《高中数学选修计数原理练习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修计数原理练习.pdf（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十一章计数原理第 1 讲两个基本计数原理对应学生用书P168考点梳理1分类加法计数原理完成一件事，有 n 类办法：在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法【助学微博】两个原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题区别：分类计数原理与分类有关，各种方法
2、相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可考点自测1“海山联合2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有 4 艘军舰、3 架飞机；俄方有5 艘军舰、2 架飞机，若从中、俄两方中各选出 2 个单位(1 架飞机或 1 艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有_种12解析若中方选出一架飞机，则选法有 C14C3C5120(种)；若俄方选出一架飞12机，则选法有 C15C2C460(种)故不同选法共有 1
3、2060180(种)答案1802(2012全国大纲卷改编)6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_种5解析甲先排在其余 4 个位置上有 C1剩余元素则进行全排列，有 A5种4种方法，5排法，由分步乘法计数原理，得一共有 C14A5480(种)答案4803(2012广州模拟)已知集合 A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成_个集合11111解析C14C3C4C2C3C226(个)答案264(2010湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4 个数字的一
4、个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_解析若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1；若恰有3 个位置的数字不同2的信息个数为 C34；若恰有 2 个位置上的数字不同的信息个数为 C4，由分类计2数原理知满足条件的信息个数为 1C34C411.答案115.某电子元件是由 3 个电阻组成的回路，其中有 4 个焊点 A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有_种解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2222115(种)法二恰有 i 个
5、焊点脱落的可能情况为 Ci4(i1,2,3,4)种，由分类计数原理，当234电路不通时焊点脱落的可能情况共 C14C4C4C415(种)答案15对应学生用书P168考向一分类加法计数原理【例 1】若集合 A1、A2满足 A1A2A，则称(A1，A2)为集合 A 的一种分拆，并规定：当且仅当 A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合 A 的同一种分拆，问集合 Aa1，a2，a3的不同分拆种数有多少个？解若 A1，则 A2a1，a2，a3；若 A1a1，则 A2a2，a3或a1，a2，a3；若 A1a2，则 A2a1，a3或a1，a2，a3；若 A1a3，则 A2a1，a2或a1，a2，a
6、3；若 A1a1，a2，则 A2a3或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3；若 A1a1，a3，则 A2a2或a1，a2或a2，a3或a1，a2，a3；若 A1a2，a3，则 A2a1或a1，a2或a1，a3或a1，a2，a3；若 A1a1，a2，a3，则 A2或a1或a2或a3或a1，a2或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3故不同的分拆种数为 13234827.方法总结 分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【训练 1】如图所
7、示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 8432(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有 8(个)由分类加法计数原理知，共有 32840(个)考向二分步乘法计数原理【例 2】如图所示三组平行线分别有 m、n、k 条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成 mnk 个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和22222分步计数原理知共可构成
8、 C2mCnCnCkCkCm个平行四边形方法总结 此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”【训练 2】由数字 1,2,3,4(1)可组成多少个 3 位数；(2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字解(1)百位数共有 4 种排法；十位数共有 4 种排法；个位数共有 4 种排法，根据分步计数原理共可组成 4364(个)3 位数(2)百位上共有 4 种排法；十
9、位上共有 3 种排法；个位上共有 2 种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的 3 位数 43224(个)(3)排出的三位数分别是 432、431、421、321，共 4 个考向三涂色问题【例 3】如图，用5 种不同的颜色给图中 A、B、C、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂 A 有 5 种涂法；涂B 有 4 种方法；涂C 有 3 种方法；涂D 有 3 种方法(还可以使用涂 A 的颜色)根据分步计数原理共有 5433180(种)涂色方法3法二由于 A、B、C 两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同
10、，共有 A560(种)涂法；又D 与 B、C 相邻，因此D 有 3 种涂法；由分步计数原理知共有603180(种)涂法方法总结 涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理【训练 3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法数解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD 的顶点 S、A、B
11、 所染的颜色互不相同，它们共有 54360(种)染色方法当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3，若 C 染 2，则 D 可染 3或 4 或 5，有3 种染法；若C 染 4，则D 可染 3 或 5，有2 种染法，若C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 S、A、B 已染好时，C、D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 607420(种)法二以 S、A、B、C、D 顺序分步染色第一步，S 点染色，有 5 种方法；第二步，A 点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法；第三步，B 点染色，与 S、A 分别在同一条棱上，有 3 种方法；第四步，C 点染色，也有
