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1、角平分线的性质与判定本讲稿第一页，共二十九页 不利用工具，请你将一张用纸片不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办做的角分成两个相等的角。你有什么办法？法？AOBC活活 动动1 再再打打开开纸纸片片，看看看看折折痕痕与这个角有何关系？与这个角有何关系？（对折）（对折）本讲稿第二页，共二十九页1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其其中中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你你能能说说明它的道理吗明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如
2、如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢钢板板等没法折的角，又该怎么办呢？等没法折的角，又该怎么办呢？本讲稿第三页，共二十九页p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE本讲稿第四页，共二十九页 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCE活活 动动
3、3NOMCENM本讲稿第五页，共二十九页分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于演示如何用尺规作角的平分线？A A作法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于作射线OC则射线即为所求 本讲稿第六页，共二十九页探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动4 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两两边边的距离相等的距离相等.题设：一
4、个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等本讲稿第七页，共二十九页证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，
5、点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动4(3)验证验证猜想猜想本讲稿第八页，共二十九页角平分线上的角平分线上的点到角两边的点到角两边的距离相等。距离相等。(4)得到得到角角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动4 利利用用此此性性质质怎怎样样书写推理过程书写推理过程?1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三角（全等三角形的对应边相等）形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12本讲稿第九页，共二十九页 如图，如图，AD平分平分
6、BAC（已知）（已知）=，()在在角角的的平平分分线线上上的的点点到到这这个个角角的两边的距离相等。的两边的距离相等。BD CD（）本讲稿第十页，共二十九页 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在在角角的的平平分分线线上上的的点点到到这这个个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。BD CD（）本讲稿第十一页，共二十九页 AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在在角角的的平平分分线线上上的的点点到到这这个个角角的的两边的距离相等。两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等本讲稿第十二页，共二十九页，OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是
7、是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任意一上任意一点点,问问PE=PD?为为 什么什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平分它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离线上任一点这个角两边的距离,所以不所以不一定相等一定相等本讲稿第十三页，共二十九页思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路本讲稿第十四页，共二十九页活活动动5 5 如如图图：在在ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分
8、线线，DEAB于于E，F在在AC上上，BD=DF；求求证：证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们们所所在在的两个三角形全等的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要要我我们找什么条件们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质)再用再用HL证明证明.试试自己写证试试自己写证明。你一定行明。你一定行！本讲稿第十五页，共二十九页 做一做做一做驶向胜利的彼岸w已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且
9、且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC.:EB=FC.老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东西到点东西,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF本讲稿第十六页，共二十九页例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，的角平分线，点点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线
10、上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边的距离相等）的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距的距离相等离相等DEFABCPMN本讲稿第十七页，共二十九页变式：变式：如图，如图，的的的外角的平分的外角的平分线与线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直求证：点到三边，所在直线的距离相等线的距离相等F FGH本讲稿第十八页，共二十九页一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本本节节课课学学习习了了那那些些知知识识？有有哪哪些些运运用用？你你学学了吗？做
11、了吗？用了吗？了吗？做了吗？用了吗？本讲稿第十九页，共二十九页回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等.wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.小结 拓展OCB1A2PDE本讲稿第二十页，共二十九页 到一个角的两边的距离相等的到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
12、点，在这个角平分线上。已知：已知：PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：求证：点点P在在AOB的平分线上。的平分线上。角平分线的判定定理角平分线的判定定理AOBPDEC用符号语言表示为：用符号语言表示为：PD=PE PD OA，PE OB 1=2.本讲稿第二十一页，共二十九页由上面两个定理可知：到角的两边的距离相由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线是到角的两边距离相等的角的平分线是到角的两边距离相等的所有点
13、的集合所有点的集合.本讲稿第二十二页，共二十九页练一练练一练填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB121=2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等本讲稿第二十三页，共二十九页2.已知：如图，已知：如图，C=C=90 AC=AC 求证求证（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定）BCAC本讲稿第二十四页，共二十九页例例1 1
14、 已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm,求求DBE的周长的周长EDCBA本讲稿第二十五页，共二十九页利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?本讲稿第二十六页，共二十九页拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉
15、的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。本讲稿第二十七页，共二十九页拓展与延伸3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA本讲稿第二十八页，共二十九页 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判定角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径理是证明角相等、线段相等的新途径.本讲稿第二十九页，共二十九页