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1、20202020 年全国年全国 2 2 卷卷 文科数学真题（解析版）文科数学真题（解析版）一、选择题：一、选择题：（每小题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分）1.已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（A.【答案】D【详解】因为A x x 3,xZ 2,1,0,1,2，B.3，2，2，3）C.2，0，2）D.2，2B x x 1,xZ x x 1或x 1,xZ，所以AB 2,2.故选：D.考点：集合的运算2.（1i）4=（A.4B.4考点：复数的运算3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，a12.设 1ijb0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与
2、 C2的顶点重合过ab4F 且与 x轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|=|AB|3（1）求 C1的离心率；（2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程【详解】解：（1）因为椭圆C1的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线C2的方程为y24cx，其中ca2b2.x2y2不妨设A,C在第一象限，因为椭圆C1的方程为：221，ab-8-22222cybbb所以当x c时，有221y，因此A,B的纵坐标分别为，；abaaa又因为抛物线C2的方程为y2 4cx，所以当x c时，有y2 4cc y 2c，2b2所以C,D的纵坐标
3、分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.a4cc2cc18b2由|CD|AB|得4c，即322()，解得 2（舍去），.3aaaa23a所以C1的离心率为1.2x2y2(2c,0)，（2）由（1）知a 2c，故C1:221，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，b 3c，4c3c(0,3c)，(0,3c)，C2的准线为x c.由已知得3cccc 12，即c 2.x2y2所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y28x.1612考点：椭圆与抛物线20.如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一
4、点过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F（1）证明：AA1/MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO=AB=6，AO/平面 EB1C1F，且MPN=积【详解】（1）M,N分别为BC，B1C1的中点，求四棱锥 BEB1C1F 的体3MN/BB1又AA1/BB1MN/AA1在等边ABC中，M为BC中点，则BC AM又侧面BB1C1C为矩形，BC BB1-9-MN/BB1MN BC由MN AM M，MN,AM 平面A1AMNBC平面A1AMN又B1C1/BC，且B1C1平面ABC，BC 平面ABC，B1C1/平面ABC又B1C1平
5、面EB1C1F，且平面EB1C1F 平面ABC EFB1C1/EFEF/BC又BC 平面A1AMNEF 平面A1AMNEF 平面EB1C1F平面EB1C1F平面A1AMN（2）过M作PN垂线，交点为H，画出图形，如图AO/平面EB1C1FAO 平面A1AMN，平面A1AMN 平面EB1C1F NPAO/NP又NO/APAO NP 6O为A1B1C1的中心.11ON A1C1sin60 6sin60 333故：ON AP 3，则AM 3AP 3 3，平面EB1C1F 平面A1AMN，平面EB1C1F 平面A1AMN NP，MH 平面A1AMN MH 平面EB1C1F-10-又在等边ABC中EFA
6、PBCAM即EFAPBC362AM3 3由（1）知，四边形EB1C1F为梯形四边形EB1C1F的面积为：S四边形EBC F1 1EFB1C126NP=624221VBEB1C1FS四边形EB1C1Fh，31h为M到PN的距离MH 2 3sin60 3，V 243 24.3考点：立体几何的平行与垂直证明，点面距问题21.已知函数 f（x）=2lnx+1（1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围；f(x)f(a)的单调性xa【详解】（1）函数f(x)的定义域为：(0,)f(x)2xc f(x)2xc 0 2ln x12xc 0()，（2）设 a0 时，讨论函数 g（x）=设h(x)2ln x1
7、2xc(x 0)，则有h(x)22(1x)2，xx当x 1时，h(x)0,h(x)单调递减，当0 x 1时，h(x)0,h(x)单调递增，所以当x 1时，函数h(x)有最大值，即h(x)max h(1)2ln1 121c 1c，要想不等式()在(0,)上恒成立，只需h(x)max0 1c 0 c 1；2ln x1(2ln a1)2(ln xlna)(x0且x a)xaxa2(xaxln xxlna)g(x)因此，设m(x)2(xa xln x xlna)，2x(xa)（2）g(x)则有m(x)2(lnalnx)，当x a时，lnx lna，所以m(x)0，m(x)单调递减，因此有m(x)m(a
