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1、绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前20212021 年一般高等学校招生全国统一考试年一般高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。留意事项：留意事项：1.1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的码的“准考证号、姓名、考试科目准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否全都。与考生本人准考证号、姓名是否全都。2.2.第卷每小题选出答案后，第卷每小题选出答案
2、后，用用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，在选涂其他答案标号。第铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，在选涂其他答案标号。第卷必需用卷必需用 0.50.5 毫米黑色签字笔书写作答毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。若在试题卷上作答，答案无效。3.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷第卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只
3、有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,12,14,则集合 AB 中元素的个数为（A）5（B）4（C）3（D）2解析：AB x|x 3n2,nN6,8,12,148,14，答案选 D.（2）已知点 A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）解析：由AC (4,3)及点 A（0,1）可得点 C（-4，-2），则BC(43,22)(7,4)，答案选 A.（3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z=（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i解析：由
4、（z-1）i=i+1 可得z 1i1i 2i，答案选 C（4）假如 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5中任取 3 个不同的数，则3 个数构成一组勾股数的概率为（A）10113（B）5（C）10（D）1203解析：由题意可知 1，2，3，4，5 中只有 3，4，5 这一组勾股数，P C31C3,答案选 C.510（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y=8x 的焦点重合，A，B 是 C的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（A）3（B）6（C）9（D）12解析：抛物线 C：y=8x 的焦点为(2,0
5、)，则椭圆 Ex2y2a2b21(a b 0)中的a2b2 2,e ca12,a 4,b 12,|AB|2b2c 2a 6，答案故选 B.（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛解析：设圆锥底面半径为 r，则1423r
6、 8=r 1611163203，所以米堆的体积为433(3)25=9，故堆放的米约为32091.6222，故答案选 B.（7）已知是公差为 1 的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10（D）12解析：Sn(n1)n na12,S8a 4(4a11198128 4S416),a12,a1029 2，故答案选 B.（8）函数 f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-,k-）,k（B）（2k-,2k-）,k（C）（k-,k-）,k（D）（2k,2k）,k解析：T 2(5144)2,142,4，f(x)cos(x4)，由2kx134 2k得2k 4 x 2k 4，故答案
7、选 D.（9）执行右面的程序框图，假如输入的t=0.01，则输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8解析：故答案选 C（10）已知函数，且 f（a）=-3，则 f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-314（D）-4log1)3,x 7,f(67)f(1)2112 7解析：由题意知2(x4，答案选 A（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则 r=（A）1(B)2(C)4(D)8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为 2r，
8、其表面积为124r2r2r r22r2r=5r24r2=16+20，解得 r=2，故答案选B.（12）设函数 y=f（x）的图像与函数y 2xa的图像关于直线 y=-x 对称，且 f（-2）+f（-4）=1，则 a=（A）-1（B）1（C）2（D）4解析：函数 y=f（x）的图像上的任意一点(x,y)关于直线 y=-x 对称的点(y,x)在函数y 2xa的图像上，即x 2ya，yalog2(x)，则 y=f（x）的解析式为f(x)alog2(x)，从而f(2)f(4)2a31，解得a 2,答案选 C第卷第卷留意事项：留意事项：第卷共第卷共 3 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷
9、上作答，答案无效。页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。本卷包括必考题和选考题两部分。第第 1313 题题 第第 2121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必需作答。每个试题考生都必需作答。第第 2222 题题 第第 2424 题为选考题，考生依据要求做答。题为选考题，考生依据要求做答。二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分（13）在数列an中，a1=2,an+1=2an,Sn为an的前 n 项和。若 Sn=126，则 n=.答案：6解析：由 a1=2,an+1=2an,可得an 2n
10、,Sn 2n12 126,2n1 27,n 6.（14）已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则 a=.答案：1解析：f(x)=ax3+x+1，f(x)3ax21,f(1)3a17a11215a,a1.（15）x,y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为.答案：4解析：画出可行域，经分析可知当x y 1时 z=3x+y 取最大值为 4.F 是双曲线 C：x2-y2（16）已知8=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,66）.当APF周长最小时，该三角形的面积为.答案：12 6解析：设F是双曲线C：x2-y28=1的左焦点，而P是C
11、的左支上一点，则|PF|PF|2,APF周长等于|PA|PF|AF|PA|PF|AF|2|AF|AF|232,当且仅当点P,F,A共线时等号成立，点P在线段FA上，线段FA:y 2 6x 6 6(3 x 0)，代入 x2-y28=1 可得8x2(26x 66)2 8,x29x140，解得x 2,x 7（舍去），则P(2,2 6)到直线FA:y 2 6x6 6的距离为d 8 65,S 11 8 62d|AF|2515 12 6.三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）已知 a，b，c 分别为 ABC 内角
12、A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a=2，求 ABC 的面积.解：（）由题设及正弦定理可得b2 2ac，又a b，可得b 2c,a 2c，由余弦定理可得cosB a2c2b22ac14；-6分（）由（）知b2 2ac，由于 B=90，由勾股定理知b2 a2c2，故a2c2 2ac，得a c 2，所以 ABC 的面积为 1.-12分.（18）（本小题满分 12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥ACD 的
13、体积为63，求该三棱锥的侧面积（19）（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣扬费和年销售量（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw8888（x1-x）（w1-w）2(y-y)i1i1（x1-x）i1（w1-w）(y-y)i1246.65636.8289.81.61469108.88表中 w1=x1,1，w=8w1i1（1）依据散点图推断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回归方程类型？（给出
14、推断即可，不必说明理由）（）依据（）的推断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）以知这种产品的年利率z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。依据（）的结果回答下列问题：（i）年宣扬费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣扬费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）.（unvn）,其回归线 v=u 的斜率和截距的最小二乘估量分别为：（20）（本小题满分 12 分）已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.（1）求 K 的取值范围；（2）若OMON=12，其
15、中 0 为坐标原点，求MN.（21）.（本小题满分 12 分）设函数f(x)e2xaln x.（）争辩f(x)的导函数f(x)零点的个数；（）证明：当a 0时，f(x)2a aln2a。请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，假如多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是O的直径，AC 是O的切线，BC 交O于点 E。（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O的切线；（）若 CA=3CE，求ACB 的大小。（22）解：（1）证明：连结 AF，由已知得，AE BC,AC AB.在RtAEC中，由已知得DE D
16、C，故DEC DCE，连结 OE，则OBE OEB.又ACB ABC 90，所以DEC OEB 90，故OED 90,DE 是O的切线；-5分（）设CE 1,AE x，由已知得AB 2 3,BE 12 x2.由射影定理得AE2 CEBE,所以x2 12 x2，即x4 x212 0，可得x 3，所以ACB 60.-10分.（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2,圆C222：(x1)(y 2)1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求C1，C2的极坐标方程。（2）若直线 C3的极坐标为=4（R）,设 C2与 C3的交点为 M，N,求C2MN 的面积（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=|x+1|-2|x-a|，a0.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.x12a,x 1,()由题设得f(x)3x12a,1 x a,所以函数 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别x12a,x a.为A(2a13,0),B(2a1,0),C(a，a1)，于是ABC的面积为2(a1)23，由题设得23(a1)26，而 a0，解得a2，故所求的a的取值范围是(2,).-10 分