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1、量子力学中的力学量本讲稿第一页，共三十一页一般力学量的算符：n n二：力学量的算符前面已知的算符例子：动量算符能量算符自由粒子的能量算符，或动能算符哈密顿算符1，利用自由粒子的波函数得到动量和能量算符，再设坐标算符就是坐标本身；2，力学量的其他算符，可以由其经典形式得出：设力学量F，其经典表达式为 F=F(r,p)，则对应算符为本讲稿第二页，共三十一页角动量算符经典力学中，动量为p，坐标r的粒子，绕坐标原点O的角动量：L=r p，则量子力学中，对应的角动量算符为：（注意区别其中i，分别表示虚数单位和x方向单位矢量）考虑总角动量与分量之间的关系：等等。经典力学中没有，而量子力学中特有的力学量（例
2、如自旋），则通过另外的方法引入。本讲稿第三页，共三十一页n n三：算符的一般性质和运算规则1：算符的和：称为算符的和。交换律：加法结合律：2：算符的积：一般不满足交换律：例如：即：交换后不相等。本讲稿第四页，共三十一页3：算符的对易式：定义对易式：则2中的结果可以表示成：同样：而：一般情况写成：量子力学的基本对易式其中离散Dirac函数本讲稿第五页，共三十一页n n四：算符和力学量之间的关系：前面已经求解了两个定态问题（一维无限深势阱和一维线性谐振子），其共同特征是求解定态薛定谔方程：一维无限深势阱：本讲稿第六页，共三十一页一维线性谐振子：量子力学认为：当体系处于哈密顿算符的本征态n时，算符所
3、对应的本征值E有确定值En。由此总结出下面的假定（量子力学的基本假设之一）：（思考）如果体系状态不是该力学量算符的本征态，那么力学量的值应该是多少？本讲稿第七页，共三十一页n n五：厄密算符：1，厄密算符的本征值是实数：定义：如果对于任意两个函数和，有算符满足等式则称为厄密算符。积分范围是所有变量变化的整个区域。证明：由于和的任意性，可以取 =，且为厄密算符的本征函数，对应的本征值为，则上面的式子左边为：而右边为：即：可知 为实数。本讲稿第八页，共三十一页说明：1)，厄密算符的本征值为实数；2)，表示力学量的算符为厄密算符，才能使对应的本征值（即力学量的值）为实数。2，厄密算符的属于不同本征值
4、的本征函数相互正交：1)，正交性：如果两个不同的函数 1 和 2 满足关系式：称 1 和 2 相互正交。式中的积分是对变量变化的全部区域进行的。2)，厄密算符的本征函数之间相互正交。证明：设厄密算符 F，其本征值为 1，2，n，且都不相等，对应的本征函数为1，2，n，任意取两个本征方程：本讲稿第九页，共三十一页则有：厄密算符的定义式：左边：右边：即：本讲稿第十页，共三十一页由于通常 k 还是归一化的，即：所以上面的结论可以写成：本征函数的正交归一化条件。如果算符的本征值组成连续谱，则上述条件可以写成：满足上述正交归一化条件的函数系 k（分立谱）或 （连续谱）称为正交归一系。本讲稿第十一页，共三
5、十一页第2节 动量算符和角动量算符本节介绍常见的力学量：动量和角动量算符的一些性质。n n一：动量算符：三维：一维：本征方程：1，本征值px为任意实数，连续谱。2，本征函数(x)不能按照通常的方法归一化，下式不成立：此类波函数可使用周期性边界条件，进行箱归一化。本讲稿第十二页，共三十一页n n二：角动量算符：1：角动量算符的形式：量子力学中的角动量算符表示为：其分量形式为：等等。角动量平方算符：本讲稿第十三页，共三十一页2：球坐标系中的角动量算符：用球坐标系，则：则角动量z分量和平方算符在球坐标系中可以写成：本讲稿第十四页，共三十一页3：角动量平方以及z分量算符的本征值和本征函数：角动量平方算
6、符的本征方程为：数学物理方法里面介绍，此方程的本征值为 2，其中本征函数为球函数（球谐函数）Y(,)，其形式为：缔合勒让德多项式归一化系数本讲稿第十五页，共三十一页说明：1，每个 l 对应一个不同的本征值 2=l(l+1)2，其中 l 称为角量子数。2，每个本征值 l(l+1)2 对应 2l+1 个不同的本征函数Ylm(,)，其中m=-l,.,0,1,2,.,l，共有 2l+1 个不同的取值。其中m称为磁量子数。3，多个本征函数对应于一个本征值的情形简并。一个本征值所对应的本征函数数目简并度。角动量平方算符本征值的简并度为2l+1。（本征值对应着能量，本征函数对应状态，则相当于同一个能级上有多
