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1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程一、引言一、引言一、引言一、引言数学模型数学模型数学模型数学模型:描述系统动态特性的数学表达式描述系统动态特性的数学表达式描述系统动态特性的数学表达式描述系统动态特性的数学表达式时域数学模型：时域数学模型：时域数学模型：时域数学模型：微分方程微分方程微分方程微分方程(连续系统连续系统连续系统连续系统)差分方程差分方程差分方程差分方程(离散系统离散系统离散系统离散系统)状态方程状态方程状态方程状态方程复域数学模型：复域数学模型：复域数学模型：复域数学模型：传递函数传递函数传递函数传递函数(连续系统连续系统连续系
2、统连续系统)Z Z传递函数传递函数传递函数传递函数(离散系统离散系统离散系统离散系统)频域数学模型：频域数学模型：频域数学模型：频域数学模型：频率特性频率特性频率特性频率特性数学建模的一般方法：数学建模的一般方法：数学建模的一般方法：数学建模的一般方法：1.1.1.1.分析法：分析法：分析法：分析法：根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系统或元件所遵循的有关定律来建模2.2.2.2.实验法：实验法：实验法：实验法：根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模2021/
3、9/231实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例OriginPro 8OriginPro 82021/9/232实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例OriginPro 8OriginPro 82021/9/233实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例实验法列微分方程举例OriginPro 8OriginPro 82021/9/234连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：分别为系统输出和输入分别为系统输出和输
4、入分别为系统输出和输入分别为系统输出和输入;为微分方程系数为微分方程系数为微分方程系数为微分方程系数若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为分方程表示的系统为分方程表示的系统为分方程表示的系统为线性系统线性系统线性系统线性系统；否则，系统为；否则，系统为；否则，系统为；否则，系统为非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为对线性系统，若系数为常数则为对线性系统，若系数为常数则为对线性系统，若
5、系数为常数则为线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统。线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统2021/9/235线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理2021/9/236列写微分方程的步骤如下：列写微分方程的步骤如下：列写微分方程的步骤如下：列写微分方程的步骤如下：1.1.1.1.确定系统的输入量和输出量。确定系统的输入量和输出量。确定系统的输入量和输出量。确定系统的输入量和输出量。注意：输入量包括给定输入量和扰动量注意：输入量包括给定输入量和扰动量注意
6、：输入量包括给定输入量和扰动量注意：输入量包括给定输入量和扰动量2.2.2.2.按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。3.3
7、.3.3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。4.4.4.4.整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。二、列写微分方程的一般方法二、列写微分方程的一
8、般方法2021/9/237Fv2v1bFv2v1mv2v1Fk质量质量质量质量弹簧弹簧弹簧弹簧阻尼阻尼阻尼阻尼一）机械系统一）机械系统电路元件两端电位差电路元件两端电位差电路元件两端电位差电路元件两端电位差v v2121二）电网络二）电网络二）电网络二）电网络电感电感电感电感电阻电阻电阻电阻电容电容电容电容两端相对速度两端相对速度两端相对速度两端相对速度v v21212021/9/238例例例例1 1 1 1：图示机械系统：图示机械系统：图示机械系统：图示机械系统 m-c-km-c-km-c-km-c-k，列写微分方程。，列写微分方程。，列写微分方程。，列写微分方程。1.1.1.1.明确：明确
9、：明确：明确：2.2.2.2.牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第二定律 列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.3.3.整理：整理：整理：整理：系统输入系统输入系统输入系统输入 f f(t t)系统输出系统输出系统输出系统输出 x x(t t)2021/9/239例例例例2 2 2 2：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。1.1.1.1.明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：输入输入输入输入u u u u(t t t t)，
