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1、空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示现在学习的是第1页，共23页温故夯基温故夯基1平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1,2,使_成立，不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组_2在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量_不共不共线线基底基底正交分解正交分解a1e12e2现在学习的是第2页，共23页知新益能知新益能1空间向量基本定理如果三个向量a、b、c_，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x，y，z,使得p_,其中a，b，c叫 做 空 间 的 一 个_，a，b，c
2、都 叫 做_不共面不共面基底基底基向量基向量xaybzc现在学习的是第3页，共23页2空空间间向量的正交分解及其坐向量的正交分解及其坐标标表示表示单位正单位正交基底交基底三个有公共起点O的_的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底空间直空间直角坐标角坐标系系以e1，e2，e3的_为原点，分别以_的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.两两垂直两两垂直公共起点公共起点Oe1，e2，e3现在学习的是第4页，共23页平移平移起点起点x，y，zp(x，y，z)xe1ye2ze3现在学习的是第5页，共23页1空空间间的基底是惟一的的基底是惟一的吗吗？提提示示：由由空空间间向向量量基
3、基本本定定理理可可知知，任任意意三三个个不不共共面面向向量量都都可可以以组组成成空空间间的的一一个个基基底底，所所以以空空间间的的基基底底有有无无数数个个，因此不惟一因此不惟一2空空间间向量基本定理中，当向量基本定理中，当z0时时，是什么定理？，是什么定理？当当yz0时时，是什么定理？，是什么定理？提示：提示：平面向量基本定理；共平面向量基本定理；共线线定理定理问题问题探究探究现在学习的是第6页，共23页基底的判断基底的判断考点突破考点突破判判断断三三个个向向量量能能否否作作为为基基底底，关关键键是是判判断断它它们们是是否否共共面面，若若从从正正面面判判断断难难以以入入手手，可可以以用用反反证
4、证法法结结合合共共面面向向量量定定理理或者利用常或者利用常见见的几何的几何图图形帮助形帮助进进行判断行判断现在学习的是第7页，共23页例例例例1 1 若a，b，c是空间一个基底，试判断ab,bc，ca能否作为该空间的一个基底【思思路路点点拨拨】假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数、使得ab(bc)(ca)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立现在学习的是第8页，共23页现在学习的是第9页，共23页互互动动探探究究若本例条件不变，试判断向量ab，ab，c能否作为空间的一个基底解：解：假设ab，ab，c共面，则存在实数x，y，使cx(ab)y(ab)，即c(xy)a(xy)b，从而由共面
5、向量知c与a，b共面，这与a，b，c不共面矛盾ab，ab，c不共面，即可以作为空间的一个基底现在学习的是第10页，共23页空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示用坐用坐标标表示空表示空间间向量的解向量的解题题方法与步方法与步骤为骤为：(1)观观察察图图形：充分形：充分观观察察图图形特征；形特征；(2)建建坐坐标标系系：根根据据图图形形特特征征建建立立空空间间直直角角坐坐标标系；系；(3)进进行行计计算：算：综综合利用向量的加、减及数乘合利用向量的加、减及数乘计计算；算；(4)确确定定结结果果：将将所所求求向向量量用用已已知知的的基基向向量量表表示示出出来来现在学习的是第11页，共23页例例例例2
6、 2现在学习的是第12页，共23页现在学习的是第13页，共23页用基底表示向量用基底表示向量用基底表示向量用基底表示向量时时，(1)若若基基底底确确定定，要要充充分分利利用用向向量量加加法法、减减法法的的三三角角形形法法则则和平行四和平行四边边形法形法则则，以及数乘向量的运算律，以及数乘向量的运算律进进行行(2)若若没没给给定定基基底底时时，首首先先选选择择基基底底选选择择时时，要要尽尽量量使使所所选选的的基基向向量量能能方方便便地地表表示示其其他他向向量量，再再就就是是看看基基向向量量的的模及其模及其夹夹角是否已知或易求角是否已知或易求现在学习的是第14页，共23页【思思路路点点拨拨】a，b
7、，c是是一一个个基基底底，再再利利用用三三角角形形重心的性重心的性质质，可求，可求例例例例3 3现在学习的是第15页，共23页现在学习的是第16页，共23页1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A2a，ab，a2bB2b，ba，b2aCa,2b，bc Dc，ac，ac答案：答案：C现在学习的是第17页，共23页现在学习的是第18页，共23页答案：C现在学习的是第19页，共23页答案：(1,1，1)(1,0,1)现在学习的是第20页，共23页方法感悟方法感悟1对于基底a，b，c，除了应知道a、b、c不共面外，还应明确以下三点：(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底(2)基底中的三个向量a、b、c都不是0，这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面现在学习的是第21页，共23页(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念2空间向量基本定理说明：用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的现在学习的是第22页，共23页作业:P49 19,选做11再见!现在学习的是第23页，共23页