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1、量子力学中的表象本讲稿第一页，共十一页 由于刚开始学习时，觉得表象的概念不是很容易理由于刚开始学习时，觉得表象的概念不是很容易理由于刚开始学习时，觉得表象的概念不是很容易理由于刚开始学习时，觉得表象的概念不是很容易理解，特别是动量表象、能量表象的意义。因此查阅解，特别是动量表象、能量表象的意义。因此查阅解，特别是动量表象、能量表象的意义。因此查阅解，特别是动量表象、能量表象的意义。因此查阅了相关资料，并作了如下总结。了相关资料，并作了如下总结。了相关资料，并作了如下总结。了相关资料，并作了如下总结。本讲稿第二页，共十一页什么是表象？什么是表象？体系的态可以体系的态可以体系的态可以体系的态可以用
2、以坐标为变量用以坐标为变量用以坐标为变量用以坐标为变量的波函数的波函数的波函数的波函数(x x x x,t t t t)来描写，力学量则以作用在这种波来描写，力学量则以作用在这种波来描写，力学量则以作用在这种波来描写，力学量则以作用在这种波函数上的函数上的函数上的函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学来表示，这是量子力学来表示，这是量子力学来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函
3、数来描写体系的状中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。态。态。态。微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象表象表象表象。常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。常用的表象
4、有坐标表象、动量表象和能量表象。常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象表象表象表象理论理论理论理论。本讲稿第三页，共十一页态的表象态的表象态的表象态的表象 体系的态既可用以体系的态既可用以体系的态既可用以体系的态既可用以x x x x（表示全部坐标变量）为变量的波函数（表示全部坐标变量）为变量的波函数（
5、表示全部坐标变量）为变量的波函数（表示全部坐标变量）为变量的波函数(x x x x,t t t t)来描写，也可用来描写，也可用来描写，也可用来描写，也可用以动量以动量以动量以动量p p p p为变量的波函数为变量的波函数为变量的波函数为变量的波函数c(p,t)c(p,t)c(p,t)c(p,t)来描写。来描写。来描写。来描写。(x x x x,t t t t)和和和和c(p,t)c(p,t)c(p,t)c(p,t)之间的变换关系是之间的变换关系是之间的变换关系是之间的变换关系是 式中式中式中式中 是动量的本征函数，是动量的本征函数，是动量的本征函数，是动量的本征函数，称称称称(x x x x
6、,t t t t)是在坐标表象中的波函数，而是在坐标表象中的波函数，而是在坐标表象中的波函数，而是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)c(p,t)c(p,t)c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。是同一态在动量表象中的波函数。是同一态在动量表象中的波函数。是同一态在动量表象中的波函数。由由由由(x x x x,t t t t)可知，粒子坐标在可知，粒子坐标在可知，粒子坐标在可知，粒子坐标在x x x x到到到到x+dxx+dxx+dxx+dx之间的概率之间的概率之间的概率之间的概率 由由由由c(p,tc(p,tc(p,tc(p,t）可知，粒子动量在）可知，粒子动量在）可知，粒子动量在）可知
7、，粒子动量在p p p p到到到到p+dpp+dpp+dpp+dp之间的概率之间的概率之间的概率之间的概率 本讲稿第四页，共十一页 如果如果如果如果(x x x x,t t t t)所描写的状态是具有动量所描写的状态是具有动量所描写的状态是具有动量所描写的状态是具有动量pppp的自由粒子的状态，即的自由粒子的状态，即的自由粒子的状态，即的自由粒子的状态，即(x x x x,t t t t)=)=)=)=pppp(x x x x,t t t t),),),),则则则则 在动量表象中，粒子具有确定动量在动量表象中，粒子具有确定动量在动量表象中，粒子具有确定动量在动量表象中，粒子具有确定动量pppp
8、的波函数是以动量的波函数是以动量的波函数是以动量的波函数是以动量p p p p为变量的为变量的为变量的为变量的函数。函数。函数。函数。那么，态在任意力学量那么，态在任意力学量那么，态在任意力学量那么，态在任意力学量Q Q Q Q的表象中的描写方式又是什么样呢？的表象中的描写方式又是什么样呢？的表象中的描写方式又是什么样呢？的表象中的描写方式又是什么样呢？设力学量设力学量设力学量设力学量Q Q Q Q具有分立的本征值具有分立的本征值具有分立的本征值具有分立的本征值Q Q Q Q1 1 1 1,Q,Q,Q,Q2 2 2 2,Q,Q,Q,Qn n n n，对应的本征函数为，对应的本征函数为，对应的本