10、输出电量，输出电量，输出电量，输出电量q q q q2.2.2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.3.3.消除中间变量，并整理消除中间变量，并整理消除中间变量，并整理消除中间变量，并整理2021/9/2310例例例例3 3 3 3：列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程1.1.1.1.明确：输入明确：输入明确：输入明确：输入T T，输出，输出，输出，输出x x(t t)2.2.2.2.微分方程：微分方程：微分方程：微分方程：3.3.3.3.消除中间变量消除中间变量消除中间变量消除中间变量 f f、q q，并整理：，并整理：，并整
11、理：，并整理：q02021/9/2311例例例例4 4 4 4：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。1.1.明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：输入输入输入输入u u1 1，输出，输出，输出，输出u u2 22.2.列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：3.3.消除中间变量消除中间变量消除中间变量消除中间变量 i i1 1、i i2 2，并整理：，并整理：，并整理：，并整理：2021/9/2312例例例例5 5 5 5 直流电动机直流电动机直流电动机直
12、流电动机1.1.1.1.明确输入与输出：明确输入与输出：明确输入与输出：明确输入与输出：输入输入输入输入u ua a 和和和和MML L，输出，输出，输出，输出w w w w2.2.2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.3.3.消除中间变量，并整理：消除中间变量，并整理：消除中间变量，并整理：消除中间变量，并整理：电机的反电势电机的反电势电机的反电势电机的反电势e ed d反电势常数反电势常数反电势常数反电势常数k kd d电磁力矩电磁力矩电磁力矩电磁力矩MM电磁力矩常数电磁力矩常数电磁力矩常数电磁力矩常数k kmm得得得得2021/9/231
13、3设平衡点设平衡点设平衡点设平衡点设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型当偏离平衡点时，有当偏离平衡点时，有当偏离平衡点时，有当偏离平衡点时，有则则则则增量化增量化增量化增量化即有即有即有即有1.1.1.1.增量化方程与实际坐标方程形式相同增量化方程与实际坐标方程形式相同增量化方程与实际坐标方程形式相同增量化方程与实际坐标方程形式相同2.2.2.2.当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。当平衡点为坐标原点时，二者等价；否
14、则，二者不等价。当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。2021/9/2314线性化的条件：线性化的条件：线性化的条件：线性化的条件：1.1.1.1.非线性函数是连续函数非线性函数是连续函数非线性函数是连续函数非线性函数是连续函数(即不是本质非线性即不是本质非线性即不是本质非线性即不是本质非线性)。2.2.2.2.系统在预定工作点附近作小偏差运动系统在预定工作点附近作小偏差运动系统在预定工作点附近作小偏差运动系统在预定工作点附近作小偏差运动线性化的方法：线性化的方法：线性化的方法：线性化的方法：1.1.1.1.确定预定工作点确定预定工作点确定预定工作点确定预定工作点(平衡位置平衡位置
15、平衡位置平衡位置)。2.2.2.2.在工作点附近将非线性方程展开成在工作点附近将非线性方程展开成在工作点附近将非线性方程展开成在工作点附近将非线性方程展开成TaylorTaylorTaylorTaylor级数形式。级数形式。级数形式。级数形式。3.3.3.3.忽略高阶小项。忽略高阶小项。忽略高阶小项。忽略高阶小项。4.4.4.4.表示成增量化方程的形式。表示成增量化方程的形式。表示成增量化方程的形式。表示成增量化方程的形式。非线性方程的线性化非线性方程的线性化非线性方程的线性化非线性方程的线性化2021/9/2315例例例例6 6 6 6 液压伺服机构液压伺服机构液压伺服机构液压伺服机构1.1
16、.明确明确明确明确 输入输入输入输入 x x，输出，输出，输出，输出y y2.2.2.2.列写原始微分方程列写原始微分方程列写原始微分方程列写原始微分方程液压油流量液压油流量液压油流量液压油流量设设设设滑阀特性滑阀特性滑阀特性滑阀特性3.3.3.3.非线性函数线性化：非线性函数线性化：非线性函数线性化：非线性函数线性化：(1)(1)(1)(1)确定系统预定工作点确定系统预定工作点确定系统预定工作点确定系统预定工作点(2)(2)(2)(2)二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开已略去高阶小量已略去高阶小量已略去高阶小量已略去高阶小量2021/9/2316例例例例6 6
