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1、第八章 扭转第1页，共68页，编辑于2022年，星期三2汽车传动轴汽车传动轴第2页，共68页，编辑于2022年，星期三3汽车方向盘汽车方向盘第3页，共68页，编辑于2022年，星期三4丝锥攻丝丝锥攻丝第4页，共68页，编辑于2022年，星期三5变形特点：变形特点：.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；.杆表面的纵向线变成螺旋线；.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe第5页，共68页，编辑于2022年，星期三6 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略
2、的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第6页，共68页，编辑于2022年，星期三7直接计算直接计算4-14-1 外力偶矩外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩外力偶矩第7页，共68页，编辑于2022年，星期三8按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：已知已知:轴转速轴转速n 转转/分钟分钟输出功率输出功率Pk 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩Me其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rp
3、m）第8页，共68页，编辑于2022年，星期三92.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图第9页，共68页，编辑于2022年，星期三10 例题例题 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1=500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150 kW，P3=150 kW，P4=200 kW。试作轴的扭矩图。第10页，共68页，编辑于2022年，星期三11解解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩第11页，共68页，编辑于2022年，星期三122.计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的第12页，共68页，编辑于2022年，星期三133.作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭
4、矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。第13页，共68页，编辑于2022年，星期三14思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？第14页，共68页，编辑于2022年，星期三1515.94.786.37 4.78第15页，共68页，编辑于2022年，星期三16薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 Me。8-2 8-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第16页，共68页，编辑于2022年，星期三172.2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变
5、；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第17页，共68页，编辑于2022年，星期三18(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了，这种直角改变量称为切应变(shearing strain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这种角位移称为相对扭转角。第18页，共68页，编辑于
6、2022年，星期三19横截面上的应力横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的剪应力(shearing stress)，且圆周上所有点处的剪应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0 dA第19页，共68页，编辑于2022年，星期三20二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。第20页，共68页，编辑于2022年，星期三21四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有 ，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。第21页，共68页，编辑于2022年，星期三22
7、T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。第22页，共68页，编辑于2022年，星期三23等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：各圆周线的形状、大小和间各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小动；各纵向线均倾斜了同一微小角度角度 。8-3 8-3 等直圆杆在扭转时的应力和变形等直圆杆在扭转时
8、的应力和变形第23页，共68页，编辑于2022年，星期三241.表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度。几何方面第24页，共68页，编辑于2022年，星期三25可假设：可假设：1.1.横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线转动；横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线转动；2.2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；圆周扭转时可视为圆周扭转时可视为:许多薄壁筒镶套而成。许多薄壁筒镶套而成。第25页，共68页，编辑于2022年，星期三26二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.1.变
9、形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与与到圆心的距离到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长扭转角沿长度方向变化率。度方向变化率。第26页，共68页，编辑于2022年，星期三272.2.物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：第27页，共68页，编辑于2022年，星期三283.3.静力学关系：静力学关系：令代入物理关系式 得：OdA第28页，共68页，编辑于2022年，星期三29横截面上距圆心处任一点剪应力计算公式。4.4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的
10、等圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第29页，共68页，编辑于2022年，星期三30单位：单位：mm4，m4。对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：对于空心圆截面：dDOd第30页，共68页，编辑于2022年，星期三31 应力分布应力分布（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。（实心截面）第
11、31页，共68页，编辑于2022年，星期三32 确定最大剪应力：确定最大剪应力：由知：当Wp 抗扭截面系数抗扭截面系数,单位：单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：第32页，共68页，编辑于2022年，星期三33实心轴与空心轴实心轴与空心轴 Ip 与与 Wp 对比对比实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第33页，共68页，编辑于2022年，星期三34思考：思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？空心圆截面：第34页，共68页，编辑于2022年，星期三35 练习练习 判别下面截面上剪应力分布是否正确。判别下面截面上剪应力分布是否正确。第
12、35页，共68页，编辑于2022年，星期三36已知：已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应最大切应力力不得超过不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径空心圆轴的内外直径之比之比 =0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求:实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴第36页，共68页，编辑于2022年，星期三37空心轴空心轴d20.5D2=23 mm已知：已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应力最大切应力不得超
