大学物理学- 质点动力学教案.pdf

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1、大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案授课章节授课章节第第 2 2 章章 质点动力学质点动力学1.理解牛顿运动定律的内容及实质，明确牛顿运动定律的范围及条件。对牛的运动定律的应用要求掌握两点：（1）牛顿运动定律只在惯性系中成立；（2）会用微积分的方法处理变力作用下的简单力学问题。2.掌握动量定理，动量守恒定理。3.理解功的概念，会计算变力所作的功。4.掌握动能定理、功能原理、机械能守恒定律。教学目的教学目的1.理解牛顿运动定律只在惯性系中成立。2.运用微积分处理力学问题，一是根据力函数的形式选择运动定律的形式；二是正确地分离变量。3.在运用动量定理解题时，必须把系统内各量统一到同一惯性系教学

2、重点、难点教学重点、难点中。4.计算变力的功注意如何选取积分元。5.掌握质点系的动能定理和质点系的功能原理在解题中的区别。教学内容教学内容一、牛顿运动定律牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到受其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。牛顿第二定律：物体受外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力的方向相同。即F kma,比例系数k由单位制确定，在（SI）中k 1。牛顿第三定律：当物体 A 以力F作用在物体 B 上时，物体 B 也必定同时1F以力F2作用在物体 A 上，F和大小相等，方向相反，且力的作用线在同一12直线上。即

3、 FF,12从牛顿定律我们已经清楚：力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度，即力是改变物体运动状态的原因。二、惯性系和非惯性系 1、什么是惯性系？所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系。因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。经常取地球为惯性系。2、相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。3、一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。备注2.1牛顿运动定律1大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案三、力学中常见的三种力：1、万有引力:F G0m1m2r0,2rG0 6.671011Nm2kg-2，为万有引

4、力恒量。注意公式的适应范围：（1）万有引力所指的物体是为质点模型。（2）均匀球体（或有规则形状的物体），此时可把物体的质量看成集中于球心。r rm1m2万有引力例 1:在地球表面或表面附近的物体，在不考虑地球自转的情况下，引力就是物体的重力，即F G0mM mg2RmR RM 61024kgMR 6400,000m得g 9.8ms2、弹性力:两相互接触的物体，彼此产生形变的作用力为弹性力。FNNNF弹性力NNN弹性力1 21 2f 1 2 1 2f F F有接触，无形变有形变2-2例 2-1图大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案方向：垂直于接触点的切面。（N也叫正压力）绳的张力也

5、是弹性力，如下图f f2 2T T2 2T1T1f f1 1T T2 2m2T1T1m1f f1 1绳的张力 f1-T1=m1a,T1-T2 =m2a如果绳的质量为零（轻绳），或者加速度 a 为零，则有T1=T2=f1。3、摩擦力:物体在外力作用下，产生了运动趋势，但并没有动 静摩擦力。F Ff f静摩擦力此时，f=-F，如F增大，f也变大；F=0，f=0。但F可以无限大，而f到一定程度就没有了（变为滑动摩擦力），物体开始运动。f可以从0fmax，究竟f=？要根据平衡条件决定。fmax0N，0称静摩擦系数。静摩擦力的方向：总是与物体运动趋势方向相反。f f静摩擦力的作用：如Ff f火车分别启动

6、法皮带传送物体 v主动轮主动轮vff f2 2N N2 2N N1 1墙墙Gf f1 1地面地面静摩擦力的作用3大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案四、牛顿定律应用举例解题步骤：1、根据题意，确定研究对象（看问题的要求，同时考虑计算的方便）；2、受力分析（对受力物体），画隔离体图，从与它接触的物体上去寻找各个接触力（才不致漏掉力），此外，再看每个力是否有施力者（方可避免多算力）；3、考虑物理过程（匀速？加速？），建立坐标系，列方程。因F m a是矢量，具体应用时，要写成坐标分量式，如dvF m mRF maxxdt2Fy mayF mv mR2nR若方程不够，可用加速度合成法列辅

7、助方程。例 2：质量为M 的光滑尖劈，倾角为置于光滑的水平桌面上，质量为m的物体放在尖劈的斜面上，求 物体 M 对地的加速度aM和物体m对 M 的加速度a物体m与 M 间的弹力 N尖劈与桌面间的弹力 R。解分别以m、M为研究对象，其受力如图。以地面为参照系，m相对mM的加速度为a，aM为随M运动的加速度，所以m对地的加速M度为amN Ny y a aM。取 x，y坐标如图。则 N sin m(aMacos)a aMx x、N cosmg masin、mNsin MaMamgRMg N cos 0R RY Y联立得：x xaMmsincosgM msin2a(m M)sing2MgNM msin