17、6 6 液压伺服机构液压伺服机构液压伺服机构液压伺服机构3.3.3.3.非线性函数线性化：非线性函数线性化：非线性函数线性化：非线性函数线性化：(1)(1)(1)(1)确定系统预定工作点确定系统预定工作点确定系统预定工作点确定系统预定工作点(2)(2)(2)(2)二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开(3)(3)(3)(3)增量方程增量方程增量方程增量方程4.4.4.4.代入原方程代入原方程代入原方程代入原方程整理得整理得2021/9/23171.1.1.1.非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。非线性项线性化后微
18、分方程是增量形式的微分方程。非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。2.2.2.2.线性化的结果与系统的预定工作点有关。线性化的结果与系统的预定工作点有关。线性化的结果与系统的预定工作点有关。线性化的结果与系统的预定工作点有关。3.3.3.3.非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。线性化特点：线性化特点：线性化特点：线性化特点：如：本例中，不同预定点的如：本例中，不同预定点的如：本例中，不同预定点的如：本例中，不同预定点的k k k kq q q q、k k
19、k kc c c c不同不同不同不同2021/9/2318 三、相似系统三、相似系统数学模型形式相同数学模型形式相同数学模型形式相同数学模型形式相同组成系统的组成系统的组成系统的组成系统的物理元件不同物理元件不同物理元件不同物理元件不同相似系统：相似系统：相似系统：相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。相似量：相似量：相似量：相似量：质量元件质量元件质量元件质量元件弹簧元件弹簧元件弹簧元件弹簧元件阻尼元件阻尼元件阻尼元件阻尼元件电感元件电感元件电感元件电感
20、元件电阻元件电阻元件电阻元件电阻元件电容元件电容元件电容元件电容元件2021/9/2319 2.2 2.2 系统的传递函数系统的传递函数连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：系统固有特性系统固有特性系统固有特性系统固有特性系统与外界联系系统与外界联系系统与外界联系系统与外界联系传递函数传递函数传递函数传递函数传递函数定义：传递函数定义：传递函数定义：传递函
21、数定义：零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。氏变换之比。氏变换之比。氏变换之比。2021/9/2320传递函数特点：传递函数特点：传递函数特点：传递函数特点：1.1.1.1.传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量s s s s的复变函数，为的复变函数，为的复变函数，为的复变函数，为复域数学模型复域数学模型复域数学模型复域数学模型；2.2.2.2.传递函数的分母反映系统本身与外界无
22、关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递传递传递传递函数的分子反映系统与外界的联系；函数的分子反映系统与外界的联系；函数的分子反映系统与外界的联系；函数的分子反映系统与外界的联系；3.3.3.3.在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数统的传递函数统的传递函数统的传递函数4.4.4.4.物理性质
23、不同的系统，可以具有相同的传递函数物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统相似系统相似系统相似系统)传递函数方框传递函数方框传递函数方框传递函数方框2021/9/2321零点：零点：零点：零点：影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。极点：极点：极点：极点：决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。决定系统瞬态响应的收
24、敛性，决定稳定性。放大系数放大系数放大系数放大系数(增益增益增益增益)：设阶跃信号输入设阶跃信号输入设阶跃信号输入设阶跃信号输入对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。系统的稳态输出系统的稳态输出系统的稳态输出系统的稳态输出传递函数的零极点模型传递函数的零极点模型传递函数的零极点模型传递函数的零极点模型 微分方程的特征根微分方程的特征根微分方程的特征根微分方程的特征根2021/9/
25、2322例例例例1 1 1 1：求图示系统的传递函数：求图示系统的传递函数：求图示系统的传递函数：求图示系统的传递函数1.1.1.1.确定系统输入与输出：确定系统输入与输出：确定系统输入与输出：确定系统输入与输出：2.2.2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.3.3.在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：2021/9/23234.4.4.4.消除中间变量，并整理得：消除中间变量，并整理得：消除中间变量，并整理得：消除中间变量，并整理得：3.3.3.3.在零初始条件
26、下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：5.5.5.5.传递函数传递函数传递函数传递函数2021/9/2324系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合1.1.比例环节比例环
