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1、常微分方程初值问题的数值解法现在学习的是第1页，共22页问题的提出问题的提出数值求解方法数值求解方法现在学习的是第2页，共22页6.1 欧拉方法欧拉方法6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式欧拉公式与改进欧拉公式算法：算法：现在学习的是第3页，共22页选择不同的数值积分公式来求选择不同的数值积分公式来求近似值就得到初值问题的各种数值解法近似值就得到初值问题的各种数值解法1.欧拉公式欧拉公式这称为这称为欧拉公式欧拉公式现在学习的是第4页，共22页2.后退欧拉公式后退欧拉公式这称为这称为后退欧拉公式后退欧拉公式后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求
2、解。现在学习的是第5页，共22页例例6.1 以以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9000000.9093629.362x10-3.立表立表(见表见表6-1（书（书121页）页）)现在学习的是第6页，共22页6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式梯形公式与改进欧拉公式3.梯形公式梯形公式-梯形公式梯形公式也是隐式单步法公式也是隐式单步法公式图图1 梯形公式梯形公式 现在学习的是第7页，共22页用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭
3、代初值进行迭代计算，即采用下式采用下式(1)(2)现在学习的是第8页，共22页4.改进欧拉公式改进欧拉公式这称为这称为改进欧拉公式改进欧拉公式现在学习的是第9页，共22页例例6.2 仍取步长仍取步长h=0.1，采用改进欧拉法重新计算例，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的的常微分方程初值问题。常微分方程初值问题。(见表见表6-2（书（书125页）页）)这时改进欧拉公式为这时改进欧拉公式为解解xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9095240.9093621.363x10-4.立表立表现在学习的是第10页，共22页6.2 计算公式的误差分析计算公式的误差分析 定义定义6.1 若若
4、 yi+1 是是 yi=y(xi)从计算得到的近似解，则称从计算得到的近似解，则称y(xi+1)yi+1为所用公式的为所用公式的局部截断误差局部截断误差，简称为，简称为截断误差截断误差。定理定理6.1 若单步法 yi+1=yi+h(xi,yi,h)的局部截断误差为 O(h p+1)，且增量函数(x,y,h)关于 y 满足李普希兹条件，即存在常数 L0，使对 成立不等式则其整体截断误差 y(xi)yi=O(hp)现在学习的是第11页，共22页截断误差的估计截断误差的估计(基本假设：基本假设：yi=y(xi)设设 y(x)C 3 x0,b,则则（1）对欧拉公式，有）对欧拉公式，有因此，欧拉公式的局
5、部截断误差为 O(h2)（2）对后退欧拉公式，有）对后退欧拉公式，有因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O(h2)现在学习的是第12页，共22页（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为）对梯形公式，注意到其公式可改写为故由式（故由式（6-8）和（）和（6-9）得）得因此，梯形公式的局部截断误差为因此，梯形公式的局部截断误差为 O(h3)现在学习的是第13页，共22页（4）对改进欧拉公式，有）对改进欧拉公式，有而由 ，故有与式（与式（6-7）比较得）比较得 y(xi+1)yi+1=O(h3)因此，改进欧拉公式的局部截断误差为因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O(h3)现在学习的是第14页，共22
6、页 定义定义6.2 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为部截断误差为 O(hp+1)，则称该方法为，则称该方法为 p阶精度阶精度，或称该方法为，或称该方法为 p阶阶方法方法。由由此此定定义义知知，欧欧拉拉方方法法与与后后退退欧欧拉拉方方法法为为一一阶阶精精度度，梯梯形形法法与改进欧拉方法为二阶精度。与改进欧拉方法为二阶精度。现在学习的是第15页，共22页6.3 龙格龙格-库塔方法库塔方法由中值定理，有由中值定理，有 因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率 f(,y()进行近
7、似，龙格进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。勒展式的待定系数法。现在学习的是第16页，共22页6.3.1 二阶二阶Rung-KuttaRung-Kutta公式公式问题：问题：建立二阶精度的计算格式形为建立二阶精度的计算格式形为在在 y(xi)=yi 的假设下，有的假设下，有故故解解现在学习的是第17页，共22页变形欧拉公式变形欧拉公式根据格式为二阶精度，即根据格式为二阶精度，即 y(xi+1)yi+1=O(h3)比较
8、两式系数得比较两式系数得而而 系数满足系数满足(6-13)的形为的形为(6-12)计算格式统称为二阶计算格式统称为二阶R-K公式。公式。当令当令 1=1/2时，解得时，解得 2=1/2，a=b=1，即为改进欧拉公式。若，即为改进欧拉公式。若令令 1=0，解得，解得 2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式，则得另一计算公式现在学习的是第18页，共22页6.3.2 四阶四阶 R-K R-K 公式公式每一步需计算的 f 值的个数1234567n8精度阶1234456n-2 1965年年，Butcher研研究究发发现现显显式式R-K公公式式的的精精度度与与需需要要组组合合的的斜率值的个数具有如下关系
9、斜率值的个数具有如下关系 可可见见，超超过过四四阶阶精精度度的的R-K公公式式效效率率并并不不高高，实实际际计计算算通通常选用如下四阶格式常选用如下四阶格式经典经典R-KR-K公式公式现在学习的是第19页，共22页这时经典这时经典R-K公式为公式为 例例6.3 取步长取步长h=0.2，采用经典，采用经典R-K法计算例法计算例 6.1 的常微分方程的常微分方程初值问题。初值问题。取取 h=0.2 计算得到表计算得到表6-4(书书133页）。页）。与与例例6.1和和例例6.2比比较较可可见见，用用经经典典R-K法法计计算算得得到到的的解解比比用用欧欧拉拉法和法和改进欧拉法改进欧拉法所得到的解精确得
10、多。所得到的解精确得多。解解现在学习的是第20页，共22页6.3.3 步长的自动选择步长的自动选择 对于对于 p 阶精度的计算格式，当取步长为阶精度的计算格式，当取步长为 h 时，记时，记 为从为从 y(xi)计算得到的计算得到的 y(xi+1)(xi+1=xi+h)的近似解，则有的近似解，则有 为便于进行事后误差估计，实际计算时通常采用步长减半算法。为便于进行事后误差估计，实际计算时通常采用步长减半算法。现在学习的是第21页，共22页 记记 ，则则对对给给定定的的精精度度要要求求 ，可可根根据据 按按如如下下方方式式调整步长：调整步长：（1）若若 ，则则把把步步长长逐逐次次减减半半计计算算，直直至至 为为止止，这这时时最最终得到的解即为满足精度要求的近似解。终得到的解即为满足精度要求的近似解。（2）若若 ，则则把把步步长长逐逐次次加加倍倍计计算算，直直至至 为为止止，这这时时取前一次步长计算所得到的解作为满足精度要求的近似解。取前一次步长计算所得到的解作为满足精度要求的近似解。现在学习的是第22页，共22页