8、N R 4例 2 图Mmcosg2M msinM(M m)gM msin2大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案例 3：图中 A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体m1 m2 m3，绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地加速度及绳中张力。解分别以 m1，m2，m3和滑轮 B 为研究对象，设m1对地加速度为a1，m2/m3对滑轮 B 相对加速度为a，分析受力、向下为 x 轴正向，则a1m1g T1=m1a1/am2g T2=m2（a/-a1）T1m3g T2=m3（-a1 a/）T T2 2T T2 2 2T2 T1=0m1m2m3联立解出：m m m1m3 4m2m3a112g

9、m1m2 m1m3 4m2m3a 例 2-3图m1gm2gm3g2m1(m2m3)gm1m2m1m34m2m3a2 a33m1m2m1m34m2m3gm1m2m1m34m2m38m1m2m3g4m1m2m3gT1，T2。m1m2m1m34m2m3m1m2m1m34m2m3例 4：一质点受恒力和与速率成正比的阻力，即在F f0 k1mv的作用下作直线运动，求解其运动方程（设t 0时，x0 0，v0解根据牛顿第二定律有m 0）fdv f0k1mvdv (0k1v)dtdtmdv dta0k1v式中a0f0表示质点不受阻力时即v 0时的加速度。积分得m1ln(a0k1v)c1k11lna0即k1t

10、设t 0时v0 0，则c1t 111a k vln(a0 k1v)lna0 ln01k1k1k1a05大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案lnek1t lna0k1vk1ta0k1va0ea0 v f0(1ek1t)mk1v adxk tdx vdt 0(1e1)dtk1dtak11k1te)c2由t 0时x0 0得k1（t 积分得x 0c2 讨论：a0f0f0f0f0k1t x t e2222mk1mk1mk1k1mk1（1）从动；v ff0(1ek1t)知t 时v 0表示质点作匀速运mk1mk1（2）从知t 时x f0fft 0202ek1t知t 时，因加mk1mk1mk1速

11、度引起的位移f0ek t=0，即 x 只与匀速运动有关：x f0t f02。mk1mk1mk121例 5：质点在一竖直圆周内缘上运动，质点在最低点A 以初速v0沿圆周抛出，P 为 t 时刻质点所在的位置，v0为何值时，质点才可沿整个圆周运动，已知t 0时，=0，v v0。NRv v解以地球为参照系，取切向法向坐标，得dvmgsin mdtmv2N mgcosv0Rmg2-5图例以为变量，第一式变为mgsin mdv dsdv mvds dtds6又ds Rd大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案 vdv gsinds Rgsind两边积分12v Rgcosc212v v0代入得c

12、v0将t 0,0、Rg222v v02Rg(1cos)2v0N m g(23cos）R当时，若N 0，则质点可沿整个圆周运动。所以v0最小应满足2v0 g(23cos)0R得v05Rg即v05Rg时质点可沿整个圆周运动。五、国际单位制和量纲1、单位制：基本量、导出量单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。SI 制中的基本量有七个：长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、物质的量、发光强度。力学中的基本量有三个长度 1 米=光在真空中 1/299792458 秒时间内所经过的距离。时间 1秒=铯133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的电磁波周期的 9，192，6

13、31，770 倍。质量 1 千克等于国际千克原器的质量。其他物理量为导出量。如速度=位移/时间单位：米/秒加速度=速度/时间单位：米/秒力=质量加速度单位：千克米/秒=牛顿其他还有厘米、克、秒制等。在原子线度和光波中，用埃（A）作单位，1A=1010m。2、量纲：通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中最基本物理量的方次。72 22 2大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案例如：在 SI 制中vds LT1，a LT2dt2.3 动量 动量守恒定律 质心运动定律力的积累效应力的时间积累 动量定理力的空间积累 动能定理一、质点的动量定理1、力的冲量外力对时间的积累作用

14、可以改变物体的运动状态。物理上把力与力的作用时间的乘积称为力的冲量，用I 表示对恒力I I F F t对变力I Ii F F(ti)tiI I F F(ti)tii或I=tt0 0F F(t)dt=F F(t-t0)（积分中值定理）2、动量的引入、质点的动量定理在牛顿力学中，质量可视为常数，故，F F m即F Fdt d(mv v)F Fdt mv v2 mv v1t1t2dv vd(mv v)dtdt式中mv v称为物体的动量，记作p p。上式表示：作用在物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量。（1）动量定理在直角坐标系的表示式。（见 35 页 2-14 式）ymvymv vI IyI Im

15、v0ymv v0o omv0 xmvx动量定理示意图I Ixx8大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案IxFxdt mvxmv0 xt0tIyFydt mvymv0yt0t（2）当动量的增量为I时，平均冲力FI。t（3）当相互作用时间极短时，相互间冲力极大，故有些外力（如重力等）可忽略不计。注意：（1）公式中的F应为合外力；（2）动量、冲量、力都是矢量，冲量的方向是动量变化的方向；（3）动量定理也只对惯性系成立。二、质点系的动量定理（1）内力与外力i质点所受合力F Fi外f fjij1n1（2）i质点动量定理t2t1F Fi外dt(f fji)dt miv vi2miv vi1t1