27、节 动力学方程：动力学方程：动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。例：例：例：例：输出正比于输入输出正比于输入 五、典型环节传递函数五、典型环节传递函数2021/9/2325存在储能元件和耗能元件。存在储能元件和耗能元件。存在储能元件和耗能元件。存在储能元件和耗能元件。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。阶跃输入
28、时，输出经过一段时间才到稳态值。输出的导数与输出之和正比于输入输出的导数与输出之和正比于输入输出的导数与输出之和正比于输入输出的导数与输出之和正比于输入动力学方程：动力学方程：动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：特点：特点：特点：特点：2.2.2.2.惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节例例例例1 1：例例例例2 2：2021/9/23263.3.3.3.微分环节微分环节微分环节微分环节动力学方程：动力学方程：动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：特点：特点：特点：特点：一般不能单独存在一般不能单独存在一般不能单独存在一般不能单独存在 增加阻尼
29、；增加阻尼；增加阻尼；增加阻尼；强化噪声。强化噪声。强化噪声。强化噪声。输出正比于输入的变化率输出正比于输入的变化率输出正比于输入的变化率输出正比于输入的变化率例例例例1 1：微分运算电路微分运算电路微分运算电路微分运算电路2021/9/2327机械液压阻尼器机械液压阻尼器机械液压阻尼器机械液压阻尼器缓冲，减小偏移幅度缓冲，减小偏移幅度缓冲，减小偏移幅度缓冲，减小偏移幅度油缸力平衡油缸力平衡油缸力平衡油缸力平衡节流阀流量节流阀流量节流阀流量节流阀流量例例例例2 2：若若若若TT1 12021/9/23284.4.4.4.积分环节积分环节积分环节积分环节动力学方程：动力学方程：动力学方程：动力学
30、方程：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：若输入单位阶跃信号若输入单位阶跃信号若输入单位阶跃信号若输入单位阶跃信号 x x x xi i i i(t t t t)=1)=1)=1)=1,X,X,X,Xi i i i(s s s s)=1/)=1/)=1/)=1/s s s s特点：特点：特点：特点：输出正比于输入的累积量输出正比于输入的累积量输出正比于输入的累积量输出正比于输入的累积量则输出为则输出为则输出为则输出为1).1).1).1).输出反映输入量的累积输出反映输入量的累积输出反映输入量的累积输出反映输入量的累积2).2).2).2).输出滞后于输入输出滞后于输入输出滞后于输入输出滞
31、后于输入,经过时间经过时间经过时间经过时间T T T T ，输出才等于输入，输出才等于输入，输出才等于输入，输出才等于输入3).3).3).3).输出具有记忆功能输出具有记忆功能输出具有记忆功能输出具有记忆功能 经过一段时间后，输入变为经过一段时间后，输入变为经过一段时间后，输入变为经过一段时间后，输入变为0 0 0 0，输出稳定不变，输出稳定不变，输出稳定不变，输出稳定不变2021/9/2329例例例例1 1：例例例例2 2：积分运算电路：积分运算电路：积分运算电路：积分运算电路式中，式中，式中，式中，凡有储存或积累特点的元件、环节、系统凡有储存或积累特点的元件、环节、系统凡有储存或积累特点
32、的元件、环节、系统凡有储存或积累特点的元件、环节、系统都有积分特性都有积分特性都有积分特性都有积分特性如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分2021/9/23305.5.5.5.振荡环节振荡环节振荡环节振荡环节无阻尼固有频率无阻尼固有频率无阻尼固有频率无阻尼固有频率w w w wn n，时间常数，时间常数，时间常数，时间常数T T=1/=1/w w w wn n,阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比x x x x(1)0(1)0(1)0(1)0 x x x x 1 1 1 1 时，输出
33、振荡。时，输出振荡。时，输出振荡。时，输出振荡。(2)(2)(2)(2)x x x x 1111时，输出无振荡时，输出无振荡时，输出无振荡时，输出无振荡,不是振荡环节不是振荡环节不是振荡环节不是振荡环节且且且且x x x x越小，振荡越剧烈越小，振荡越剧烈越小，振荡越剧烈越小，振荡越剧烈(3)(3)(3)(3)振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件特点特点特点特点:例例例例1 1 1 1:2021/9/2331例例例例2 2 2 2 旋转运动的旋转运动的旋转运动的旋
34、转运动的J-c-kJ-c-kJ-c-kJ-c-k系统系统系统系统例例例例3 3 3 3 L-R-CL-R-CL-R-CL-R-C电路电路电路电路2021/9/23326.6.6.6.延时环节延时环节延时环节延时环节特点：特点：特点：特点：输出滞后于输入，但不失真输出滞后于输入，但不失真输出滞后于输入，但不失真输出滞后于输入，但不失真延时环节与惯性环节和比例环节有区别延时环节与惯性环节和比例环节有区别延时环节与惯性环节和比例环节有区别延时环节与惯性环节和比例环节有区别惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节比例环节比例环节比例环节比例环节延时环节延时环节延时环节延时环节动力学方程：动力学方程：动力学方程