12、 3 种方法，但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻，需要针对 A 与 C 是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时，D 点有 3 种染色方法；当 A与 C 不同色时，因为C 与 S、B 也不同色，所以C 点有 2 种染色方法，D 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)法三按所用颜色种数分类5第一类，5 种颜色全用，共有 A5种不同的方法；第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与 D)，共有 2A45种不同的方法；第三类，只用3 种颜色，则A 与 C、B 与 D 必定同色，共有A35种不同的方法53由分类
13、加法计数原理，得不同的染色方法总数为 A52A45A5420(种)对应学生用书P170热点突破 28两个计数原理的综合应用高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键【示例】(2012四川卷改编)方程 ayb2x2c 中的 a，b，c3，2,0,1,2,3，且 a，b，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条审题与转化 第一步：以 y 的系数 a 的取值为标准进行分类 令 a 依次取值1,2,3，2，3.第二步：在 a 值确定的情况下，再依次确定 c、b2值规范解答 第三步：当
14、a1 时，若 c0，则 b2有 4,9 两个取值，共 2 条抛物线；若 c0，则 c 有 4 种取值，b2有两种，共有 248(条)抛物线；当 a2 时，若 c0，b2取 1,4,9 三种取值，共有 3 条抛物线；若 c0，c 取 1 时，b2有 2 个取值，共有 2 条抛物线，c 取2 时，b2有 2 个取值，共有 2 条抛物线，c 取 3 时，b2有 3 个取值，共有 3 条抛物线，c 取3 时，b2有 3 个取值，共有 3 条抛物线共有 3223313(条)抛物线同理，a2，3,3 时，共有抛物线 31339(条)由分类加法计数原理知，共有抛物线 39138262(条)反思与回顾 第四步
15、：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用高考经典题组训练1(2012北京卷改编)从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_个解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇对(1)，个位(3 种选择)，十位(2 种选择)，百位(2 种选择)，共12 种；对(2)，个位(3 种选择)，十位(2 种选择)，百位(1 种选择)，共 6 种，即 12618(个)答案182(2012浙江卷改编)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种解析4 个数和为偶数，可分为三类422四个奇数 C4
16、5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4.422共有 C45C4C5C466(种)不同取法答案663(2012课标全国卷改编)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有_种2解析甲地由 1 名教师和 2 名学生：C12C412(种)答案124(2011北京卷)用数字 2,3 组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)解析法一数字 2 只出现一次的四位数有 C144(个)；数字 2 出现两次的四23位数有 C24C26(个)；数字 2 出现三次的四位数有 C44(个)
17、故总共有 46414(个)法二由数字 2,3 组成的四位数共有 2416(个)，其中没有数字 2 的四位数只有 1 个，没有数字 3 的四位数也只有 1 个，故符合条件的四位数共有 16214(个)答案145(2012大纲卷改编)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种解析利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C133 种；再填写右上角的数为 2 种；再填写第二行第一列的数有 2 种，一共有 32212(种)答案12对应学生用书P355分层训练 A 级基础达标演练(时间：30 分钟满分：60 分)一、填空题(每小题
18、5 分，共 30 分)1由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有_个解析可用排除法，由 0,1,2,3 可组成的四位数共有 343192(个)，其中无重3复的数字的四位数共有 3A318(个)，故共有 19218174(个)答案1742(2012长春市三测)现有 4 名教师参加说题比赛，共有 4 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这 4 位选中的情况有_种解析首先选择题目，从 4 道题目中选出 3 道，选法为 C34，而后再将获得同一道题目的 2 位老师选出，选法为 C24，最后将 3 道题目，分配给 3 组老师，3323
19、分配方式为 A3，即满足题意的情况共有 C4C4A3144(种)答案1443某次活动中，有 30 人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人进行礼仪表演，要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)解析其中最先选出的一个人有 30 种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共 9 个位置上选人，还剩一个 5 行 4 列的队形，故选第二个人有 20 种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，此时第三个人的选法有 12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.答案7 2004.(2012汕头模拟)如图，用
20、6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种解析从 A 开始，有 6 种方法，B 有 5 种，C 有 4 种，D、A 同色 1 种，D、A不同色 3 种，不同涂法有 654(13)480(种)答案4805高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，三个班去何工厂可自由选择，但甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有_种解析三个班去四个工厂不同的分配方案共 43种，甲工厂没有班级去的分配方案共 33种，因此满足条件的不同的分配方案共有 433337(种)答案376(2011全国卷改编)4 位同学从甲、乙、丙3 门课程中选修 1
