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1、20212021 年北京市中考数学试题（含答案解析）年北京市中考数学试题（含答案解析）2021 年北京市中考数学试卷一、选择题（共16 分，每题 2 分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A 长方体 B 圆柱 C圆锥 D三棱柱 2（2 分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692 亿 元，将 169200000000 用 科 学 记 数 法 表 示 应 为（）A 0.16921012B 1.6921012C 1.6921
2、011D 16.9210103（2分）如图，点 O 在直线 AB 上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（）A30B40C50D604（2 分）下列多边形中，内角和最大的是（）ABCD5（2 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2B abCa+b0Dba06（2 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A B C D 7（2分）已知 4321849，4421936，4522025，4622116若 n 为整数且 nn+1，则n 的值为（）A43B44C45D468（2 分）如图，用绳子围成周长为 10m 的矩
3、形，记矩形的一边长为 xm，它的邻边长为 ym，矩形的面积为 Sm2当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x的变化而变化，则y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系 B反比例函数关系，二次函数关系 C一次函数关系，反比例函数关系 D 反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共 16 分，每题 2 分）9（2 分）若在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是10（2 分）分解因式：5x25y211（2分）方程的解为12（2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y（k0）的图象经过点 A（1，2）和点 B（1，m），则 m 的值为13（2
4、分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点若P50，则AOB14（2 分）如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）15（2 分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415 乙 1212131414 甲、乙两组数据的方差分别为 s 甲 2，s 乙 2，则 s 甲 2s 乙 2（填“”，“”或“”）16（2 分）某企业有 A，B 两条加工相同原材料的生产线 在一天内，A 生产线共加工 a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工 b 吨原材料，加工时
5、间为（2b+3）小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 A 生产线的吨数与分配到 B 生产线的吨数的比为第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，又给A 生产线分配了 m 吨原材料，给B生产线分配了 n 吨原材料 若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为三、解答题（共68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21-22 题，每题 6 分，第 23 题 5分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题7 分
6、）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5 分）计算：2sin605（）018（5 分）解不等式组：19（5 分）已知 a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值20（5 分）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点 C，使C，B 两点间的距离为 10 步，在点C 处立一根杆取CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地
7、面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线 DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在ABC中，BA，D 是 CA 的中点，CADB（）（填推理的依据）直线DB 表示的方向为东西方向，直线 CA 表示的方向为南北方向 21（6分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 22（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCA
8、D90，点 E 在 BC 上，AEDC，EFAB，垂足为 F（1）求证：四边形 AECD是平行四边形；（2）若 AE 平分BAC，BE5，cosB，求 BF 和 AD 的长23（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到（1）求这个一次函数的解析式；（2）当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围 24（6 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC于点 E（1）求证：BADCAD；（2）连接 BO 并延长，交 AC 于点F
9、，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和 OF的长25（5 分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5 组：6x8，8x10，10 x12，12x14，14x16）：b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在10 x12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c甲、乙两座城市邮政企业 4月份收入的数据的平
10、均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市 11.011.5 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中 m 的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1，p2 的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果）26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上（1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（
11、2，y2），（4，y3）在该抛物线上若mn0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明理由27（7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段 AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE（1）比较BAE与CAD 的大小；用等式表示线段 BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点 M 作 AB 的垂线，交 DE 于点 N，用等式表示线段 NE与 ND 的数量关系，并证明28（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC绕点 A 旋转可以得到O 的弦