35、：动力学方程：传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：例：轧钢厂钢板厚度检测例：轧钢厂钢板厚度检测例：轧钢厂钢板厚度检测例：轧钢厂钢板厚度检测2021/9/2333一个元件一个元件一个元件一个元件几种环节作用几种环节作用几种环节作用几种环节作用几个元件几个元件几个元件几个元件一个环节的作用一个环节的作用一个环节的作用一个环节的作用2.2.2.2.物理框图：说明物理过程和原理，物理框图：说明物理过程和原理，物理框图：说明物理过程和原理，物理框图：说明物理过程和原理，框图中，元器件或零部件框图中，元器件或零部件框图中，元器件或零部件框图中，元器件或零部件典型环节传递函数小结典型环节传递函数小结典型
36、环节传递函数小结典型环节传递函数小结1.1.1.1.物理元件个数不一定等于系统的环节个数物理元件个数不一定等于系统的环节个数物理元件个数不一定等于系统的环节个数物理元件个数不一定等于系统的环节个数3.3.3.3.同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其 传递函数也不同传递函数也不同传递函数也不同传递函数也不同,可能充当不同典型环节。可能充当不同典型环节。可能充当不同典型环节。可能充当不同典型环节。传函框图：表示信息传递关系框图中，各环节传递函数传函框图：表示信息传递关
37、系框图中，各环节传递函数传函框图：表示信息传递关系框图中，各环节传递函数传函框图：表示信息传递关系框图中，各环节传递函数2021/9/2334 六、系统传递函数方框图六、系统传递函数方框图传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图
38、形。传递函数方框图三要素传递函数方框图三要素传递函数方框图三要素传递函数方框图三要素传递函数方框传递函数方框传递函数方框传递函数方框相加点相加点相加点相加点分支点分支点分支点分支点建立传递函数方框图的步骤建立传递函数方框图的步骤建立传递函数方框图的步骤建立传递函数方框图的步骤(1)(1)(1)(1)列写各元件微分方程列写各元件微分方程列写各元件微分方程列写各元件微分方程(2)(2)(2)(2)在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换(3)(3)(3)(3)按因果关系，
39、绘制各环节方框图按因果关系，绘制各环节方框图按因果关系，绘制各环节方框图按因果关系，绘制各环节方框图(4)(4)(4)(4)按信号流向，依次连接各环节框图左边输入，右边输按信号流向，依次连接各环节框图左边输入，右边输按信号流向，依次连接各环节框图左边输入，右边输按信号流向，依次连接各环节框图左边输入，右边输出，反馈则出，反馈则出，反馈则出，反馈则“倒流倒流倒流倒流”2021/9/2335例例例例1 1 1 1：1.1.列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：2.Laplace2.Laplace变换：变换：变换：变换：3.3.局部传递函数框图：局部传递函数框图：局部传递函数框图：
40、局部传递函数框图：4.4.系统传递函数框图：系统传递函数框图：系统传递函数框图：系统传递函数框图：2021/9/23361.1.列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：列写微分方程：2.Laplace2.Laplace变换：变换：变换：变换：例例例例2 2 2 2：2021/9/23373.3.局部传递函数框图：局部传递函数框图：局部传递函数框图：局部传递函数框图：4.4.系统传递函数框图：系统传递函数框图：系统传递函数框图：系统传递函数框图：2021/9/2338变换前后输入输出间的数学关系保持不变变换前后输入输出间的数学关系保持不变变换前后输入输出间的数学关系保持不变变换前后输入输出间的
41、数学关系保持不变1.1.1.1.串联环节的等效规则：串联环节的等效规则：串联环节的等效规则：串联环节的等效规则：七、传递函数方框图的等效简化七、传递函数方框图的等效简化2.2.2.2.并联环节的等效规则：并联环节的等效规则：并联环节的等效规则：并联环节的等效规则：2021/9/23393.3.3.3.反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则前向通道传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数反馈通道传递函数反馈通道传递函数反馈通道传递函数反馈通道传递函数以反馈量以反馈量以反馈量以反馈量B B B B(s s s s)为输出的开环传递函数为输出
42、的开环传递函数为输出的开环传递函数为输出的开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数 反馈回路闭合后反馈回路闭合后反馈回路闭合后反馈回路闭合后2021/9/23403.3.3.3.反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则特别地，若特别地，若特别地，若特别地，若HH(s s)=1)=1，则为单位反馈，则为单位反馈，则为单位反馈，则为单位反馈注意：注意：注意：注意：前向通道传递函数、反馈通道前向通道传递函数、反馈通道前向通道传递函数、反馈通道前向通道传递函数、反馈通道传递函数传递函数传递函数传递函数、开环、开环、开环、开环传递函数传递函数传