9、征函数为，对应的本征函数为u u u u1 1 1 1(x),u(x),u(x),u(x),u2 2 2 2(x),u(x),u(x),u(x),un n n n(x),(x),(x),(x),并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数数数数(x x x x,t t t t)按按按按uuuun n n n(x)(x)(x)(x)展开成展开成展开成展开成 本讲稿第五页，共十一页 上式两边乘上式两边乘上式两边乘上式两边乘 ，再对，再对，再对，再对x x x
10、 x变化整个空间积分变化整个空间积分变化整个空间积分变化整个空间积分 即即即即 其物理意义是，体系处在其物理意义是，体系处在其物理意义是，体系处在其物理意义是，体系处在(x x x x,t t t t)所描述的状态时，力学量所描述的状态时，力学量所描述的状态时，力学量所描述的状态时，力学量Q Q Q Q具有确定值具有确定值具有确定值具有确定值Q Q Q Qn n n n的几率的几率的几率的几率为为为为 可以用一组数可以用一组数可以用一组数可以用一组数 代替代替代替代替(x x x x,t t t t)描写该状态。称描写该状态。称描写该状态。称描写该状态。称aaaan n n n（t t t t
11、）是该状态在是该状态在是该状态在是该状态在Q Q Q Q表象中的波函数。表象中的波函数。表象中的波函数。表象中的波函数。本讲稿第六页，共十一页 如果如果如果如果Q Q Q Q的全部本征值的全部本征值的全部本征值的全部本征值Q Q Q Q组成连续谱，对应本征函数是组成连续谱，对应本征函数是组成连续谱，对应本征函数是组成连续谱，对应本征函数是u u u u（x x x x）则）则）则）则(x x x x,t t t t)按按按按u u u u（x x x x）展）展）展）展开的式子为开的式子为开的式子为开的式子为 a a a a(t)(t)(t)(t)就是就是就是就是Q Q Q Q表象中的波函数，
12、坐标表象、动量表象就属于这类表象。表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表象的从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表象的从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表象的从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表象的概念与几何学中坐标系的概念类似。概念与几何学中坐标系的概念类似。概念与几何学中坐标系的概念类似。概念与几何学中坐标系的概念类似。一个特定的一个特
13、定的一个特定的一个特定的Q Q Q Q表象表象表象表象一个特定的坐标系一个特定的坐标系一个特定的坐标系一个特定的坐标系 本征函数本征函数本征函数本征函数基矢基矢基矢基矢 波函数是态矢量波函数是态矢量波函数是态矢量波函数是态矢量在各基矢方向在各基矢方向在各基矢方向在各基矢方向“分量分量分量分量”坐标分量坐标分量坐标分量坐标分量 本讲稿第七页，共十一页算符的表象算符的表象算符的表象算符的表象描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。设在设在设在设在x x表象中，算符
14、表象中，算符表象中，算符表象中，算符 作用于波函数作用于波函数作用于波函数作用于波函数(x x x x,t t t t)后得到一新的波函数后得到一新的波函数后得到一新的波函数后得到一新的波函数并设在并设在并设在并设在Q Q Q Q表象中波函数表象中波函数表象中波函数表象中波函数(x x x x,t t t t)和和和和（x,tx,tx,tx,t）分别以）分别以）分别以）分别以aaaa1 1 1 1(t),a(t),a(t),a(t),a2 2 2 2(t),a(t),a(t),a(t),an n n n(t),(t),(t),(t),和和和和bbbb1 1 1 1(t),b(t),b(t),b
15、(t),b2 2 2 2(t),b(t),b(t),b(t),bn n n n(t),(t),(t),(t),表示表示表示表示,u,u,u,un n n n(x)(x)(x)(x)为为为为 本征函数，则可得本征函数，则可得本征函数，则可得本征函数，则可得以以以以 乘等式两边，再对整个空间积分，得乘等式两边，再对整个空间积分，得乘等式两边，再对整个空间积分，得乘等式两边，再对整个空间积分，得FFFFmnmnmnmn 就是算符就是算符就是算符就是算符 在在在在Q Q Q Q表象中的表示表象中的表示表象中的表示表象中的表示。本讲稿第八页，共十一页FFFFmnmnmnmn 可排列为一矩阵，可排列为一矩
16、阵，可排列为一矩阵，可排列为一矩阵，F F F Fmnmnmnmn代表第代表第代表第代表第m m m m行行行行n n n n列元素，列元素，列元素，列元素，在在在在 的本征值组成连续谱的情况下，的本征值组成连续谱的情况下，的本征值组成连续谱的情况下，的本征值组成连续谱的情况下，也可看作是矩阵元。也可看作是矩阵元。也可看作是矩阵元。也可看作是矩阵元。如动量表象中算符如动量表象中算符如动量表象中算符如动量表象中算符 的矩阵元为的矩阵元为的矩阵元为的矩阵元为坐标表象中，算符坐标表象中，算符坐标表象中，算符坐标表象中，算符 的矩阵元为的矩阵元为的矩阵元为的矩阵元为本讲稿第九页，共十一页参考文献参考文献周世勋周世勋 量子力学量子力学曾谨言曾谨言 量子力学量子力学卷卷还有百度百科等网上资源还有百度百科等网上资源还有百度百科等网上资源还有百度百科等网上资源本讲稿第十页，共十一页本讲稿第十一页，共十一页