8、)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减；当0 x a时，lnx lna，所以m(x)0，m(x)单调递增，因此有m(x)m(a)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,)上单调递减，没有递增区间.考点：导数中恒成立问题，单调性分类讨论（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一
9、题评分；多-11-答按所答第一题评分答按所答第一题评分 选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 1xt,x4cos2，t22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：（为参数），C：（t 为参数）.221y4sinytt（1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【详解】（1）由cos2sin21得C1的普通方程为：x y 4；1221xtxt22tt由得：，两式作差可得C2的普通方程为：x2 y2 4.yt1y2t212tt25xxy45
10、 32P（2）由2得：，即,；2xy432 2y2设所求圆圆心的直角坐标为a,0，其中a 0，171753则a0a2，解得：a，所求圆的半径r，1010221717，即x2 y217x，2所求圆的直角坐标方程为：xy5101017所求圆的极坐标方程为cos.5考点：极坐标与参数方程2222 选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数f(x)xa|x2a1|.（1）当a 2时，求不等式f(x)4的解集；（2）若f(x)4，求 a 的取值范围.【详解】（1）当a 2时，fx x4 x3.当x 3时，fx 4x3x 72x 4，解得：x当3 x 4时，fx 4x x31 4，无解；当
11、x 4时，fx x4 x3 2x7 4，解得：x23；211；2-12-综上所述：fx 4的解集为x x2311或x.222（2）fx xa x2a1 xa，2a 1 x a2时取等号）x2a1 a22a1 a1（当且仅当2a1 4，解得：a 1或a 3，a的取值范围为,1 3,.考点：绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式。2-13-绝密绝密启用前启用前20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（原卷板）（原卷板）文科数学文科数学注意事项：注意事项：1 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
12、.2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出
13、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1.已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（A.B.3，2，2，3）C.2，0，22.（1i）4=（）D.2，2）A4B.4C.4iD.4i3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，a12.设 1ijb0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过ab4F 且与 x 轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|=|AB|3（1）求 C1的离心率；（2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程20.如图，已知三棱柱 ABCA1B1C
14、1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F（1）证明：AA1/MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO=AB=6，AO/平面 EB1C1F，且MPN=积，求四棱锥 BEB1C1F 的体321.已知函数 f（x）=2lnx+1（1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围；（2）设 a0 时，讨论函数 g（x）=f(x)f(a)的单调性xa-17-（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、
15、2323 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分答按所答第一题评分 选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 1xt,x4cos2，t22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：（为参数），：（t 为参数）.C221y4sinytt（1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为
16、P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数f(x)xa|x2a1|.（1）当a 2时，求不等式f(x)4的解集；（2）若f(x)4，求 a 的取值范围.2-18-参考答案参考答案一、选择题一、选择题1.D2.A.3.C 4.B5.D.6.B.7.C.8.B.9.B.10.A 11.C.12.A.二、填空题二、填空题113.14.25.9三、解答题：三、解答题：17.15.8.16.55Acos A，所以sin2AcosA，442512即1cos AcosA，解得cos A，又0 A，所以A；234【详解】（1）因为cos2
