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1、第八章第八章-扭转扭转CL5TU2二、外力偶矩的计算二、外力偶矩的计算 设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是P kW，轴的转，轴的转速是速是 n r/minCL5TU188-2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩扭矩CL5TU6 例：例：图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率NA=50 马力，从动轮马力，从动轮B、C、D输出功率分输出功率分别为别为 NB=NC=15马力马力，ND=20马力，轴的马力，轴的转速为转速为n=300转转/分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。CL5TU3解：解：8-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚
2、度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r,壁厚为壁厚为 tCL5TU4受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格方格,然后加载。然后加载。(1)纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度(2)圆周线的形状、大小及圆周线之间的距圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变离没有改变根据以上实验现象根据以上实验现象,可得结论：可得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有剪应圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径于半径。观察到如下现象：观察到如下现象：剪应力在截面上均匀分布，方向垂
3、直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式的上式的误差不超过误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理CL5TU7微元体微元体 单元体单元体剪应力互等定理剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。时指向或背离两平面的交线。三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律CL5TU8 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类
4、似的关系存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力即当剪应力不超过材料的剪切比例极限不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力与剪应剪应力与剪应变成正比变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切剪切胡克定律胡克定律。剪切弹性模量剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比对于对于各向同性材料各向同性材料,可以证明可以证明:E、G、三个弹三个弹性常数之间存在着如下关系性常数之间存在着如下关系8-4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系变形几何关系从三
5、方面考虑：物理关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系静力学关系CL5TU5 观察到下列现象观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离离没有变化没有变化(2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度1.变形几何关系变形几何关系平面假设：平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5CL5TU5 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料的剪切比例极限时的剪
6、切比例极限时剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径2.物理关系物理关系3.静力学关系静力学关系CL5TU9.OABMT思考题思考题8-2：下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘出水平直经AB上各点处剪应力的变化图。第八章第八章 扭扭 转转MTABO思考题思考题8-2参考答案参考答案:第八章第八章 扭扭 转转 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出剪应力沿水平直经的变化图，若（1）两杆材料相同，即G1=G2=G；（2）两材料不同，G1=2G2。MT12思考题思考题8-3：第八章第八章 扭扭 转转思考题思考题8
7、-3（1）答案：）答案：MTG1=G2=G21第八章第八章 扭扭 转转思考题思考题8-3（2）答案：）答案：MTG1=2G221第八章第八章 扭扭 转转CL5TU5二、圆轴扭转时的变形二、圆轴扭转时的变形CL5TU5比较：圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？倍？圆轴的扭转角是原来的圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？8168.2.4 8.2.4 斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系
8、横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。第八章第八章 扭扭 转转方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面xTA(a)点上切一个单元体第八章第八章 扭扭 转转(1)左、右横截面(2)顶、底面，径向截面(3)前、后面，切向截面xx(b)adcd第八章第八章 扭扭 转转思考题思考题8-6 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布；（2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的 分布。ECFD
9、BAG第八章第八章 扭扭 转转答案答案:ECFDBAG第八章第八章 扭扭 转转 现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图b处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：xTA(a)xx(b)adcdyabcdenx(a)detnxc(b)第八章第八章 扭扭 转转yabcdenx(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图a、b。de 斜面作着未知的正应力 和剪应力 。detnxc(b)设de的面积为dA，则第八章第八章 扭扭 转转简化后：detnxc(b)同理得：第八章第八章 扭扭 转转detnxc(b)第八章第八章 扭扭 转转由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45方向
