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1、数值分析常微分方程数值分析常微分方程初值问题的解法初值问题的解法第1页，本讲稿共44页6.1 基本离散方法基本离散方法6.2 Runge-Kutta方法方法6.3 线性多步法线性多步法6.4 收敛性与稳定性收敛性与稳定性6 常微分方程数值解法常微分方程数值解法第2页，本讲稿共44页 考虑一阶常微分方程的初值问题考虑一阶常微分方程的初值问题:例如：其解析解为：6.1 基本离散方法基本离散方法第3页，本讲稿共44页 但是但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。表示的函数解，而大量的
2、微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于因此，只能依赖于数值方法数值方法去获得微分方程的去获得微分方程的数值解数值解。例如：例如：其解析解为：其解析解为：很难得到其解析解很难得到其解析解第4页，本讲稿共44页例如：其解析解为 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于因此，只能依赖于数值方法数值方法去获得微分方程的去获得微分方程的数值解数值解。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x
3、0 x1 xn=b 处的近似值处的近似值通常取节点间距通常取节点间距 为步长，通常采用等距节点，即为步长，通常采用等距节点，即取取 hi=h(常数常数)。它适合计算机求解。它适合计算机求解,应用广泛应用广泛,具有应用价值。具有应用价值。第5页，本讲稿共44页 Taylor级数复习函数 在 点作Taylor级数展开：这里这里 x,x0 都可以是任意一点。都可以是任意一点。第6页，本讲稿共44页Taylor级数复习则：第7页，本讲稿共44页6.1.2 Euler公式利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。1 1、向前差商公式、向前差商公式所以，可以构造差分方程所以，可以构造差分方程称为局
4、部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累第8页，本讲稿共44页定义:在假设 yi=y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为局部截断误差。定义:若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。收敛性：收敛性：考察局部误差的传播和积累考察局部误差的传播和积累第9页，本讲稿共44页2、向后差商公式是隐格式，要迭代求解是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出第10页，本讲稿共44页3、中心差商公式是多步，2阶格式，该格式不稳定第11页，本讲稿共44页对微分方程对微分方程积分有积分有:类似，可以算
5、出其误差估计式：类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有所以，有是个隐式的方法，是个隐式的方法，要用迭代法求解要用迭代法求解局部截断误差4、梯形公式第12页，本讲稿共44页5、欧拉公式的改进：欧拉公式的改进：隐式欧拉法隐式欧拉法向后差商近似导数x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111=+=+niyxfhyyiiii由于未知数由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧欧拉公式，而前者称为显式拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。欧拉公式。第13页，本讲稿共44页 中点欧拉公式（欧拉二步
6、法）中点欧拉公式（欧拉二步法）中心差商近似导数x0 x2x1假设 ，则可以导出即中点公式具有 2 阶精度。需要2个初值 y0和 y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-step method*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-step method*/。方 法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单简单精度低精度低稳定性最好稳定性最好精度低精度低,计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大精度提高精度提高,显式显式多一个初值多一个初值,可能影响精度可能影响精度第14页，本讲稿共44页 改进欧拉法改进欧拉法Step 1:先用显式欧拉公式作预测，算出Step 2:
7、再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到第15页，本讲稿共44页Euler方法、隐式方法、隐式Euler方法、梯形方法与单步法计算公式的方法、梯形方法与单步法计算公式的显式单步法显式单步法对应关系对应关系隐式单步法隐式单步法显式显式 Euler方法方法隐式隐式Euler方法方法梯形方法梯形方法(隐式隐式)6.1.3 总结第16页，本讲稿共44页算例：算例：分别用分别用Euler公式和改进的公式和改进的Euler公式求解：公式求解：取步长 ，计算y(0.5)的近似值 解：解：欧拉公式：欧拉公式：改进的改进的Euler公式：公式：第17页，本讲稿共44页 算例算例 分别用显分别用显式式Euler方
8、法，梯形方法和预估校正方法，梯形方法和预估校正Euler方法方法 初值问题初值问题解：解：取取 h=0.1，(1)Euler方法为方法为:续第18页，本讲稿共44页 算例算例 分别用显式分别用显式Euler方法，梯形方法和预估校正方法，梯形方法和预估校正Euler方法方法解初值解初值问题问题解：解：取取 h=0.1，梯形方法为：梯形方法为：续第19页，本讲稿共44页 算例算例 分别用分别用显式显式Euler方法，梯形方法和预估校正方法，梯形方法和预估校正Euler方法方法解初值问题解初值问题解：解：取取 h=0.1，梯形方法为：梯形方法为：预估校正预估校正EulerEuler方法：方法：续第2
9、0页，本讲稿共44页 Euler方法 梯形方法 预估校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.81031.0047627.51051.0050001.61040.21.0100008.71031.0185941.41041.0190252.91040.31.0290001.21021.0406331.91041.0412184.01040.41.0561001.41021.0700962.21041.0708004.81040.51.0904901.61021.1062782.51041.1070765.51040.61.1314
10、411.71021.1485372.71041.1494045.91040.71.1782971.81021.1962952.91041.1972106.21040.81.2304671.91021.2490193.01041.2499756.51040.91.2874201.91021.3062643.11041.3072286.61041.01.3486781.91021.3675733.11041.3685146.6104 数值例子表明，梯形方法和预估校正数值例子表明，梯形方法和预估校正EulerEuler方法比显式方法比显式EulerEuler方法有更方法有更好的精度。好的精度。续第2
11、1页，本讲稿共44页基本思想:根据微分中值定理有：这里 表示在区间 上函数的平均斜率。6.2 龙格龙格-库塔方法库塔方法建立高精度的单步递推格式。第22页，本讲稿共44页6.2 RungeKutta法由由TaylorTaylor展开展开记为所以，可以构造格式所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。从另一个角度看，从另一个角度看，取取(x,y)(x,y)及其附近的点做线性组合，表示及其附近的点做线性组合，表示F F，问题就好办了。当然，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为要求此时的展开精度相同。这种方法称为RungeKut
12、ta法法第23页，本讲稿共44页在在(x,y)(x,y)处展开有处展开有而而以2阶为例，设第24页，本讲稿共44页比较对应系数,有：1 1、改进、改进的的Euler公式公式2 2、Heun公式公式第25页，本讲稿共44页一般的一般的RungeRungeKuttaKutta法构造法构造常见的为常见的为3 3阶，阶，4 4阶公式阶公式第26页，本讲稿共44页下列公式是三阶公式中的一个典型例子：下列公式是三阶公式中的一个典型例子：第27页，本讲稿共44页下列公式是经典的四阶下列公式是经典的四阶R-K方法方法(古典的古典的R-K方法方法)第28页，本讲稿共44页算例：算例：分别用分别用Euler公式，
13、改进的公式，改进的Euler公式，经典公式，经典4阶阶R-K 公式计算一阶常微分方程初值问题。公式计算一阶常微分方程初值问题。并与准确解 比较。解：解：Euler公式公式,改进的改进的Euler公式取步长公式取步长h=0.1,=0.1,经典经典4阶阶R-K公式取步长公式取步长h=0.2。4阶阶R-K公式：公式：第29页，本讲稿共44页XEuler公式改进Euler公式4阶R-K公式准确值0.01.00001.00001.00001.00000.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.3582
14、1.34341.34171.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61531.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321计算结果见下表：计算结果见下表：第30页，本讲稿共44页6.3 线性多步法线性多步法思想思想:用若干节点处的用若干节点处的 y 及及 y 值的线性组合来近似值的线性组合来近似y(xn+1)。其通式可写为：其通式可写为：当 10 时，为隐式公式;1=0 则为显式公式。Adams