12、BC（B，C分别是 B，C 的对应点），则称线段 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”（1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3 的横、纵坐标都是整数在线段 B1C1，B2C2，B3C3 中，O 的以点 A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t），其中 t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，AB1，AC2若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”，直接写出 OA的最小值和最大值，以及相应的BC 长2021 年北京市中考数学参考答案与试题解析一、选择题(共 16 分，每题 2 分)
13、第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1（2 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A 长方体 B 圆柱 C圆锥 D三棱柱【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图【解答】解：圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，展开图可得此几何体为圆柱故选：B【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力 2（2 分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务 20142018 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（）A0.1692101
14、2B1.6921012C1.6921011D16.921010【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1 a10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数【解答】解：将 169200000000 用科学记数法表示应为 1.6921011 故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（2 分）如图，点 O 在直线 AB 上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（）A30B40C50D60【分析】根
15、据平角的意义求出BOC 的度数，再根据垂直的意义求出答案【解答】解：AOC+BOC180，AOC120，BOC18012060，又OCOD，COD90，BODCODBOC906030，故选：A【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键4（2 分）下列多边形中，内角和最大的是（）ABCD【分析】根据多边形的内角和公式求解即可【解答】解：A三角形的内角和为 180；B 四边形的内角和为 360；C 五边形的内角和为：（52）180540；D 六边形的内角和为：（62）180720；故选：D【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键5（2 分）
16、实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）Aa2B abCa+b0Dba0【分析】根据图象逐项判断对错【解答】解：A由图象可得点A 在2 左侧，a2，A 选项错误，不符合题意Ba 到 0 的距离大于 b 到 0 的距离，ab，B 选项正确，符合题意C ab，a0，ab，a+b0，C 选项错误，不符合题意 D ba，ba0，D 选项错误，不符合题意故选：B【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义6（2 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）ABCD【分析】画树状图，共4 种等可能的结果，一枚硬币正
17、面向上，一枚硬币反面向上的有2 种结果，再由概率公式求解即可【解答】解：画树形图得：由树形图可知共 4 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有 2 种结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，故选：C【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 得到所求的情况数是解决本题的关键 7（2 分）已知 4321849，4421936，4522025，4622116 若n 为整数且 nn+1，则 n 的值为（）A43B44C45D46【分析】先写出 2021 所在的范围，再写的范围，即可得到 n 的值【解答】解：193620212025，4
18、445，n44，故选：B【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键8（2 分）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为 xm，它的邻边长为 ym，矩形的面积为 Sm2当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系 B反比例函数关系，二次函数关系 C 一次函数关系，反比例函数关系 D 反比例函数关系，一次函数关系【分析】矩形的周长为2（x+y）10，可用 x 来表示 y，代入 Sxy 中，可得 S 关于 x 的函数关系式，代简即可得出答案【解答
19、】解：由题意得，2（x+y）10，x+y5，y5x，即 y 与 x 是一次函数关系 Sxyx（5x）x2+5x，矩形面积满足的函数关系为 Sx2+5x，即满足二次函数关系，故选：A【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键二、填空题(共 16 分，每题 2 分)9（2 分）若在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x7【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案【解答】解：由题意得：x70，解得：x7，故答案为：x7【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键
20、10（2分）分解因式：5x25y25（x+y）（xy）【分析】提公因式后再利用平方差公式即可【解答】解：原式5（x2y2）5（x+y）（xy），故答案为：5（x+y）（xy）【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提11（2 分）方程的解为x3【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：2xx+3，解得 x3，检验：x3 时，x（x+3）0，方程的解为 x3故答案为：x3【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况12（2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若反比例函数 y
21、（k0）的图象经过点 A（1，2）和点 B（1，m），则 m 的值为2【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到m12，然后解关于 m 的方程即可【解答】解：反比例函数 y（k0）的图象经过点 A（1，2）和点 B（1，m），m12，解得 m2，即 m 的值为2故答案为2【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk13（2 分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点若P50，则AOB130【分析】先根据切线的性质得到OAPOBP90，然后根据四边形的内角和计算AOB的度数【解
22、答】解：PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，OAP+AOB+OBP+P360，AOB360909050130故答案为130【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 14（2分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是AEAF（写出一个即可）【分析】根据矩形的性质得到 ADBC，即 AFCE，推出四边形 ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论【解答】解：这个条件可以是 AEAF，理由：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，即