16、j1t2n1外力与内力（3）质点系的动量定理（对i求和）ninin1j1nii t2t1F Fi外dt (f ft1t2ji)dt miv vi2miv vi1n在相同的t1t2时间内，力的冲量和等于合力的冲量。即上式的积分和求和的顺序可以交换，所以得t2t1i in nF Fi外dt(t1inn1t2nf fj1n1ji)dt miv vi2miv vi1inni因为内力成对出现，f fji 0这说明，内力对系统的总动量无贡献。i1j1F Fi外dt F F外t P P2-P P1t1it2n即合外力的冲量=质点系动量的增量。三、动量守恒定律（1）守恒条件：F Fi外0（2）注意事项9大学物

17、理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案 若F Fi外0，则系统无论沿那个方向的动量都守恒；若F Fi外 0，但若某一方向的合外力零，则该方向上动量守恒；必须把系统内各量统一到同一惯性系中；若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，而运用动量守恒。例 6：质量为 M 的木块在光滑的固定斜面上由 A 点从静止开始下滑，当经过路程l运动到 B 点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子弹的质量为m，速度为v。求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度。解：这个问题有两个物理过程：MMAmv vLB例 2-6图第一过程为木块 M 沿光滑的固定斜面下滑，到达B 点时速度的大

18、小为v12glsin，方向：沿斜面向下。第二个过程：子弹与木块作完全非弹性碰撞。在斜面方向上，内力的分量远远大于外力，动量近似守恒，以斜面向上为正，则有mvcos Mv1(m M)v，得v 例 7:如图所示，一辆装矿砂的车厢以v=4m/s的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为k=200kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力?（忽略车厢与地面的摩擦力）例 7 图10mvcos M2glsin。m M大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案解：设t时刻已落到车厢的矿砂质量为m，经dt后又有dm=kdt的矿砂落入车厢。取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为Fd

19、t (m dm)v(mv dm0)vdm kdtv，则F kv 20004 810(N)。32.4 功 动能 势能 机械能守恒定律一、功功率1、恒力功的定义：定义式:A F F r r F r rcos,即力的功，等于在该力作用下的质点的位移与该力的标积。功的单位：在 SI 制中为焦耳（J）。2、变力的功：1 元功：dA=F F drdr=F dscosdA在F-x图上的几何意义：变力在一段有限位移上的功 A=3、功的直角坐标系表示式：dA=F（x）dr21F F drdr11大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案设:F F Fxi i Fyj j Fzk k，drdr则A 4、功

20、的数值与参照系的选择有关：f fvv vlf f从车辆参照系看f f 对木块做负功f fvv vf f从皮带参照系看ll1f f 对木块不做功从地面参照系看从地面参照系看f f 对木块做正功f f 对木块做正功功的数值与参照系的选择有关上面左图中，静摩擦力f从皮带参照系看对木块不做功；从地面参照系看做正功；右图中滑动摩擦力f从车辆参照系看对木块做负功；从地面参照系看做正功。例 8：一物体按规律x ct在媒质中作直线运动，式中 c 为常量，t 为时间，设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k，试求物体由x=0 运动到 x=时，阻力所作的功。解v 3 dx i i dy j j dz k

21、 k，z2z121F dr FxdxFydy Fzdz Ax Ay Az。x1y1x2y2dx 3ct2，dtf 9kc2t4x4 9kc()3c 9kc2/3x4/32阻力对物体所作的功为lW dw f dx 9kc2/3x4/3dx 27kc2/3l7/3/7。0一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关12大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案f fij ijjdr rij ijdr rj jidr ri if fji一对作用力与反作用力的功dAjidAij f fjidrdri f fijdrdrj f fji(drdri drdrj)f fjid d(r ri r rj)f

22、 fjidrdrij(f fji f fij)5、功率N dA F F drdr F F v v。dtdt功率的单位：在 SI 制中为瓦特（w）。二、保守力的功(a)重力做的功（b）引力做的功（a）重力做的功A mg gdr r，12mg dr rcos。12dr cos dy，A mgdy (mgy2 mgy1)。1213大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案（b）万有引力的功力函数F F GMmr r0，元位移drdr，2r则dA -GMmr r0 0drdr，r2 G GMmr r0 0 drdr Cos，2rMm，drr2A Gr1r2MmMmGMm。dr (G)()2r2

