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1、角的平分线的性质PPT本讲稿第一页，共二十七页旧知回顾旧知回顾 一条射线把一条射线把一个角一个角分成两个相等的角，分成两个相等的角，这条这条射线射线叫做这个角的平分线叫做这个角的平分线.oBCA1 12 2符号语言：符号语言：射线射线OC是是AOB的角平分线的角平分线 1=21.角平分线的定义：本讲稿第二页，共二十七页 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.OPAB点点P到直线到直线AB的距离的距离就是就是垂线段垂线段PO的长度的长度旧知回顾旧知回顾本讲稿第三页，共二十七页旧知回顾旧知回顾3.三角形的角平分线：三角形的角平分线：在三角
2、形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线如何做角平分线呢？如何做角平分线呢？本讲稿第四页，共二十七页本讲稿第五页，共二十七页1、如图，是一个角平分仪，其中、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿沿着角的两边放下着角的两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明就是角平分线，你能说明它的道理吗它的道理吗?如果前面活动中的纸片换成木板、钢如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折
3、的角，又该怎么办呢？板等没法折的角，又该怎么办呢？活动活动2ADBC本讲稿第六页，共二十七页p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE本讲稿第七页，共二十七页尺规作角的平分线A画法：画法：以为圆心，适当长为以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交半径作弧，交于，交于于分别以，为圆分别以，为圆心大于心大于 1/2 的长为半的长为半径作弧两弧在径作弧两弧在的的内部交于内部交
4、于作射线作射线OC射线即为所求射线即为所求 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）平分线？（不用角平分仪或量角器）老师提示老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握.本讲稿第八页，共二十七页A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB证明证明：在在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=O
5、C，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB本讲稿第九页，共二十七页1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把它以后，把它反向延长得到直线反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什是什么关系？么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。ABOCD本讲稿第十页，共二十七页 角平分线有什么性质呢？角平分线有什么性质
6、呢？OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点，1.操操作作测测量量：取取点点P的的三三个个不不同同的的位位置置，分分别别过过点点P作作PDOA，PE OB,点点D、E为为垂垂足足，测测量量PD、PE的的长长.将将三三次次数数据据填填入入下表：下表：2.观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，的大小关系，写出结论：写出结论：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE本讲稿第十一页，共二十七页角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两
7、边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED猜想：C数学符号表示已知和求证：即即本讲稿第十二页，共二十七页注意特别是文字性叙述的几何证明题本讲稿第十三页，共二十七页P PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE本讲稿第十四页，共二十七页证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中
8、 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D12你还可以得到其他什么结论？1.1.先证所缺条件先证所缺条件2.2.写齐条件：一个中写齐条件：一个中心三个基本点心三个基本点1.OD=OE2.PO2.PO是是是是DPEDPE的平分线的平分线的平分线的平分线本讲稿第十五页，共二十七页ODEPP P到到OAOA的距离的距离P P到到OBOB的距离的距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言描述：几何语言描述：OC OC平分平分AOBAOB
9、，且且PDOAPDOA，PEOBPEOB PD=PE PD=PEACB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：角平分线的性质：不必再证全等不必再证全等作用：作用：判断线段相等的依据判断线段相等的依据.本讲稿第十六页，共二十七页 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的两边的距离相等。BD CD（）判断正误：练习练习1 1本讲稿第十七页，共二十七页 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的点到这个角的
10、两边的距离相等。的两边的距离相等。BD CD（）本讲稿第十八页，共二十七页 AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等本讲稿第十九页，共二十七页如 图,OC是 AOB的 平 分 线,点 P在 OC上,PDOA,PEOB,垂 足 分 别 是 D、E,PD=4cm,则PE=_cm.ADOBEPC4随课巩固本讲稿第二十页，共二十七页例1:如图，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到AB的距离为？ACDBEEDE=CD=BC
11、-BD=8-5=3本讲稿第二十一页，共二十七页 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质要证AECBED有哪些条件？需要先证吗？请写出证明过程本讲稿第二十二页，共二十七页例2：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEDFMNNDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCPABCP点拨：有角平分线时，常过角平分
12、线上的点向角的两边作垂线段点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段本讲稿第二十三页，共二十七页证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BF是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCPDEF结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等本讲稿第二十四页，共二十七页练习：练习：如图，如图，的的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点求的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的
13、距证：点到三边，所在直线的距离相等离相等F FGH本讲稿第二十五页，共二十七页F FGH证明：过点P作PG、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H BD是ABC的角平分线，点P在BM上 PG=PF（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PF=PH.PG=PF=PH.即点P到边AB、BC、CA的距离相等两外角平分线的交点到三边的距离相等两外角平分线的交点到三边的距离相等得到结论：得到结论：本讲稿第二十六页，共二十七页小结:及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等判断线段相等的依据判断线段相等的依据.1.1.如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线本讲稿第二十七页，共二十七页