23、AFCE，AFEC，四边形 ABCD 是平行四边形，AEAF，四边形 AECF 是菱形，故答案为：AEAF【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键15（2 分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲 1112131415 乙 1212131414 甲、乙两组数据的方差分别为 s 甲 2，s 乙 2，则 s 甲 2s 乙 2（填“”，“”或“”）【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案【解答】解：（11+12+13+14+15）13，s 甲 2（1113）2+（1213）2+（1313）2+（1413
24、）2+（1513）22，（12+12+13+14+14）13，s 乙 2（1213）2+（1213）2+（1313）2+（1413）2+（1413）20.8，20.8，s甲 2s 乙 2故答案为：【点评】本题考查方差的定义：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn 的平均数为，则方差 S2（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立16（2 分）某企业有 A，B 两条加工相同原材料的生产线在一天内，A 生产线共加工 a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工 b 吨原材料，加工时间为（2b+3）小时第一天，该企业将 5
25、 吨原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 A 生产线的吨数与分配到 B 生产线的吨数的比为 2：3第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，又给 A 生产线分配了 m 吨原材料，给 B 生产线分配了 n 吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为【分析】设分配到生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5x）吨，依题意可得4x+12（5x）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为 4（2+m）+12（3+n）+3，进而求解即可得出答案【解答】解
26、：设分配到生产线的吨数为 x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5x）吨，依题意可得：4x+12（5x）+3，解得：x2，分配到 B 生产线的吨数为523（吨），分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2：3；第二天开工时，给生产线分配了（2+m）吨原材料，给生产线分配了（3+n）吨原材料，加工时间相同，4（2+m）+12（3+n）+3，解得：mn，故答案为：2：3；【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键 三、解答题（共68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21-22 题，每题 6 分，第 23
27、题 5分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（5 分）计算：2sin605（）0【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案【解答】解：原式225125134【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键18（5 分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 4
28、x5x+1，得：x2，解不等式x，得：x4，则不等式组的解集为 2x4【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19（5 分）已知 a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可【解答】解：原式a22ab+b2+2ab+b2a2+2b2，a2+2b210，a2+2b21，原式1【点评】本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键20（5 分）淮南子天文训中
29、记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取CA 的中点 D，那么直线DB 表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 CA
30、表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC中，BABC，D是CA的中点，CADB（三线合一）（填推理的依据）直线 DB 表示的方向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向【分析】（1）作BDAC于D即可（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可【解答】解：（1）如图，点D即为所求（2）在ABC中，BABC，D是CA的中点，CADB（三线合一），直线 DB 表示的方向为东西方向，直线 CA 表示的方向为南北方向故答案为：BC，三线合一【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题21（6 分）已知关于 x的一元二次
31、方程 x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出4m2，利用偶次方的非负性可得出 4m20，即0，再利用“当0 时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）利用因式分解法求出x1m，x23m由题意得出 m 的方程，解方程则可得出答案【解答】（1）证明：a1，b4m，c3m2，b24ac（4m）2413m24m2无论m 取何值时，4m20，即0，原方程总有两个实数根（2）解：x24mx+3m20，即（xm）（x3m）0，x1m，x23mm0，且该方程的两个实数根的差为2，3mm
32、2，m1【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解22（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC，EFAB，垂足为 F（1）求证：四边形 AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分BAC，BE5，cosB，求 BF 和 AD 的长【分析】（1）证 ADCE，再由 AEDC，即可得出结论；（2）先由锐角三角函数定义求出 BF4，再由勾股定理求出 EF3，然后由角平分线的性质得 ECEF3，最后由平行四边形的性质求解即可【解答】（1）证明
33、：ACBCAD90，ADCE，AEDC，四边形 AECD 是平行四边形；（2）解：EFAB，BFE90，cosB，BFBE5 4，EF3，AE平分BAC，EFAB，ACE90，ECEF3，由（1）得：四边形 AECD 是平行四边形，ADEC3【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形 AECD 为平行四边形是解题的关键23（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到（1）求这个一次函数的解析式；（2）当 x2 时，对于 x 的每一个值
34、，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）根据平移的规律即可求得（2）根据点（2，2）结合图象即可求得【解答】解：（1）函数yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到 yx1，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到，这个一次函数的表达式为 yx1（2）把 x2 代入 yx1，求得 y2，函数 ymx（m0）与一次函数 yx1 的交点为（2，2），把点（2，2）代入 ymx，求得 m1，当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 yx1 的值，m1【点评】本题考查了一次函
35、数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键24（6 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，ADBC于点 E（1）求证：BADCAD；（2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC若O 的半径为 5，OE3，求 GC 和 OF 的长【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；（2）根据勾股定理求出 BE，根据垂径定理求出 BC，根据圆周角定理得到BCG90，根据勾股定理求出GC，证明AFOCFG，根据相似三角形的性质求出OF【解答】（1）证明：AD是O 的直径，ADBC，BADCAD；（2）解：在RtBOE 中，OB5，OE
