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1、第二节定积分在几何上的应用本讲稿第一页，共七十五页xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形面积平面图形面积本讲稿第二页，共七十五页图形区域为：图形区域为：情形1：X型型:垂直于垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最多交轴的直线穿过区域，与边界最多交两点，上下交点始终在固定曲线上两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹在两直线且区域被夹在两直线中间中间.则面积则面积本讲稿第三页，共七十五页图形区域为：图形区域为：Y型型:穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不轴的直线与区域边界相交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两多于两个交点
2、，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线中间直线中间.情形2：则面积则面积本讲稿第四页，共七十五页若图形区域如图，既不是若图形区域如图，既不是X-型，又不是型，又不是Y-型型利用面积可加性利用面积可加性则必须分割则必须分割.情形3：本讲稿第五页，共七十五页例例1计算由计算由和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.本讲稿第六页，共七十五页本讲稿第七页，共七十五页例例3 计算由曲线计算由曲线和和所围成的所围成的图形的面积图形的面积.本讲稿第八页，共七十五页xyo33l1l2例例4本讲稿第九页，共七十五页参数方程情形参数方程情形如果曲边梯形的曲边表达为参数方程如果曲边梯形的曲边表达为参数方程
3、:其中其中,在在上上具有连续导数具有连续导数,连续连续.则曲边梯形的面积可表达为则曲边梯形的面积可表达为其中其中和和对应曲线起点与终点的参数值对应曲线起点与终点的参数值.本讲稿第十页，共七十五页例例5求椭圆求椭圆的面积的面积.本讲稿第十一页，共七十五页xa圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。介绍：介绍：旋轮线（摆线）旋轮线（摆线）一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，本讲稿第十二页，共七十五页2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a.
4、本讲稿第十三页，共七十五页0 xyx+y+a=0曲线关于曲线关于 y=x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形形线线本讲稿第十四页，共七十五页xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：星形线星形线本讲稿第十五页，共七十五页xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.星形线星形线本讲稿第十六页，共七十五页xyoa a0 2 或或.P.一
5、圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.星形线星形线本讲稿第十七页，共七十五页()d o +d r=()元素法元素法1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ,以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：dSS3 作定积分作定积分r 极坐标系情形极坐标系情形本讲稿第十八页，共七十五页xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：心形线心形线本讲
6、稿第十九页，共七十五页xyoa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线a本讲稿第二十页，共七十五页xyoaa2a一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线本讲稿第二十一页，共七十五页xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.心形线心形线本讲稿第二十二页，共七十五页0 xyPr
7、.距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程 双双纽纽纽纽线线本讲稿第二十三页，共七十五页0rr=a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线 阿基米德螺线阿基米德螺线本讲稿第二十四页，共七十五页0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 本讲稿第二十五页
8、，共七十五页0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 本讲稿第二十六页，共七十五页r这里这里 从从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线阿基米德螺线本讲稿第二十七页，共七十五页0r8当当 从从 0 r=a.阿基米德螺线阿基米德螺线本讲稿第二十八页，共七十五页r0.这里这里 从从 0+8a.双曲螺线双曲螺线本
9、讲稿第二十九页，共七十五页r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线双曲螺线本讲稿第三十页，共七十五页例例6求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面图形的面积.本讲稿第三十一页，共七十五页例例7求心形线求心形线所围平面图形的面积所围平面图形的面积本讲稿第三十二页，共七十五页xyo2 =1+cos 3r =3cos S S例例8本讲稿第三十三页，共七十五页.10 xy.例例9本讲稿第三十四页，共七十五页求由求由双纽线双纽线0 xya内部的面积。内部的面积。例例10本讲稿第三十五页，共七十五页 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫
10、做旋转轴线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体的体积旋转体的体积空间立体的体积空间立体的体积本讲稿第三十六页，共七十五页xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转求旋转体体积求旋转体体积本讲稿第三十七页，共七十五页xf(x)abx.曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转 求旋转体体积求旋转体体积V=x+dx本讲稿第三十八页，共七十五页例例1连接坐标原点连接坐标原点及点及点的直线、的直线、直线直线及及轴围成一个轴围成一个直角三角形直角三角形.将它绕将它绕轴旋转构成轴旋