7、个不同的状态。）角动量z分量算符，其本征方程为：其形式解为：A 归一化常数本讲稿第十六页，共三十一页是2为周期的，则有(+2)=()，即：可解出本征值为：对应本征函数为：归一化：可以证明球函数Ylm(,)，也是Lz的本征函数（证明过程略），即有：本讲稿第十七页，共三十一页一般称 l=0 的状态为 s 态，l=1,2,3,.的状态分别为p,d,f,.，处于这些态的粒子，分别称为s,p,d,f 粒子。下面列出前面几个球函数：本讲稿第十八页，共三十一页第3节 电子在库仑场中的运动 氢原子考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场（库仑场）中运动。电子质量 ，电荷-e，核的电荷+Ze。则：Z=1对应氢原
8、子，Z1对应类氢原子，比如：He+(Z=2),Li+(Z=3)等等。电子受核吸引的势能：(SI)(CGS)r 电子到核的距离则体系的哈密顿算符为：本征方程（即定态薛定谔方程）为：本讲稿第十九页，共三十一页写成球坐标系中的形式：用分离变量法，设本征函数为：代入薛定谔方程，可分离为两个方程：径向方程式中 为常数。其中第二个方程正好是前面讨论过的角动量算符的本征方程，其本征值和本征函数为：=l(l+1)，l=0,1,2,.，Y(,)即为球函数。本讲稿第二十页，共三十一页把=l(l+1)，l=0,1,2,.代入径向方程：此方程为变系数二阶常微分方程（与谐振子模型类似，可用类似的方法求解），可解得：分析
9、径向方程可知：当E为负，为束缚态；当E为正，能量具有连续谱。上面公式中：n 总量子数，或称主量子数。氢原子第一玻尔轨道半径本讲稿第二十一页，共三十一页缔合拉盖尔多项式（具体内容可参见数学物理方法课程）归一化常数说明：1，当E为负时，获得了分立的能级2，nlm(r,)=Rnl(r)Ylm(,)3，能级En只与主量子数 n 有关，对应一个 n，l可以取l=0,1,2,n-1，共 n 个值；对应一个 l，m 可以取 m=-l,.,0,.,l，共有 2 l+1个不同的值。则对于能级 En，共有：个不同的状态。En是n2度简并的。本讲稿第二十二页，共三十一页下面列出前面几个径向函数Rnl(r)本讲稿第二
10、十三页，共三十一页如果考虑核的位置不固定，即：电子与核均可以运动，则成为较为实际的氢原子的情形。在数学处理的过程中，如果引入约化质量和约化坐标，求解氢原子的过程与求解库仑场中的电子类似。当 n 增加时，能级之间的距离逐渐减少。n时，电子不再束缚在核的周围，发生电离现象。E 与基态 E1 之间的差称为电离能：电子由能级 En 跃迁至 En 时会发出光，它的频率为：Rc里德堡常数，上式即为量子力学推导出的巴尔末公式本讲稿第二十四页，共三十一页当氢原子处于nlm(r,)时，电子在(r,)点周围的体积元d=r2 sin dr d d 内的几率为：s,p,d,f 态电子的角分布电子的距离分布本讲稿第二十
11、五页，共三十一页第4节 算符与力学量的关系如果F是满足某种条件的厄密算符，且有本征方程：n为正交归一系，则任何函数都可展开为：其中cn为常系数，称为几率振幅。可以证明：引入假设：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是对应算符的本征值之一，测得 n 的几率是|cn|2。本讲稿第二十六页，共三十一页按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值为：上两式等价的证明：上式中的是归一化的，如果没有归一化，则公式为：本讲稿第二十七页，共三十一页第5节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不
12、准关系n n一，对易关系定义算符对易算符不对易n n二，对易的情形（两力学量同时具有确定值的条件）定理：如算符F，G有共同的本征函数n，且组成完全系，则F与G对易。定理的推广：如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同的本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。本讲稿第二十八页，共三十一页n n三，不对易的情形（测不准关系）：设算符F,G满足：算符或者数在共同状态中，算符 F,G在该态中的平均值定义为：考虑如下积分，其中为实参数：另一方面：本讲稿第二十九页，共三十一页由于F，G均为表示力学量的厄密算符，则：考虑其中的：则有：解此不等式，则有：测不准关系例：坐标与动量的测不准关系。本讲稿第三十页，共三十一页说明：1，量子力学的基本关系。2，反映了微观世界的波粒二象性。本讲稿第三十一页，共三十一页