10、拉伸引起的断裂。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的作为依据。如下图所示。TT断裂线min第八章第八章 扭扭 转转例：图示铸铁圆轴受扭时，在例：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上面上发生断裂，其破坏是由发生断裂，其破坏是由 应力引起的。应力引起的。在图上画出破坏的截面。在图上画出破坏的截面。CL5TU1045 螺旋螺旋最大拉最大拉 例：内外径分别为例：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截的空心圆截面轴，受扭矩面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪
11、应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。CL5TU11解：解：例：一直径为例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之的实心轴，另一内外径之比比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比径之比D2/D1。解：由解：由得：得：例：在强度相同的条件下，用例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1，由，由得：得：0.80.81.1920.80.512 例：
12、一厚度为例：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空的空心圆管，承受扭矩心圆管，承受扭矩T=180 kNm。试求管中的。试求管中的最大剪应力，使用：最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 例：一空心圆轴，内外径之比为例：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比
13、仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面，面 积增大一倍后内外径分别变为积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最最 大许可扭矩为大许可扭矩为1 例：一空心轴例：一空心轴=d/D=0.8，转速，转速n=250r/m,功率功率N=60kW，=40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径D和和内直径内直径d。解：解：例：水平面上的直角拐，例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，段为圆轴，直径为直径为 d，在端点，在端点C受铅垂力受铅垂力P作用，材料的剪作用，材料的剪切
14、弹性模量为切弹性模量为G，不计，不计BC段变形。求段变形。求C点的铅点的铅垂位移。垂位移。CL5TU12解：解：例：已知一直径例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭的钢制圆轴在扭转角为转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：解：例：圆截面橡胶棒的直径例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原来原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试
15、求杆横截面，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。上最大剪应力和杆端的外力偶矩。CL5TU13解：由解：由 例：传动轴传递外力偶矩例：传动轴传递外力偶矩5kNm,材材料的料的=30MPa,G=80GPa,=0.5/m,试选试选择轴的直径。择轴的直径。解：解：例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。最大剪应力。CL5
16、TU14解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T 例：两端固定的圆截面等直杆例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力作用，试求杆两端的支座反力偶矩。偶矩。CL5TU15解：解：静力平衡方程为：静力平衡方程为：变形协调条件为：变形协调条件为：即：即：例8-7阶梯形圆柱直径分别为d1=4 cm,d2=7 cm,轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为T3=30 kW轮1输出的功率为T1=13 kW,轴作匀速转动,转速n=200转/分,材料的剪切许用应力t=60 MPa,G=80 MPa,许用扭转角q=2
17、/m。试校核轴的强度和刚度。0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2第八章第八章 扭扭 转转解解:计算扭矩：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2强度校核：第八章第八章 扭扭 转转故强度满足。刚度校核：AC段：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2第八章第八章 扭扭 转转DB段：0.5 m0.3 m1 mACDB123d1d2故刚度满足。第八章第八章 扭扭 转转作业：（作业：（P68-71）3、4、6、8、10、11、17、195-6 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立均建立在在平面假设平面
18、假设 的基础上。的基础上。对于非圆截面杆对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。面。这一现象称为截面翘曲。因此因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。截面杆均不适用。CL5TU20非圆截面杆在扭转时有两种情形非圆截面杆在扭转时有两种情形:CL5TU211.自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转在扭转过程中在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约杆的各横截面的翘曲不受任何约束束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此任意两相邻横截面的
19、翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力时横截面只有剪应力,而没有正应力。而没有正应力。2.约束扭转约束扭转扭转时扭转时,由于杆的端部支座的约束由于杆的端部支座的约束,使杆件截面使杆件截面翘曲受到一定限制翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正将在横截面上产生附加的正应力。应力。CL5TU21 对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正
20、应力是不能忽略的。不能忽略的。一、矩形截面杆的扭转一、矩形截面杆的扭转 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处应力发生在长边中点处.CL5TU22二、开口薄壁杆件的自由扭转二、开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件开口薄壁杆件:如角钢、槽钢、工字钢等。如角钢、槽钢、工字钢等。壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸壁厚远小于整个截面的高、宽尺寸,其截面中线其截面中线是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭是一条不封闭的折线。开口薄壁杆件在自由扭转时转时,截面要发生翘曲。截面要发生翘曲。结束结束