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1、第五章 线性系统稳定性 College of Automatic Control Engineering,CUIT第1页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT5.15.1 稳定性概念稳定性概念 确保控制系统稳定是控制系统设确保控制系统稳定是控制系统设计的前提和核心内容。计的前提和核心内容。一个不稳定的控制系统一一个不稳定的控制系统一般是没有使用价值的。般是没有使用价值的。一、系统稳定性定义一、系统稳定性定义 一一个个稳稳定定系系统统定定义义为为：输输出出响响应应有有限限（有有界界）的的系系统统。也也就就是
2、是说说，如如果果系系统统受受到到有界输入或干扰的作用，其响应的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。有界输入或干扰的作用，其响应的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。控制工程师所设计的控制系控制工程师所设计的控制系统必须是稳定的。统必须是稳定的。系统系统稳定稳定 不稳定不稳定 绝对绝对稳定稳定 相对相对稳定稳定 临界临界稳定稳定 就就绝对稳定性绝对稳定性而言，一个系统要么稳定，要么而言，一个系统要么稳定，要么不稳定。不稳定。只有绝对稳定性的系统称为稳定只有绝对稳定性的系统称为稳定系统。系统。对一个稳定系统可以用相对稳对一个稳定系统可以用相对稳定性进一步衡量其稳定程度。定性进一步衡量其稳定程度。第2页
3、，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT二、线性系统稳定的充分必要条件二、线性系统稳定的充分必要条件对一个线性系统而言，其闭环传递函数为：对一个线性系统而言，其闭环传递函数为：它的脉冲响应：它的脉冲响应：显然，要想系统响应有界，其所有极点的实部必须为负。显然，要想系统响应有界，其所有极点的实部必须为负。反馈系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点必须在反馈系统稳定的充分必要条件：系统传递函数的所有极点必须在s平面的左半平面。平面的左半平面。如果系统有任何一个极点不在左半平面，都称系统不稳定。如果系统有
4、任何一个极点不在左半平面，都称系统不稳定。如果有一对共轭根在虚轴（如果有一对共轭根在虚轴（j轴）上，其它根都在左半平面，则系统在有界输入轴）上，其它根都在左半平面，则系统在有界输入作用下，其稳态输出将保持等幅振荡，只有输入为正弦波且频率为虚根的幅值时，作用下，其稳态输出将保持等幅振荡，只有输入为正弦波且频率为虚根的幅值时，系统输出才无界，此时系统称为临界稳定。系统输出才无界，此时系统称为临界稳定。第3页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT5.25.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据直接方
5、法：求解出系统特征根，从而判定。直接方法：求解出系统特征根，从而判定。系统稳定系统稳定全部特征根在全部特征根在s左半平面左半平面充分必要充分必要系统特征根情况系统特征根情况稳定性判定稳定性判定问题：高阶方程求解困难问题：高阶方程求解困难一、一、Routh-Hurwitz 稳定性判据稳定性判据系统特征方程系统特征方程列写列写Routh表表判据内容：判据内容：特征方程正实部根的数目特征方程正实部根的数目与与Routh表第表第1列中符号变化列中符号变化的次数相同的次数相同第4页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CU
6、IT例例1 1 二阶系统二阶系统列劳斯表如下：列劳斯表如下：特征多项式：特征多项式：可见：可见：该二阶系统稳定的充分必要条件为特征式所有的系数均为正或所有的系该二阶系统稳定的充分必要条件为特征式所有的系数均为正或所有的系数均为负。数均为负。第5页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT二、二、Routh-Hurwitz 稳定性判据的应用稳定性判据的应用 劳斯劳斯霍尔维茨判据表明，系统特征方程中具有正实部根的个数等于劳斯表霍尔维茨判据表明，系统特征方程中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。
