3 解：解：显然k 0不合题意，于是：2 k 122k 1或k 1(2)4k 0k 1 0(2)不等式可化为(x2)0 不等式的解是x 2；(3)不等式可化为(x)22例例 4 4 分析：分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数332x3 02x