36、3，BE4，AD 是O 的直径，ADBC，BC2BE8，BG 是O 的直径，BCG90，GC6，ADBC，BCG90，AEGC，AFOCFG，即，解得：OF【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键25（5 分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5 组：6x8，8x10，10 x12
37、，12x14，14x16）：b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在10 x12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c甲、乙两座城市邮政企业 4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市 11.011.5 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中 m 的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1，p2 的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份
38、的总收入（直接写出结果）【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样 25 家邮政企业 4 月份的营业额从小到大排列，得出处在第 13 位的数据即可；（2）根据 p1，p2 所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业 4 月份的营业额的具体数据，得出答案；（3）根据乙城市邮政企业 4 月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可【解答】解：（1）将甲城市抽取的25 家邮政企业 4 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是 10.1，因此中位数是 10.1，即 m10.1；（2）由题意得 p15+3+412（家），由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是 11.0，
39、中位数是 11.5，因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上的占一半，也就是 p2 的值要大于 12，p1p2；（3）11.02002200（百万元），答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为2200 百万元【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提26（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线yax2+bx（a0）上（1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上若mn0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明理由【分
40、析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解（2）分类讨论b 的正负情况，根据mn0 可得对称轴在 x 与直线 x 之间，再根据各点到对称轴的距离判断 y 值大小【解答】解：（1）m3，n15，点（1，3），（3，15）在抛物线上，将（1，3），（3，15）代入 yax2+bx 得：，解得，yx2+2x（x+1）21，抛物线对称轴为直线 x1，（2）yax2+bx（a0），抛物线开口向上且经过原点，当 b0 时，抛物线顶点为原点，x0 时 y 随 x 增大而增大，nm0 不满足题意，当b0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，同理，nm0 不满足题意，b0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，x1
41、 时 m0，x3 时 n0，抛物线对称轴在直线 x 与直线 x 之间，即，2（），（1），y2y1y3【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解27（7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，M 为 BC 的中点，点 D 在 MC 上，以点 A 为中心，将线段AD 顺时针旋转 得到线段 AE，连接 BE，DE（1）比较BAE 与CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点 M 作 AB 的垂线，交DE 于点 N，用等式表示线段NE 与 ND 的数量关系，并证明【分析】（1）由DAEBAC 可得BAECAD，
42、然后 SAS 证ABEACD 即可；（2）作 EHAB 交 BC 于 H，可证BEFBHF 得 BFBH，再证MHMD，再借助MNHF，由平行线分线段成比例即可证出【解答】解：（1）DAEBAC，DAEBADBACBAD，即BAECAD，在ABE 和ACD 中，ABEACD（SAS），BECD，M 为 BC 的中点，BMCM，BE+MDBM；（2）如图，作 EHAB 交 BC 于 H，由（1）ABEACD得：ABEACD，ACDABC，ABEABD，在BEF和BHF 中，BEFBHF（ASA），BEBH，由（1）知：BE+MDBM，MHMD，MNHF，ENDN【点评】本题主要考查了等腰三角形的
43、性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作 EHAB 构造出全等三角形是解题的关键28（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对应点），则称线段 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3 的横、纵坐标都是整数在线段 B1C1，B2C2，B3C3 中，O 的以点 A 为中心的“关联线段”是 B2C2；（2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t），其中 t0若 BC 是O 的以点 A
44、 为中心的“关联线段”，求 t 的值；（3）在ABC 中，AB1，AC2 若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段”，直接写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长【分析】（1）利用旋转的性质以及点A 到圆上一点距离的范围，结合图形判断，即可求出答案（2）利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质，求出 BC的位置，从而求出 t 的值（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形 ABOC的各边长，利用四边形的不稳定性，画出 OA 最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案【解答】解：（1）由旋转的旋转可知：ABAB，ACAC，BABCAC，
45、由图可知点 A 到圆上一点的距离 d 的范围为 1d1，AC13d，点 C1不可能在圆上，B1C1 不是O 的以 A 为中心的“关联线段”，AC21，AB2，C2（0，1），B2（1，0），B2C2是O 的以 A 为中心的“关联线段”，AC32，AB3，当B3在圆上时，B3（1，0）或（0，1），由图可知此时 C3不在圆上，B3C3 不是O 的以 A为中心的“关联线段”故答案为；B2C2（2）ABC 是边长为 1的等边三角形，根据旋转的性质可知ABC也是边长为 1 的等边三角形，A（0，t），BCy 轴，且 BC1，AO 为 BC边上的高，且此高的长为，t 或（3）由旋转的性质和“关联线段”的
46、定义，可知ABABOBOC1，ACAC2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当 A，O，C在同一直线上时，OA 最小，最小值为 1，如图 2，此时 OAOBOC，ABC90，BC当 A，B，O 在同一直线上时，OA 最大，如图 3，此时OA2，过点 A 作 AEOC于 E，过点 C作 CFOA 于 FAOAC2，AEOC，OEEC，AE，SAOC AOCFOCAE，CF，OF，FBOB OF，BC综上OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出OA 最小和最大时的图形，属于中考压轴题。