7、中第一列元素符号变化的次数。由此可得到：由此可得到：系统稳定则劳斯表中第一列元素的符号均为正或均为负；系统不系统稳定则劳斯表中第一列元素的符号均为正或均为负；系统不稳定的根的数目等于符号变化次数。稳定的根的数目等于符号变化次数。劳斯表第一列元素可能出现如下情况：劳斯表第一列元素可能出现如下情况：（1 1）第一列元素均不为零；）第一列元素均不为零；（2 2）第一列元素中有元素为零，且为零）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其它元素不全为零。的这一行的其它元素不全为零。（3 3）劳斯表中出现全零行；）劳斯表中出现全零行；（4 4）同（）同（3 3）并在虚轴上有重根。）并在虚轴上有重根。下面分
8、别情况进行应用讨论下面分别情况进行应用讨论第6页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT 情形情形1 1：首列中没有元素为零：首列中没有元素为零例例2 2.三阶系统三阶系统劳斯表为：劳斯表为：系统特征多项式为：系统特征多项式为：该三阶系统稳定的充该三阶系统稳定的充分必要条件是特征式的分必要条件是特征式的系数全为正，且系数全为正，且 如果如果a2a1=a0a3将意味着什么？将意味着什么？第7页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering
9、,CUIT情形情形2 2：第一列元素中有元素为零，但为零元素所在行的其它元素不全为零。：第一列元素中有元素为零，但为零元素所在行的其它元素不全为零。如果劳斯表首列中只有一个零元素，那么我们可以用一个逼近零的极小正如果劳斯表首列中只有一个零元素，那么我们可以用一个逼近零的极小正数数 来代替。来代替。例例3.3.系统特征多项式为系统特征多项式为列劳斯表为：列劳斯表为：首列出现两次符号变化，故系统不稳首列出现两次符号变化，故系统不稳定且有定且有2 2个个 不稳定极点。不稳定极点。第8页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineerin
10、g,CUIT情形情形3 3：劳斯表中出现全零行。：劳斯表中出现全零行。出现这种情况是由于特征多项式存在关于原点对称的根：出现这种情况是由于特征多项式存在关于原点对称的根：s=或或s=j。处理方法：处理方法：用全零行上面的一行系数构造辅助多项式用全零行上面的一行系数构造辅助多项式U(s)。例例4 4：考虑考虑劳斯表为劳斯表为系统稳定的充分必系统稳定的充分必要条件是要条件是当当K=8 时时0 0劳斯表出现全零行，需劳斯表出现全零行，需构造辅助多项式。构造辅助多项式。显然有显然有s=j2 的虚根。是否还有不稳定的虚根。是否还有不稳定的根，需对的根，需对U(s)关于关于s求导，以求导后求导，以求导后的
11、多项式系数构造全零行。的多项式系数构造全零行。4 4首列无符号变化，系统无不稳定极点。首列无符号变化，系统无不稳定极点。所以系统处于临界稳定。所以系统处于临界稳定。第9页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT情形情形4 4：特征方程在虚轴上有多重根特征方程在虚轴上有多重根。例例5.5.系统特征多项式为：系统特征多项式为：显然其有两对相同的共轭虚显然其有两对相同的共轭虚根根劳斯表为劳斯表为0 0用用s4构建辅助多项式：构建辅助多项式：再次用再次用s s2 2行系数构造的辅助多项式：行系数构造的辅助多项式：4
12、 40s s1 1行系数即为行系数即为2 2，0 0 2可见：劳斯表首列无符号变化，故系统除有两对相同共可见：劳斯表首列无符号变化，故系统除有两对相同共轭虚根外，无其它不稳定极点。从而可以说系统处于临轭虚根外，无其它不稳定极点。从而可以说系统处于临界稳定状态。界稳定状态。第10页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT例例6.6.焊接机器人焊接头由机械臂带动，自动到达不同焊接位置。焊接头位置控制系统如焊接机器人焊接头由机械臂带动，自动到达不同焊接位置。焊接头位置控制系统如图图确定使系统稳定的确定使系统稳定的
13、K和和a 的变化范围。的变化范围。解：解：系统特征方程为：系统特征方程为：系统稳定充分必要条件：系统稳定充分必要条件：系统稳定时系统稳定时K和和a 的变化范的变化范围为：围为：第11页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT5.35.3 反馈控制系统的相对稳定性反馈控制系统的相对稳定性 利用利用Routh-Hurwitz判据，通过判断系统特征方程是否有位于判据，通过判断系统特征方程是否有位于s右半平面的根，可右半平面的根，可以确定系统的绝对稳定性。在系统稳定的情况下，还需要知道系统稳定的程度即以确定系统的绝