23、r1r（c）弹性力的功弹性的功则A xx0F F drdr 1212kx i i dx i i (kxkx0)。x022x三、动能定理将F F m得dv v两边点乘drdrdt v vdt，F F drdr mv vdvdv可以证明vdvvdv，即v vdvdv dvdv vcos vdvdv cos vdv。证明dv vdvv vvdvvdv的矢量图2F F drdr d(1mv2)当力在一段有限位移上作功时质点的动能定理2112F F drdr (mv2)1mv2mv12122214大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案上式表明：外力对质点作的功等于质点动能的增量。动能与动量的

24、区别：1、动能是标量，动量是矢量；2、系统内力的冲量不能改变物体系的总动量，但内力的功可以改变物体系的总动能（因为S1不一定等于S2）。四、势能如某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。即F F保 drdr 0。l如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。因此，可以引入一个由相对位置决定的函数。由于功是体系能量改变的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质，称之为势能（或曰位能），若用Ep表示，则有r2r1F F保drdr EP，由定积分转换成不定积分，则是EP F F保drdr c。式中 c 为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。由保守力的力

25、函数求势能函数：1例如，弹性力F=-kx，则弹性势能EP=-kxdx kx2c。2势能函数的一般特点：1、对应于每一种保守力就可引进一种相关的势能；2、势能是彼此以保守力作用的系统所共有。因此，保守力的功等于势能增量的负值（r2r1F F保 drdr EP）实际上是一对保守力的功等于系统势能增量的负值。3、势能是相对量，其大小与所选取的势能零点有关。五、势能曲线将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。15大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案上图中的(a）、（b）、(c)分别给出的就是重力势能、弹性势能及势能曲线。F F六、质点系的动能定理与功能原理 1、质

26、点系的动能定理如果研究对象是几个物体组成的物体系，F表示外力，F12与F21表示内力，则有F F1212 F F2121m1m2质点系的动能定理2对m1：F F S S1 1 F F1212 S S1 11m1v121m1v10，22122对m2：F F2121 S S2 21m2v2，m2v2022对m1+m2：11112222(m1v1m2v2)(m1v10m2v20)2222上式表明，合外力的功与内力的功的总和等于物体系动能的增量。即A外A内EkEk0。上式称为物体系的动能定理。当时A外A内0，EkEk0，物体系的动能守恒。2、功能原理对于单个质点AiF F S S1 1 F F1212

27、 S S1 1 F F2121 S S2 2 Eik2 Eik1，外力Ai外内保守力Ai内保对于质点系，因其受力有内力内非保守力Ai内非Ai外 Ai内保 Ai内非 Eik2 Eik1。对i求和：A外 A内保 A内非 Ek2 Ek1，其中：A外Aii外、A内保Aii内保、A内非Ai内非、EK2Eik2、iiEk1Eik1。对每一对内部保守力均有F Fi内保drdr EPi，所以内部保守ii2i1力功的和等于系统势能增量的负值，即A内保(Ep2 Ep1)。若引入E Ek Ep，则可得16大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案A外 A内非 E2 E1。功能原理七、机械能守恒定律1、守恒条

28、件：A外+A内非=0，能交换A外 0,说明系统与外界无机械与其他能量间转换A内非 0,说明系统内部无机械能2、当系统机械能守恒时，应有Ek Ep。八、能量转换与守恒律在一个孤立系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无论怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。例 9：一质量 M，倾角为的斜劈放在光滑水平面上，物体从高为处，由静止开始无摩擦地下滑，求从斜面顶部滑到底部的过程中；对 M 做的功；斜劈后退的距离。mV VV VhMu u-u uu u+V Vx 正向-u u例 9 图解设m对M的相对速度为u、M对地的速度为V，则m对地的速度为u+V。以m、M为 一系统，其在水平方向动量守恒m(V u

29、cos)MV 0，（1）因接触面光滑，以m、M、地球为系统、地面为势能零点，则系统机械能守恒，即11（2）m(u V)2MV2 mgh，22m对M作功使M动能增加，所以1A MV2，（3）2将（2）式展开得17大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案/1m(u2V22uV cos)1MV2 mgh，（2）22联立（1）、（3）、（2）得AmMMm2ghcos2。2(M m)(M msin)/由（1）式可得（4）mucos(m M）V，由上图可知，M在水平方向的速度V ds沿x轴正向,m在水平方向相dt对M的速度ux式，得 mu uhxsl例 9斜劈后退的距离dl ucos，负号表示沿x轴负向。把以上两式代入（4）dtdlds(m M)，dtdtmdl (m M)ds，两边积分 mdl (m M)ds，l00ss mml hctg，m Mm Ms 0 表示斜劈向右运动。18大学物理学大大 学学 物物 理理 学学 教教 案案复习与思考复习与思考1.举例说明以下两种说法是不正确的：（1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反；（2）摩擦力总是阻碍物体运动的。2.质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？3.在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？19大学物理学