13、过不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之空心圆轴的内外直径之比比 =0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求:实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。第37页，共68页，编辑于2022年，星期三38确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：面面积之比：第38页，共68页，编辑于2022年，星期三
14、39P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kWn1=n2=120r/min解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114 N.mM2=T2=557 N.mM3=T3=185.7 N.m2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩3 3已知：已知：P114kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求求:各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的最大切应力。第39页，共68页，编辑于2022年，星期三403 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力3 3第
15、40页，共68页，编辑于2022年，星期三41等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)来度量。第41页，共68页，编辑于2022年，星期三42 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角为第42页，共68页，编辑于2022年，星期三43 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有第43页，共68页，编辑于2022年，星期三44解：解：1.各段轴的横截面上的扭矩：图示钢制实心圆
16、截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2=955 Nm，M3=637 Nm，lAB=300 mm，lAC=500 mm，d=70 mm，钢的切变模量G=80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角CB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。第44页，共68页，编辑于2022年，星期三453.横截面C相对于B的扭转角：2.各段轴的两个端面间的相对扭转角：第45页，共68页，编辑于2022年，星期三46强度条件：(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：8-4 8-4 受扭圆的强度条件及刚度条件受扭圆的强度条件及刚度条件第46页，共6
17、8页，编辑于2022年，星期三471.1.等截面圆轴：等截面圆轴：2.2.阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：第47页，共68页，编辑于2022年，星期三48相对扭转角相对扭转角圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算抗扭刚度抗扭刚度第48页，共68页，编辑于2022年，星期三49 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有第49页，共68页，编辑于2022年，星期三50单位长度扭转角单位长度扭转角GIp 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的截面的抗扭刚度抗扭刚度。第50页，共68页，编辑于2022年，星期三51刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计
18、算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。刚度条件：刚度条件：第51页，共68页，编辑于2022年，星期三52 传动轴传动轴的的转转速速为为n=500r/min，主，主动轮动轮A 输输入功率入功率P1=400kW，从从动轮动轮C，B 分分别输别输出功率出功率P2=160kW，P3=240kW。已知已知=70MPa，q q=1/m，G=80GPa。(1)(1)试试确定确定AC 段的直径段的直径d1 和和BC 段的直径段的直径d2；(2)(2)若若AC 和和BC 两段两段选选同一直径，同一直径，试试确定直径确定直径d；(3)(3)主主动轮动轮和从和从动轮应动轮应如何安排才比如何安排才比较较合理合理
19、?解：解：1.1.外力外力 第52页，共68页，编辑于2022年，星期三53 2.2.扭矩扭矩图图 按按刚刚度条件度条件 3.3.直径直径d d1 1的的选选取取 按按强强度条件度条件 第53页，共68页，编辑于2022年，星期三54按按刚刚度条件度条件 4.4.直径直径d d2 2的的选选取取 按按强强度条件度条件 5.5.选选同一直径同一直径时时第54页，共68页，编辑于2022年，星期三556.6.将主将主动轮动轮按装在两按装在两从从动轮动轮之之间间受力合理受力合理第55页，共68页，编辑于2022年，星期三56等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤
20、：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第56页，共68页，编辑于2022年，星期三例题例题长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：第57页，共68页，编辑于2022年，星期三58几何方程变形协调方程 综合物理方程与
21、几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。第58页，共68页，编辑于2022年，星期三598-5 8-5 等截面直杆在扭转时的应变能等截面直杆在扭转时的应变能 在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为第59页，共68页，编辑于2022年，星期三60acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位移 d
22、x上作功。第60页，共68页，编辑于2022年，星期三61 单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力所作功dW，即dV=dW。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为由剪切胡克定律=G，该应变能密度的表达式可写为第61页，共68页，编辑于2022年，星期三62 在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由 可知，亦有第62页，共68页，编辑于2022年，星期三63 例题例题 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆
23、直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。第63页，共68页，编辑于2022年，星期三64解：解：1.求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：剪力 FS=F扭矩 T=FR第64页，共68页，编辑于2022年，星期三652.求簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D=2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有第65页，共68页，编辑于2022年，星期三6
24、63.求弹簧的缩短(伸长)变形 当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力max不超过簧杆材料的剪切比例极限p时，变形与外力F成线性关系(如图)。于是有外力所作功：第66页，共68页，编辑于2022年，星期三67 至于簧杆内的应变能V，如近似认为簧杆长度l=2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T=FR，则 根据能量守恒原理 W=V，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)。第67页，共68页，编辑于2022年，星期三68小结小结1 1、受扭物体的受力和变形特点、受扭物体的受力和变形特点2 2、扭矩计算，扭矩图绘制、扭矩计算，扭矩图绘制3 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算、圆轴扭转时的变形及刚度计算第68页，共68页，编辑于2022年，星期三