43、递函数传递函数均为局部传递函数；均为局部传递函数；均为局部传递函数；均为局部传递函数；闭环传递函数才是系统传递函数闭环传递函数才是系统传递函数闭环传递函数才是系统传递函数闭环传递函数才是系统传递函数2021/9/23414.4.4.4.分支点的移动规则分支点的移动规则分支点的移动规则分支点的移动规则2021/9/23425.5.5.5.相加点的移动规则相加点的移动规则相加点的移动规则相加点的移动规则2021/9/23436.6.6.6.相邻相加点的移动规则：相邻相加点的移动规则：相邻相加点的移动规则：相邻相加点的移动规则：7.7.7.7.相邻分支点的移动规则：相邻分支点的移动规则：相邻分支点的
44、移动规则：相邻分支点的移动规则：2021/9/2344例例例例1 1 1 1：简化步骤：简化步骤：消除交叉回路，对嵌套回路，从里到外逐步化简消除交叉回路，对嵌套回路，从里到外逐步化简2021/9/23452021/9/2346例例例例2 2 2 2：2021/9/2347 2021/9/2348一条前向通道：一条前向通道：一条前向通道：一条前向通道：各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框G GG G2 2 2 2反馈反馈反馈反馈回路回路回路回路 L1:L1:L1:L1:L2:L2:L2:L2:L3:L3:L3:L3:20
45、21/9/2349各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框G GG G2 2 2 2一条前向通道：一条前向通道：一条前向通道：一条前向通道：反馈反馈反馈反馈回路回路回路回路 L1:L1:L1:L1:L2:L2:L2:L2:L3:L3:L3:L3:梅逊公式：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：梅逊公式：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：梅逊公式：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：梅逊公式：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：1)1)1)1)只有一条前向通道；只有一条
46、前向通道；只有一条前向通道；只有一条前向通道；2)2)2)2)各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。则：系统传递函数可简化成则：系统传递函数可简化成则：系统传递函数可简化成则：系统传递函数可简化成2021/9/2350例例例例3 3 3 3：2021/9/2351八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数只考虑给定输入时：只考虑给定输入时：只考虑给定输入时：只考虑给定输入时：只考虑干扰输入时：只考虑干扰输入时：只考虑干扰输入时：只考虑干扰输入时：线性系
47、统总的输出量：线性系统总的输出量：线性系统总的输出量：线性系统总的输出量：2021/9/2352结论：结论：结论：结论：1.1.1.1.闭环系统可抑制干扰的幅度。闭环系统可抑制干扰的幅度。闭环系统可抑制干扰的幅度。闭环系统可抑制干扰的幅度。2.2.2.2.闭环系统输入、输出取法不同，则传递函数不同，但传递闭环系统输入、输出取法不同，则传递函数不同，但传递闭环系统输入、输出取法不同，则传递函数不同，但传递闭环系统输入、输出取法不同，则传递函数不同，但传递函数分母不变，而开环系统却不然。函数分母不变，而开环系统却不然。函数分母不变，而开环系统却不然。函数分母不变，而开环系统却不然。系统总的输出量：
48、系统总的输出量：系统总的输出量：系统总的输出量：极小值极小值极小值极小值2021/9/2353例例例例1 1 1 1 已知已知已知已知RLCRLCRLCRLC电路，确定电路电路，确定电路电路，确定电路电路，确定电路 的状态变量和状态方程的状态变量和状态方程的状态变量和状态方程的状态变量和状态方程解：微分方程解：微分方程解：微分方程解：微分方程 模型模型模型模型选选选选i i和和和和u uc c为状态变量为状态变量为状态变量为状态变量状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式九、九、状态
49、空间模型状态空间模型2021/9/2354状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式输出方程输出方程输出方程输出方程矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式状态向量状态向量状态空间：由状态空间：由状态空间：由状态空间：由x x1 1轴、轴、轴、轴、x x2 2轴轴轴轴 x xn n轴组成的轴组成的轴组成的轴组成的n n维空间。维空间。维空间。维空间。系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。系统任一时刻状态可用
50、状态空间中的一点表示。状态向量状态向量状态向量状态向量Y Y2021/9/2355输入量输入量输入量输入量 u un n维状态向量维状态向量维状态向量维状态向量X X输出向量输出向量输出向量输出向量 Y Y系统矩阵系统矩阵系统矩阵系统矩阵n n n n控制矩阵控制矩阵控制矩阵控制矩阵n n11输出矩阵输出矩阵输出矩阵输出矩阵11n n传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵11112021/9/2356微分方程微分方程微分方程微分方程描述系统的描述系统的描述系统的描述系统的数学模型数学模型数学模型数学模型传递函数传递函数传递函数传递函数状态空间状态空间状态空间状态空间必有内在的一致性必有内在的一致性必