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1、【高中数学】计数原理总结【高中数学】计数原理总结知识梳理：知识梳理：1.分类加法计数原理和分布乘法计数原理(1)如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类中有m1 种不同的方法，在第二类中有m2 种不同的方法，在第 n 类中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_种不同的方法。(2)如果完成一件事需要 n 个不同的步骤，在第一步中有 m1 种不同的方法，在第二步中有m2 种不同的方法，在第 n 步中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_种不同的方法。(3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是_；必须要连续若干步才能完成则是_。分类要用分类计数原理将种数_，
2、分步要用分步计数原理将种数_。2.排列与组合(1)排列mAn n(n1)(n2)mAn n(n1)(n2)(nn(n1)(n2)(nm1)(nm)(nm1)(nm1)(nm)(nm1)321321n!(nm)!(2)组合n!(nm)!组合数公式Cnmn(n1)(n2)(nm1)n!(nm)(nm1)321(nm)!m!组合数的两个性质_、。区别排列与组合3.常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略(5)相邻问题捆绑的策略(2)合理分类和准确分布的策略(4)正难则反、等价转化的策略(6)不相邻问题插空处理的策略(8)分排问题直排处理的策略(10)构造模型的策略。(3)排列、组合混合
3、问题先选后排的策略(7)定序问题除法处理的策略4.二项式定理n0n1n11rnrrnn(1)二项式定理：(a b)Cna Cnab Cnab Cnb(n N)(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略rnrr(2)通项：展开式的第r 1项，即Tr1 Cnab(r 0,1,n)(3)二项式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即Cm增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C0n n1n n2n nk kn nn12nn2nnCnnm=Cn12n二项式系数的和：C C
4、C C C C C C C C 2n nn nn n奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即C0+C2+nn3=C1+Cnn+=2n-1第 1 页【高中数学】计数原理总结典例精析：典例精析：【题型一】分类加法计数原理、分布乘法计数原理的应用例 1.已知集合 M=-3，-2，-1，0，1，2，P（a,b）表示平面上的点（a,bM）问：(1)P 表示平面上多少个不同的点？(2)P 表示平面上多少个第二象限的点？(3)P 表示多少个不在直线 y=x 上的点？【题型二】两个计数原理的综合应用例 2.用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字比2000 大的四位偶数。【题型三】排列数
5、、组合数公式的应用2973(1)(C100C100)/A10133(2)C3C43C10mnm1CnCn1(3)mnmCnCnm1(4)证明：Am AmnmAnn+1【题型四】排列应用题例 4.7 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法？(1)甲排头(2)甲不排头，也不排尾(4)甲乙之间有且只有两人(6)甲在乙的左边（不一定相邻）(8)甲不排头，乙不排当中(3)甲、乙、丙三人必须在一起(5)甲、乙、丙三人两两不相邻(7)甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序【题型五】组合应用问题例 5.7 名男生和 5 名女生选取 5 人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A、B 必须当选(2
6、)A、B 必不当选(3)A、B 不全当选(4)至少有两名女生当选【题型六】排列、组合应用题例 6.(1)某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 _种。(2)有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的4 张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）第 2 页【高中数学】计数原理总结常用方法总结：常用方法总结：1.1.相邻问题捆绑法：相邻问
7、题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有()A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种2.2.相离问题插空排：相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是()A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种3.3.定序问题缩倍法：定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，
8、可用缩小倍数的方法.例 3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是()A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种4.4.标号排位问题分步法：标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种5.5.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法
9、.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是()A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有()A、C C C4124844种 B、3C C C种412484444C12C84C4C、C C A种D、种3A341248336.6.全员分配问题分组法全员分配问题分组法:例 6.(1)4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？(2)5 本不同的书，全部分给4 个学生，每
10、个学生至少一本，不同的分法种数为()A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种7.7.名额分配问题隔板法名额分配问题隔板法:例 7.10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.8.限制条件的分配问题分类法限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？第 3 页【高中数学】计数原理总结9.9.多元问题分类法：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9.(1
11、)由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A、210 种B、300 种C、464 种D、600 种(2)从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？(3)从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？10.10.交叉问题集合法：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第
12、一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.11.定位问题优先法：定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.12.多排问题单排法：多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.(1)6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是()A、36 种B、120 种C、720 种D、1440 种(2)8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少
13、种不同排法？13.13.“至少至少”“”“至多至多”问题用间接排除法或分类法：问题用间接排除法或分类法：例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有()A、140 种14.14.选排问题先取后排：选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14.(1)四个不同球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？(2)9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15.15.部分合条件问题排除法：部分合条件问题排
14、除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有()A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种B、80 种C、70 种D、35 种(2)四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有()A、150 种16.16.圆排问题单排法：圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的B、147 种C、144 种D、141 种第 4 页【高中数学】计数原理总结排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别
15、在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1,a2,a3故认为相同，n个元素的圆排列数有,an;a2,a3,a4,an,;an,a1,an1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n1元素全排列.n例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17.17.可重复的排列求幂法：可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法.例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？18.18.复杂排列组合问
16、题构造模型法：复杂排列组合问题构造模型法：例 18.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？20.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例 20.(1)30030 能被多少个不同偶数整除？(2)正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？21.21.利用对应思想转化法：利用对应思想转化法：对应思想 是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21.(1)圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？(2)某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？B BnA A第 5 页