21、门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有_种解析分三步，第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲共有 C24种不同选法，第二步给第 3 位同学选课程，有 2 种选法第三步给第 4 位同学选课程，也有 2 种不同选法故共有 C242224(种)答案24二、解答题(每小题 15 分，共 30 分)7.如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有多少种？解先涂 A、D、E 三个点，共有 43224(种)涂法，然后再按 B、C、F 的顺序涂色，分为两类：一类是 B 与 E 或D 同色，共有2(2112
22、)8(种)涂法；另一类是B 与 E 或 D 不同色，共有 1(1112)3(种)涂法所以涂色方法共有 24(83)264(种)8现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人，相邻的数字不分给同一个人星期一：可分给 5 人中的任何一人有 5 种分法；星期二：可分给剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法；同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法，由分步计数原理共有544441
23、 280(种)不同的排法分层训练 B 级创新能力提升1(2012无锡调研)将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3个数的形式随机排列，设 Ni(i1,2,3)表示第 i 行中最大的数，则满足 N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)12解析由已知数字 6 一定在第三行，第三行的排法种数为 A3A560；剩余的11三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A2A24，由分步计数原理满足条件的排列个数是 240.答案2402.(2013盐城检测)数字 1,2,3，9 这九个数字填写在如图的9 个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也
24、依次增大，当数字 4 固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有_种解析必有 1、4、9 在主对角线上，2、3 只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5 只有两种填法对于 5 的每一种填法，6、7、8 只有 3 种不同的填法，由分步计数原理知共有 22312(种)填法答案123(2010上海)从集合 Ua，b，c，d的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)，U 都要选出；(2)对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 AB 或 AB.那么，共有_种不同的选法解析将选法分成两类第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有 C146
25、24(种)第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有 C24212(种)综上共有 241236(种)答案364(2012揭阳一中检测)用 n 个不同的实数 a1，a2，an可得到 n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n！行的数阵，对第i 行 ai1，ai2，ain，记biai12ai23ai3(1)nnain，i1,2,3，n！.例如：用 1,2,3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以，b1b2b61221231224.那么，在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中，b1b2b120等于_解析在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中，每一列
26、的和为(12345)A44360，b1b2b120360236033604360536033601 080.答案1 0805(2012扬州调研一)用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色(如图甲、乙所示)要求在，四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若 n6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有 120 种不同的方法，求 n 的值解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为，这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种数，因此有：(1)为区域着色时有 6 种方法，为区域着色时有 5 种方法，为区域着色时有 4 种方法，为区域着色时有 4
27、 种方法，依据分步(乘法)计数原理，不同的着色方法为 6544480(种)(2)由题意知，为区域着色时有 n 种方法，为区域着色时有(n1)种方法，为区域着色时有(n2)种方法，为区域着色时有(n3)种方法，由分步计数原理得不同的着色数为 n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)120.而 1205432，n5.6(2012镇江调研二)已知集合 Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f 是从 A 到 B的映射(1)若 B 中每一元素都有原象，这样不同的 f 有多少个？(2)若 B 中的元素 0 无原象，这样的 f 有多少个？(3)若 f 满足 f(a1)f(a2)f(a3)f
28、(a4)4，这样的 f 又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即 a1找象有 4 种方法，a2找象有 3 种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有432124(个)(2)0 无原象，1,2,3 有无原象不限，所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种方法 所以不同的 f 共有 3481(个)(3)分为如下四类：第一类，A 中每一元素都与 1 对应，有 1 种方法；第二类，A 中有两个元素对应 1，一个元素对应 2，另一个元素与 0 对应，有1C2C212(种)方法；42第三类，A 中有两个元素对应 2，另两个元素对应 0，有 C2C26(种)方法；4第四类，A 中有一
29、个元素对应 1，一个元素对应 3，另两个元素与 0 对应，有1C1C312(种)方法4所以不同的 f 共有 11261231(个).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第 2 讲排列与组合对应学生用书P170考点梳理1排列与排列数(1)排列的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn表示*(3)排列数公式：Amnn(n