17、b2c2a21，即b2c2a2 bc，（2）因为A，所以cosA2bc23又bc 2322a，将代入得，b c 3bc bc，3即2b22c25bc 0，而b c，解得b 2c，所以a 故b2 a2c2，即ABC是直角三角形18.3c，1201y120060，【详解】（1）样区野生动物平均数为i20i120地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为20060 12000（2）样本(xi,yi)的相关系数为r(xx)(yy)i1ii20(xx)(yy)i1ii1i2022028008090002 20.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植
18、物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.19.【详解】解：（1）因为椭圆C1的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线C2的方程为y2 4cx，其中c a2b2.-19-x2y2不妨设A,C在第一象限，因为椭圆C1的方程为：221，ab22222cybbb所以当x c时，有221y，因此A,B的纵坐标分别为，；abaaa又因为抛物线C2的方程为y2 4cx，所以当x c时，有y2 4cc y 2c，2b2所以C,D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.a4cc2cc18b2由|CD|AB|得4c，即322()，解得 2（舍去），.3
19、aaaa23a所以C1的离心率为1.2x2y2(2c,0)，（2）由（1）知a 2c，故C1:221，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，b 3c，4c3c(0,3c)，(0,3c)，C2的准线为x c.由已知得3cccc 12，即c 2.x2y2所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y28x.161220.【详解】（1）M,N分别为BC，B1C1的中点，MN/BB1又AA1/BB1MN/AA1在等边ABC中，M为BC中点，则BC AM又侧面BB1C1C为矩形，BC BB1MN/BB1MN BC由MN AM M，MN,AM 平面A1AMNBC平面A1AMN又B1C1/BC，且B1C1平
20、面ABC，BC 平面ABC，B1C1/平面ABC又B1C1平面EB1C1F，且平面EB1C1F 平面ABC EFB1C1/EFEF/BC又BC 平面A1AMNEF 平面A1AMN-20-EF 平面EB1C1F平面EB1C1F平面A1AMN（2）过M作PN垂线，交点为H，画出图形，如图AO/平面EB1C1FAO 平面A1AMN，平面A1AMN 平面EB1C1F NPAO/NP又NO/APAO NP 6O为A1B1C1的中心.11ON A1C1sin60 6sin60 333故：ON AP 3，则AM 3AP 3 3，平面EB1C1F 平面A1AMN，平面EB1C1F 平面A1AMN NP，MH
21、平面A1AMN MH 平面EB1C1F又在等边ABC中EFAPBCAM即EFAPBC362AM3 3由（1）知，四边形EB1C1F为梯形四边形EB1C1F的面积为：S四边形EB1C1FEFB1C126NP=624221VBEB1C1FS四边形EB1C1Fh，31h为M到PN的距离MH 2 3sin60 3，V 243 24.321.【详解】（1）函数f(x)的定义域为：(0,)f(x)2xc f(x)2xc 0 2ln x12xc 0()，-21-设h(x)2ln x12xc(x 0)，则有h(x)22(1x)2，xx当x 1时，h(x)0,h(x)单调递减，当0 x 1时，h(x)0,h(x
22、)单调递增，所以当x 1时，函数h(x)有最大值，即h(x)max h(1)2ln1 121c 1c，要想不等式()在(0,)上恒成立，只需h(x)max0 1c 0 c 1；2ln x1(2ln a1)2(ln xlna)(x0且x a)xaxa2(xaxln xxlna)因此g(x)，设m(x)2(xa xln x xlna)，x(xa)2（2）g(x)则有m(x)2(lnalnx)，当x a时，lnx lna，所以m(x)0，m(x)单调递减，因此有m(x)m(a)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减；当0 x a时，lnx lna，所以m(x)0，m(x)单调递增，因此有m(x)m(
23、a)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,)上单调递减，没有递增区间.22.【详解】（1）由cos2sin21得C1的普通方程为：x y 4；1221xtxt22tt由得：，两式作差可得C2的普通方程为：x2 y2 4.yt1y2t212tt25xxy45 32P（2）由2得：，即,；22 2xy4y32设所求圆圆心的直角坐标为a,0，其中a 0，171753则a0a2，解得：a，所求圆的半径r，1010221717，即x2 y217x，2所求圆的直角坐标方程为：xy5101017所求圆的极坐标方程为cos.523.【详解】（1）当a 2时，fx x4 x3.2222-22-当x 3时，fx 4x3x 72x 4，解得：x当3 x 4时，fx 4x x31 4，无解；当x 4时，fx x4 x3 2x7 4，解得：x综上所述：fx 4的解集为x x23；211；2311或x.222（2）fx xa x2a1 xa，2a 1 x a2时取等号）x2a1 a22a1 a1（当且仅当2a1 4，解得：a 1或a 3，a的取值范围为,1 3,.2-23-