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1、量子力学用算符表达与表象变换本讲稿第一页，共十四页4.1 算符的运算规则算符的运算规则1.算符定义算符定义：作用在一个函数上得出另一个函数的作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号运算符号。2.线性算符线性算符算符算符 若若成立，则是线性算符。成立，则是线性算符。单位算符单位算符I I，I I，对对是任意函数成立。是任意函数成立。算符相等算符相等：对任意函数：对任意函数，若，若 成立，则成立，则 .可观测的力学量算符都是线性算符。可观测的力学量算符都是线性算符。是态迭加原理反映是态迭加原理反映。本讲稿第二页，共十四页算符和、差满足算符和、差满足交换律与结合律交换律与结合律。3.3.算符和、差定
2、义：算符和、差定义：如哈密顿算符如哈密顿算符H4.4.算符之积定义算符之积定义 例如，例如，算符之积满足算符之积满足结合律，但结合律，但不满足交换律不满足交换律1)坐标与动量算符的一般坐标与动量算符的一般对易关系：对易关系：2)2)引入泊松括号：引入泊松括号：坐标动量对易式坐标动量对易式本讲稿第三页，共十四页称算符称算符A、B对易对易。称算符称算符A、B不对易不对易。泊松括号有如下几个恒等式：泊松括号有如下几个恒等式：c c为常数。为常数。称雅可比称雅可比(Jacobi)Jacobi)恒等式。恒等式。练习练习1 1。本讲稿第四页，共十四页3)3)角动量算符基本对易式角动量算符基本对易式 其他对
3、易关系通过其他对易关系通过x,y,z轮换得到。轮换得到。可统一写成：可统一写成：或写成或写成：（1）规定：规定：偶置换为偶置换为1，奇置换为，奇置换为1，任两个相同为，任两个相同为0。称为称为Levi-Civita 符号。符号。注注：（：（1）式右边）式右边、L下标相同的意味求和。下标相同的意味求和。本讲稿第五页，共十四页其他重要的对易关系式：其他重要的对易关系式：定义定义:，i=x,y,z 定义：定义：练习练习 2本讲稿第六页，共十四页 球坐标下的角动量算符形式：球坐标下的角动量算符形式：(推导见周世勋量子力学教程推导见周世勋量子力学教程p62)本讲稿第七页，共十四页2、P90，练习，练习3
4、；作业作业10本讲稿第八页，共十四页5.逆算符逆算符若成立，称是的逆算符。若成立，称是的逆算符。有公式：有公式：6.算符函数，算符函数，（问）（问）本讲稿第九页，共十四页补充知识：补充知识：标识（或称内积）标识（或称内积）本讲稿第十页，共十四页8.转置算符：转置算符：9.厄米共轭算符厄米共轭算符7.复共轭算符：是复共轭算符：复共轭算符：是复共轭算符：例，例，有公式：有公式：若算符满足：，若算符满足：，其中其中、是任意函数，则称是的是任意函数，则称是的厄米共轭算符厄米共轭算符，记为：记为：。（与书上定义（。（与书上定义（4141）式是一致）式是一致）定义式为：定义式为：本讲稿第十一页，共十四页厄
5、米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二个算符厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二个算符的一种对应关系。的一种对应关系。厄米共轭算符的几个关系式：厄米共轭算符的几个关系式：V(r)+=V(r)本讲稿第十二页，共十四页10.厄米算符厄米算符其中其中、是任意函数是任意函数，厄米算符反映某一类算符的特性。定理：定理：体系的任何状态下，其厄米算符的体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。平均值必为实数。可测量的物理量算符一定为厄米算符可测量的物理量算符一定为厄米算符。逆定理也成立逆定理也成立(证明见证明见P93P93）。）。坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符。本讲稿第十三页，共十四页1、P131，习题，习题41；2、P132，习题，习题47；3、P133,习题习题49，a,b.c。4、练习、练习2作业作业11P90，练习，练习3、练习、练习4讲解讲解本讲稿第十四页，共十四页