30、1)(n2)(nm1)，其中 n，mN N，且 mn.(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排n列，Ann(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为Amnn！，这里规定 0！1.nm！2组合与组合数(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cmn表示mn！nn1n2nm1An(3)组合数的计算公式：Cm，nAmm！nm！mm121m由于 0
31、！1，所以 C0n1.nmmmm1(4)组合数的性质：CmnCn；Cn1CnCn.【助学微博】解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直接处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除
32、以定序元素的全排列组合数公式的两种形式组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算注意公式的逆用即由n！m！nm！写出 Cmn.考点自测18 名运动员参加男子 100 米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8 的八条跑道，若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这 8 名运动员安排跑道的方式共有_种解析可分步完成，先从 8 个数字中取出 3 个连续的三个数字共有 6 种可能，将指定的 3 名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的 5 个排在其他的3
33、5编号的 5 个跑道上，故共有 6A3A54 320(种)方式答案4 3202若甲、乙、丙3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种2解析分三类：甲在周一，共有 A4种排法；2甲在周二，共有 A3种排法；甲在周三，共有 A22种排法；22A24A3A220(种)答案203(2010山东卷改编)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种解析因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五
34、人在前五位上的排43法当甲排在第一位时，有 A424(种)排法；当甲排在第二位时，有 A1A3318(种)排法，所以共有方案 241842(种)答案424(2013温州检测)如图，将 1,2,3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种13232解析只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此填写方法共有 A3A221332112(种)答案125(2013南京师大附中阶段检测)某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的
35、不同排法种数是_(用数字作答)解析可将 6 项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b 五个元素的23排列，可先排 a、b，再排甲、乙、丙丁共 A5C320(种)排法也可先排甲、2乙、丙丁，再排 a、b，共 C35A220(种)排法答案20对应学生用书P171考向一排列问题【例 1】有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不
36、相邻；(5)全体排成一行，男生不能排在一起；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人解(1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故先安排甲，左、1右、中共三个位置可供甲选择，有 A3种，其余 6 人全排列，有 A66种16由分步计数原理得 A3A62 160(种)(2)位置分析法(特殊位置优先安排)先排最左边，除去甲外，有A16种，余下的656 个位置全排有 A6种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A5种165则符合条件的排法共有 A6A6A15A53 720(种)
37、(3)捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共35有 A3A5720(种)4(4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 A33A4144(种)3(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有 A44A51 440(种)(6)定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二7步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此 A7NA33，NA77A3840(种)3(7)与无任何限制的排列相同，有 A775 040(种)(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A35种，甲、乙和23其余 2 人排成一排且甲
38、、乙相邻的排法有 A2A3种，最后再把选出的 3 人的排33列插入到甲、乙之间即可，共有 A5A22A3720(种)方法总结 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路【训练 1】有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间解(1)法一(元素分析法)8先排甲有 6 种，其余有 A8种，故共有 6A88241 920(种)排法法二(位置分析法)36中间和两端有 A8种排法，包括甲在
39、内的其余 6 人有 A6故共有 A3A66种排法，8336720241 920(种)排法法三(等机会法)99 个人的全排列数有 A9种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲96不在中间及两端的排法总数是 A99241 920(种)法四(间接法)98A93A86A88241 920(种)(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，27共有 A2A710 080(种)排法(3)(插空法)45先排 4 名男生有 A4种方法，再将 5 名女生插空，有 A5故共有 A4A55种方法，42 880(种)排法考向二组合问题【例 2】某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指
40、定一名队长现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解(1)一名女生，四名男生4故共有 C1C8350(种)53(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2C11165(种)2(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：C1C421135C2C11825(种)或采用排除法：C5213C11825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：314C2C8C5C8C558966(种)(5)分两类：