14、对稳定性。在系统稳定的情况下，还需要知道系统稳定的程度即相相对稳定性对稳定性。通过了解相对稳定性，可以帮助工程师判断系统超调量或者系统的阻尼强度，通过了解相对稳定性，可以帮助工程师判断系统超调量或者系统的阻尼强度，以及系统的鲁棒性。以及系统的鲁棒性。相对稳定性可以用特征根的实部所确相对稳定性可以用特征根的实部所确定的系统特性来定义，也可以用共轭定的系统特性来定义，也可以用共轭复数根的相对阻尼系数来定义。还可复数根的相对阻尼系数来定义。还可以用频率特性的幅值与相位裕度来定以用频率特性的幅值与相位裕度来定义。义。这里讨论利用特征根的负实部定义的相这里讨论利用特征根的负实部定义的相对稳定性及其应用。
15、对稳定性及其应用。方法：方法：根平面虚轴平移根平面虚轴平移j1第12页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT例例1.1.新型电动轮椅装有非常实用的速度控制系统，框图模型如图。新型电动轮椅装有非常实用的速度控制系统，框图模型如图。时间常数时间常数1=0.5s,3=1s，4=1/4sVelocity（1）确定使系统稳定的）确定使系统稳定的K的取值（的取值（K=K1K2K3）;（2）当）当K的取值为临界稳定增益的的取值为临界稳定增益的1/3时，确定系统按时，确定系统按2%准则的调节时间是否小于准则的调节时间是否
16、小于4s；（3）确定增益）确定增益K的取值，使系统的调节时间等于的取值，使系统的调节时间等于4s，并计算此时的系统特征根。，并计算此时的系统特征根。P275 P6.8解：解：（1）系统特征方程为：）系统特征方程为：稳定条件稳定条件得到得到K值范围：值范围：第13页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT（2 2）当）当K K的取值为临界稳定增益的的取值为临界稳定增益的1/31/3时，确定出时，确定出K=11.25/3=3.75。系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 系统的动态响应形态由复数主导极点确定，所以
17、系统的动态响应形态由复数主导极点确定，所以Ts=4/(n)。而。而-n正是复数极点的实部，正是复数极点的实部，设设a=n。将将s平面虚轴左移平面虚轴左移 a，系统将处于临界稳定。，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：系统特征多项式变为：b=0b=0时系统临界稳定，求得时系统临界稳定，求得a=-0.64。即即n=0.64，Ts=4/0.64=6.25s，大于，大于4s。第14页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT（3 3）系统的调节时间等于）系统的调节时间等于4s4s，即，即Ts=4/(n)=4。则。
18、则n=1 主导极点的实部为主导极点的实部为-1-1，参照（，参照（2 2）的方法令）的方法令s=sn-1,即将虚轴左移即将虚轴左移1 1，系统将处于临界稳定。，系统将处于临界稳定。系统特征多项式变为：系统特征多项式变为：系统临界稳定，则系统临界稳定，则b=0b=0。解得。解得 K=1.50 0由辅助多项式求得：由辅助多项式求得：系统共轭复数极点为：系统共轭复数极点为：s=-1j1.73容易求得另一极点容易求得另一极点 s=-5第15页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT例例2.2.火星自主漫游车的火星自
19、主漫游车的导向控制系统导向控制系统框图模型如图。框图模型如图。反馈回路反馈回路H(s)=Ks+1 (1)(1)确定使系统稳定的确定使系统稳定的K K的取值范围。的取值范围。（2 2）当）当s=-5s=-5为系统的一个闭环根时，计算为系统的一个闭环根时，计算K K的值及其它闭环根。的值及其它闭环根。（3 3）对（）对（2 2）求得的）求得的K K，计算系统阶跃响应。，计算系统阶跃响应。解：解：（1）系统特征方程为：）系统特征方程为：使系统稳定的使系统稳定的K值范围：值范围：10第16页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineer
20、ing,CUIT（2）系统一个特征根为）系统一个特征根为-5，则设系统特征方程为：，则设系统特征方程为：与系统特征方程比较可得：与系统特征方程比较可得：系统另二根：系统另二根：（3）系统单位阶跃响应）系统单位阶跃响应请同学们写出解析解请同学们写出解析解第17页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT5.45.4 应用应用Matlab研究研究系统稳定性系统稳定性介绍两个新函数介绍两个新函数Pole()和和Roots()第18页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT第19页，共20页，编辑于2022年，星期三 College of Automatic Control Engineering,CUIT本章小结本章小结第20页，共20页，编辑于2022年，星期三