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1、第六章 方差分析第1页，共47页，编辑于2022年，星期三1.1.非重复试验双因素方差分析非重复试验双因素方差分析例例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%300%定强如下：定强如下：氧化锌氧化锌B催化剂催化剂A问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？第2页，共47页，编辑于2022年，星期三此例中有此例中有A，B 二个因素。二个因素。因素因素A 有三种水平：有三种水平：在每种组合水
2、平在每种组合水平 上上 做一次做一次试验获得试验值。试验获得试验值。因素因素B 有四种水平：有四种水平：问问:因素因素A,B分别对试验结果有无显著影响？分别对试验结果有无显著影响？因素因素 A 有有r 种水平：种水平：一般情况，一般情况，设有二个因素设有二个因素A，B因素因素 B 有有s 种水平：种水平：第3页，共47页，编辑于2022年，星期三因素因素B因素因素A在每一种组合水平在每一种组合水平上进行一次试验，结果为上进行一次试验，结果为相互独立。相互独立。第4页，共47页，编辑于2022年，星期三假设总体 服从正态分布 。令数学模型数学模型相互独立令第5页，共47页，编辑于2022年，星期
3、三称为因素因素A在水平在水平 的效应的效应检验假设检验假设称为因素因素B在水平在水平 的效应的效应第6页，共47页，编辑于2022年，星期三令平均数第7页，共47页，编辑于2022年，星期三总离差平方和总离差平方和第8页，共47页，编辑于2022年，星期三总离差平方和总离差平方和第9页，共47页，编辑于2022年，星期三其中:是因素A的离差总平方和，反映了因素A的不同水平对指标值的影响；是因素B的离差总平方和，反映了因素B的不同水平对指标值的影响；是误差平方和，反映了误差的随机波动.第10页，共47页，编辑于2022年，星期三第11页，共47页，编辑于2022年，星期三第12页，共47页，编辑
4、于2022年，星期三同理可得令第13页，共47页，编辑于2022年，星期三=当 成立时，当 不成立时，当 成立时，当 不成立时，第14页，共47页，编辑于2022年，星期三当 和 都成立时，第15页，共47页，编辑于2022年，星期三第16页，共47页，编辑于2022年，星期三有一个约束条件：的自由度为：有一个约束条件：的自由度为：有r+s-1个约束条件：的自由度为：第17页，共47页，编辑于2022年，星期三且 相互独立。命题命题1 1 当当H0101，H H0202成立时成立时，第18页，共47页，编辑于2022年，星期三称为均方误差均方误差称为因素因素A引起的均方离差引起的均方离差称为因
5、素因素B引起的均方离差引起的均方离差第19页，共47页，编辑于2022年，星期三=给定显著水平，H01 的拒绝域为H02 的拒绝域为第20页，共47页，编辑于2022年，星期三来源离差平方和自由度均方离差F值因素A因素B误 差总 和第21页，共47页，编辑于2022年，星期三 记记第22页，共47页，编辑于2022年，星期三例例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%定强如下：氧化锌B催化剂A问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？第23页，共47页，编辑于2022年，星期三解解可利用方差分析表得来源因子A因子B误差总和
6、离差自由度均方离差值查表得 所以不同催化剂、氧化锌的不同份量对橡胶定强都有显著影响。第24页，共47页，编辑于2022年，星期三例例2 2 在一个农业试验中，考虑四种不同的种子品种和三种不同的施肥方法 得到产量数据表如下。试分析种子和施肥对产量有无显著影响。（=0.05）农业试验表农业试验表（单位：（单位：kg）第25页，共47页，编辑于2022年，星期三解解 本题是双因素不考虑交互效应的方差分析问题，其中 。计算出方差分析表中相应的数据：第26页，共47页，编辑于2022年，星期三来源离差平方和自由度均方离差F值因素A3824.2531274.755.226因素B162.50281.250.
7、3331误 差1463.506243.58总 和5430.2511方差分析表方差分析表第27页，共47页，编辑于2022年，星期三=不同的种子品种对产量有显著影响 施肥方法对产量没有显著影响第28页，共47页，编辑于2022年，星期三2.重复试验双因素方差分析 在非重复实验情形，仅考虑二个因素中各个因素的单独作用，即仅有因素A的效应与因素B的效应。一般情形，不仅各个因素在起作用，而且因素之间的组合有时会影响试验结果，这种就是交互效应。第29页，共47页，编辑于2022年，星期三因素 A 有r 种水平：设有二个因素A，B因素 B 有s 种水平：在每一种组合水平上进行一次试验，结果为假设 相互独立
8、。第30页，共47页，编辑于2022年，星期三因素因素B因素因素A第31页，共47页，编辑于2022年，星期三假设总体令数学模型数学模型相互独立令第32页，共47页，编辑于2022年，星期三称为因素因素A在水平在水平 的效应的效应称为因素因素B在水平在水平 的效应的效应称为因素因素A,B在组合水平在组合水平 的交互效应的交互效应检验假设检验假设第33页，共47页，编辑于2022年，星期三平均数第34页，共47页，编辑于2022年，星期三因素因素B因素因素A第35页，共47页，编辑于2022年，星期三总离差平方和总离差平方和第36页，共47页，编辑于2022年，星期三因素因素A的离差平方和的离差
9、平方和因素因素B的离差平方和的离差平方和因素因素A,B交互作用引起的交互作用引起的离差平方和离差平方和误差平方和误差平方和第37页，共47页，编辑于2022年，星期三命题命题2 2第38页，共47页，编辑于2022年，星期三令第39页，共47页，编辑于2022年，星期三=当 成立时，当 不成立时，当 成立时，当 不成立时，当 不成立时，当 成立时，第40页，共47页，编辑于2022年，星期三当 都成立时，命题命题3 3 当 都成立时，第41页，共47页，编辑于2022年，星期三=给定显著水平，H01 的拒绝域为H02 的拒绝域为H03 的拒绝域为第42页，共47页，编辑于2022年，星期三来源
10、离差平方和自由度均方离差F值因素A因素B误 差总 和AB交互交互作用作用第43页，共47页，编辑于2022年，星期三例例3 3 研究树种与地理位置对松树生长的影响，对四个地区的三种同龄松树的直径进行测量得到数据表如下所示。表示四个不同地区。对每一种水平组合，进行了5次测量，对此试验结果进行方差分析。23 15 2613 2125 20 2116 212117 1624 2714 11 1920 2428 22 25 16 2630 26 26 20 2823 15 26 13 2117 21 18 26 2323 15 26 13 2115 21 22 14 1223 15 1913 22 18 12 26 22 19第44页，共47页，编辑于2022年，星期三解解 本题是双因素考虑交互效应的方差分析问题，其中计算出方差分析表中的数据；第45页，共47页，编辑于2022年，星期三第46页，共47页，编辑于2022年，星期三而位置效应及交互效应并不显著。所以在显著水平 下树种效应是高度显著的，第47页，共47页，编辑于2022年，星期三