15、Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的，行积分得出来的，这样这样构造线性多步法的方法称为数值求积法，构造线性多步法的方法称为数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有它是构造线性多步法的一种途径，另外还有TaylorTaylor法法。第31页，本讲稿共44页 构造线性多步法的途径：构造线性多步法的途径：1 1 数值积分法数值积分法显式显式AdamsAdams方法方法隐式隐式AdamsAdams方法方法其它方法其它方法 SimpsonSimpson方法（二步法）方法（二步法）方程(1.1)在上积分，即由由S
16、impsonSimpson求积公式，得求积公式，得用 近似 ，得Simpson方法局部截断误差为局部截断误差为结论：结论：SimpsonSimpson方法是方法是四阶隐式四阶隐式方法。方法。例例第32页，本讲稿共44页 MilneMilne法法 方程在 上积分，即用过点 的插值多项式近似得得 MilneMilne方法方法局部截断误差为局部截断误差为结论：结论：MilneMilne方法是方法是四阶四阶显式线性多步法。显式线性多步法。第33页，本讲稿共44页例：设确定式中待定系数0,1,2,0,1,2,3,使得公式具有4阶精度。解：解：/*y(xi)=yi*/2 Taylor2 Taylor展开法
17、展开法第34页，本讲稿共44页解：个未知数个方程75 令令 1=2=0Adams 显式公式 以以 y i+1 取代取代 y i 1，并取，并取 1=2=0Adams 隐式公式取 1=1,2=0得到辛甫生公式 辛甫生辛甫生 公式公式例：设确定式中待定系数0,1,2,0,1,2,3,使得公式具有4阶精度。第35页，本讲稿共44页例：例：确定下列公式：确定下列公式：中的待定系数 ，使公式具有3阶精度。第36页，本讲稿共44页由于：只需：具有具有3阶精度，但可以进一步验证公式具有阶精度，但可以进一步验证公式具有4阶精度阶精度 则有公式：例：确定下列公式：中的待定系数 ，使公式具有3阶精度。第37页，本
18、讲稿共44页6.4 收敛性与稳定性收敛性与稳定性 收敛性收敛性 若某算法对于任意固定的 x=xi=x0+i h，当 h0(同时 i )时有 yi y(xi)，则称该算法是收敛的。例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。解：解：该问题的精确解为该问题的精确解为 欧拉公式为欧拉公式为对任意固定的 x=xi=i h，有 第38页，本讲稿共44页 稳定性稳定性例：考察初值问题 在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进欧拉法 欧拉隐式欧拉显式 节点 xi1.00001.00002.50002.5000 1010 1 1 6
19、.25006.2500 1010 2 21.56251.5625 1010 2 23.90633.9063 1010 3 39.76569.7656 1010 4 41.00001.00002.50002.50006.25006.25001.56261.5626 10101 13.90633.9063 10101 19.76569.7656 10101 11.00001.00004.97874.9787 1010 2 22.47882.4788 1010 3 31.23411.2341 1010 4 46.14426.1442 1010 6 63.05903.0590 1010 7 7 1.0
20、0001.0000 2.00002.0000 4.0000 4.0000 8.00008.0000 1.6000 1.6000 10101 1 3.20003.2000 10101 1 第39页，本讲稿共44页若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程一般分析时为简单起见，只考虑试验方程常数，可以是复数当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定，的全体构成绝对稳定区域。我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。hl
21、 h=h第40页，本讲稿共44页例：考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差0 以后逐步衰减，必须满足：0-1-2ReImg例：考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：210ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。第41页，本讲稿共44页例：求解解：取h=0.2，首先用四阶RungeKutta方法起步，计算出以下用四阶以下用四阶AdamsAdams方法来进行求解。方法来进行求解。第42页，本讲稿共44页（1）求（2）求只要补算（3）求只要补算第43页，本讲稿共44页0.81.61142311.61245151.01.72984031.73205081.21.84066161.8439089现列表看用Adams方法求出的误差，精解为第44页，本讲稿共44页