41、第一类女队长当选：C412；第二类女队长不当选：3224C1C7C4C7C3C1447C4.故选法共有：13314C4C7C2C2C7C4790(种)12C447C4方法总结 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序，从而造成计算错误【训练 2】已知甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且
42、甲、乙所选课程中恰有 1 门相11同的选法种数共有 C24C2C224(种)2(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C4，又甲乙两人所2选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同选法种数为 C42C24C430(种)考向三排列、组合的综合应用【例 3】将 4 个编号为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？(5)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰
43、有一个空盒，有多少种不同的放法？解(1)有 44256(种)放法(2)有 A4424(种)放法(3)先取 4 个球中的两个“捆”在一起，有 C24种选法，再将三组小球投入四个323盒子中的三个盒子，有 A4种投放方法，故共有 C4A4144(种)放法(4)有 C1428(种)放法(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余1下两个盒子各放一个球，由于球相同，所以共有 C34C412(种)放法方法总结 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列 其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准【训
44、练 3】有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成 1 本、2 本、3 本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；(3)分成每组都是 2 本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本解(1)分三步：先选一本有 C1再从余下的 5 本中选 2 本有 C26种选法；5种选法；123对于余下的三本全选有 C33种选法，由分步乘法计数原理知有 C6C5C360(种)选法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，233因此共有 C16C5C3A3360(种)选法22(3)先分三步选取，则应是 C2
45、6C4C2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记 622本书为分别 A、B、C、D、E、F，若选取时选取了(AB，CD，EF)，则 C26C4C2种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、3AB)、(EF、AB、CD)共有 A33种情况，而且这 A3种情况仅是 AB、CD、EF 的顺22C26C4C2序不同，因此只算作一种情况，故分配方式有15(种)A3322C26C4C2222(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有A3A33C6C4C290(种)3对应学生用书P173热点突破 29有限制条件的排列、组合问题在高考中，主要考查用排列、组合
46、知识解决实际问题注重对学生理解、分析和解决问题的能力及分类讨论思想的考查【示例】(2012山东卷改编)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取3 张，要求这3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_审题与转化 第一步：无红色时，分 3 张不同色和 2 张同色两类；有红色时，分剩余 2 张同色与 2 张不同色两类规范解答 第二步：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选311121张，若都不同色，则有 C1若 2 张同色，则有 C24C4C464(种)，3C2C4C4211144(种)；若红色卡片有 1 张，剩余 2 张不同色，则
47、有 C14C3C4C412192(种)，剩余 2 张同色，则有 C14C3C472(种)，所以共有 6414419272472(种)不同的取法反思与回顾 第三步：解决这类问题通常有以下三种方法：(1)元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)位置分析法：以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数高考经典题组训练1(2012辽宁卷改编)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_(用阶乘表示)解析由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐
48、法3！，三个家庭即(3！)3，三个家庭又可全排列，因此(3！)4答案(3！)42(2011全国卷改编)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有_种解析分两种情况：选 2 本画册，2 本集邮册送给 4 位朋友有 C246(种)方法；选 1 本画册，3 本集邮册送给 4 位朋友有 C144(种)方法不同的赠送方法共有 6410(种)答案103(2010四川卷改编)由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是_解析分析可知 5 只能在第 1,2,4,5 位，5 在第 1
49、位，1 与 3 在第 3,4,5 位，2323有 A3A336(个)；5 在第 2 位，1 与 3 在第 4,5 位，有 A2A312(个)；5 在第 4 位同第 2 位，在第 5 位同第 1 位，故共有(3612)296(个)答案964(2011湖北卷)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 n6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)123456解析如图所示的六个正方形若互不相邻有：不着黑色，共有 1 种；着一格黑色共有 C166(种)
50、；着1两格黑色共有 C26C510(种)；着三格黑色共有 4 种共计 21 种所有着色情况共有 2664(种)，又由上知互不相邻的着色方案有 21 种故至少有两个相邻的着色方案共有 642143(种)答案21435(2012湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249 等显然2 位回文数有 9 个：11,22,33，99.3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1(nN)位回文数有_个解析从左右对称入手考虑(1)4 位回文数第 1、4 位取同一个非零数有 C199(种)选法