11、转构成一个半径为一个半径为高为高为 的的圆锥体圆锥体,计算圆锥体的计算圆锥体的体积体积.本讲稿第三十九页，共七十五页例例2计算则由椭圆计算则由椭圆围成的平面图形围成的平面图形绕绕轴旋转而成的旋转椭球体的轴旋转而成的旋转椭球体的体积体积.本讲稿第四十页，共七十五页例例3 求星形线求星形线所围的图形所围的图形绕绕轴旋转而成的旋转体的轴旋转而成的旋转体的体积体积.本讲稿第四十一页，共七十五页例例4本讲稿第四十二页，共七十五页abf(x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdx本讲稿第四十三页，共七十五页xabyx0内表
12、面积内表面积.dx.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法本讲稿第四十四页，共七十五页byx0a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)本讲稿第四十五页，共七十五页byx0a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)本讲稿第四十六页，共七十五页0y0 xbxadx.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(
13、x)本讲稿第四十七页，共七十五页f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dx本讲稿第四十八页，共七十五页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴 求旋转体体积求旋转体体积本讲稿第四十九页，共七十五页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴.求旋转体体积求旋转体体积本讲稿第五十页，共七十五页x=g(y)yx0cdy.曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴本讲稿第五十一页，共七十五
14、页例例5所围的图形所围的图形求曲线求曲线旋转而成旋转体的旋转而成旋转体的体积体积.绕绕轴轴本讲稿第五十二页，共七十五页例例6求由曲线求由曲线旋转而成旋转体的旋转而成旋转体的体积体积.所围的图形所围的图形及及绕直线绕直线本讲稿第五十三页，共七十五页xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b本讲稿第五十四页，共七十五页半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。R ox
15、y例例7 7本讲稿第五十五页，共七十五页oyRxRR.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。例例7 7本讲稿第五十六页，共七十五页oyRxxyRRy tan (x,y),.例例7 7半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。本讲稿第五十七页，共七十五页oyRxRRABCD (x,y)S(y).例例7 7半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱
16、体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。本讲稿第五十八页，共七十五页 hRxoyR 求以半径为求以半径为R R的圆为底，平行且等于底圆直径的的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为线段为顶，高为h h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。例例8 8本讲稿第五十九页，共七十五页 hRxoxA(x).Ry.y例例8 8 求以半径为求以半径为R R的圆为底，平行且等于底圆直径的的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为线段为顶，高为h h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。本讲稿第六十页，共七十五页x=g(y)yx0cdyx0 x=
17、g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转 求旋转体侧面积求旋转体侧面积A本讲稿第六十一页，共七十五页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线的弧微分是曲线的弧微分).故旋转体侧面积故旋转体侧面积 求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ads本讲稿第六十二页，共七十五页1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念平面曲线的弧长平面曲线的弧长本讲稿第六十三页，共七十五页定理定理 光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的。简介简介 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线
18、。移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。本讲稿第六十四页，共七十五页就是弧长元素就是弧长元素弧长弧长2 2 直角坐标情形直角坐标情形由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知本讲稿第六十五页，共七十五页例例1弧弧的长度的长度.相应于相应于 从从到到 的一段的一段计算曲线计算曲线上上本讲稿第六十六页，共七十五页例例2两根电线杆之间两根电线杆之间的电线的电线,由于其本身的由于其本身的重量重量,垂成垂成曲线形曲线形.这样的曲线叫这样的曲线叫悬链线悬链线.适当选取坐标系适当选取坐标系后后,悬链线的方程为悬链线的方程为其中其中为为常数常数.悬链线上悬链线上下下计算计算与与之间一段弧之间一段弧的长度的
19、长度.介于介于本讲稿第六十七页，共七十五页参数方程情形参数方程情形设曲线弧为设曲线弧为其中其中在在上具有连续导数上具有连续导数.弧长弧长本讲稿第六十八页，共七十五页例例3求圆求圆的的周长周长.本讲稿第六十九页，共七十五页例例4 4 计算曲线（星形线）计算曲线（星形线）的的全长全长.本讲稿第七十页，共七十五页例例5求摆线求摆线一支一支的弧的弧长长.本讲稿第七十一页，共七十五页例例6证明正弦线证明正弦线的弧长等的弧长等于于椭圆椭圆的的周长周长.本讲稿第七十二页，共七十五页极坐标情形极坐标情形设曲线弧方程为设曲线弧方程为其中其中在在上具有连续导数上具有连续导数.弧长弧长本讲稿第七十三页，共七十五页例例7求极坐标系下求极坐标系下曲线曲线的的长长.本讲稿第七十四页，共七十五页例例8求心形线求心形线的全的全长长.本讲稿第七十五页，共七十五页