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1、常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法9.2Euler方法9.3 Runge Kutta 公式公式 9.4 单步法的进一步讨论单步法的进一步讨论9.5 线性多步法线性多步法9.1 引言引言数值算例数值算例1/18/20231定义：初值问题的单步显式方法，若对于任意固定的 有近似解yn满足极限，则称该单步法收敛。1 收敛性定义：收敛性定义：Remark：从定义可知，若格式收敛，整体截断误差en=y(xn)-yn必然趋于零。9.4 单步法的进一步讨论单步法的进一步讨论1/18/202322 整体截断误差与局部截断误差的关系整体截断误差与局部截断误差的关系定理：若初值问题的单步方法
2、之局部截断误差为 且单步法中函数 关于y满足lipschitz条件，则有1/18/20233二.3 相容性相容性单步法局部截断误差：单步法局部截断误差：1/18/20234由于假设 为连续函数，因而上式可以表示为定定义义：如果当 时，近似方程能逼近微分方程，则称数值公式 与原微分方程相容。相容性定义相容性定义1/18/20235结论：若显式单步法的阶大于或等于1，则该单步法与微分方程相相容容；反之，如果单步法与微分方程相容，且 关于h满足Lipschitz条件，则单步法至少为一阶方法。相容性与收敛阶的关系相容性与收敛阶的关系1/18/20236定理定理：设增量函数 在区域 中连续，并对变量y满
3、足利普希茨条件，则单步法收敛的充要条件为相容性条件成立单步法收敛的充要条件为相容性条件成立。Remark：在满足定理的条件下，Euler方法，Euler预估-校正格式，Runge-Kutta方法等都与原微分方程相容。4 单步法收敛的条件单步法收敛的条件1/18/20237定义定义1用一个数值方法求解微分方程初值问题时，对给定步长h0，若在计算时引入误差（也称扰动），由此引起由此引起计算后面的时误差绝对值均不增加，则称这个数值方法是绝对稳定的绝对稳定的。单步法收敛性概念以及定理都是在计算过程中无舍入误差的前提条件下建立的。5 稳定性稳定性注：由稳定性定义可以看出方法是否稳定依赖于方程的右端注：由
4、稳定性定义可以看出方法是否稳定依赖于方程的右端函数，即方法是否稳定是指对于某个问题该方法是否稳定。函数，即方法是否稳定是指对于某个问题该方法是否稳定。1/18/20238针对模型方程研究稳定性针对模型方程研究稳定性设f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，这样就可以针对如下模型方程研究方法的稳定性：其中为复常数，为使微分方程自身稳定，假定 定义定义1设步长h0的单步法用于求解模型方程时，中由 引起的误差 满足 ，则称单步法对于所用步长h和复数 是绝对稳定的。若在计算 时有误差 ,但在计算后面的1/18/20239Remark1：在上面的定义中，可以取小于或等于关系符。取小于号是为了和线性
5、多步法相一致。Remark2：单步法是否稳定，与模型方程中的复数以及所用步长h有关。若对复平面上的某个区域G，当 时，单步法绝对稳定，则称G为单步法的绝绝对对稳稳定定区区域域，G与实轴的交集为绝绝对对稳稳定区间定区间。关于模型稳定的说明关于模型稳定的说明1/18/202310 Euler显式公式显式公式是保证绝对稳定性对步长h所加限制当为实数时，得到用 h表示的绝对稳定的区间(-2,0)6 常用公式的稳定性1/18/202311得绝对稳定区域隐式隐式Euler公式公式1/18/202312梯形公式梯形公式Back1/18/202313线性多步法的基本思想基本思想：如果充分利用前面多步的信息预测
6、yn+k，则可期望获得较高精度。1 线性多步法有关概念线性多步法有关概念K 步线性多步法一般形式为 其中 为常数，不全为零。9.5 线性多步法线性多步法1/18/202314 若 则为隐式方法，若 则为显式方法Remark：RK方法是增加一些非节点处的函数值提高单步法的精度，这样使计算量增加了许多。线性多步法每步只需要计算一个函数值。1 线性多步法有关概念线性多步法有关概念1/18/202315 对于隐式公式（），f(x,y)一般是非线性函数，故难以求解到yn+k的显示表达式，故常用迭代法求解：其中任意给出，s0,1,2,迭代到满足给定精度要求。可以证明，当f(x,y)满足Lipschitz条
7、件或时，只要，迭代关系式就是收敛的。线性多步法有关概念（续）线性多步法有关概念（续）1/18/202316定义 处的局部截断误差为 线性多步法2 线性多步法局部截断误差线性多步法局部截断误差若 ,则称线性多步法线性多步法为p阶方法阶方法。1/18/202317若线性多步法为p阶方法，则 称为主局部截断误差系数。即主局部截断误差为1/18/202318关于局部截断误差定义的说明关于局部截断误差定义的说明1/18/202319利用微分中值定理 其中 介于 与 之间。说明说明2故在 的假定下，若（显示公式），则：1/18/202320若 ,且即为p阶方法阶方法，则当y(x)充分可微时，说明说明31/
8、18/202321即 的首项与 的首项相同，因此两种局部截断误差的定义相同。Remark2：可以证明，显示线性多步法的整体截断误差比局部截断误差低一阶。Remark1：可以利用此处的截断误差定义分析前面的单步隐式方法。对于Euler方法，其主局部截断误差为，而对于梯形方法，其主局部截断误差为。说明说明41/18/202322将 方程两端从 积分得 构造p次Lagrange插值多项式：3 用数值积分法构造用数值积分法构造1/18/202323其中公式建立公式建立1/18/202324系数计算系数计算1/18/202325 取 可得到Adams显式公式 具体公式具体公式1：Adams显式公式显式公
9、式 1/18/202326具体公式具体公式2：Adams隐式公式隐式公式取k=0,j=1可得到Adams隐式公式再用n1代替n，得到1/18/202327取k1，j=1，得到Nystrm显式公式：具体公式具体公式3：Nystrm显式公式显式公式1/18/202328线性多步法 的局部截断误差为 局部截断误差局部截断误差1/18/202329局部截断误差1/18/202330对于Adams显式公式与隐式公式，由于显式(j=0,k=1)在0,1恒正,隐式(j=1，k=0):在-1,0 恒负为某中间点，E(Explicit），I（Implicit）。Adams公式局部截断误差公式局部截断误差1/18
10、/202331当p=3时,局部截断误差表明，在y(x)具有p+2阶连续导数的条件下，p+1步Adams显式方法与p步Adams隐式方法的局部截断误差是O(hp+2)，即它们是p1阶方法。特别地，当p3时，Adams显、隐方法都是四阶的。1/18/202332Taylor展开法更具一般性。例：用Taylor展开法构造下述公式，使其为四阶方法，并求其局部截断误差的主项。4 用用Taylor 展开构造展开构造1/18/2023331/18/202334基于基于Taylor 展开的构造方法（续）展开的构造方法（续）1/18/202335另一方面有 比较yn+3以及上式中h的同次幂，为有高的局部截断误差，我们令 1/18/2023361/18/202337