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1、第二节定积分在几何上的应用第1页，本讲稿共75页xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形面积平面图形面积第2页，本讲稿共75页图形区域为：图形区域为：情形1：X型型:垂直于垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最多轴的直线穿过区域，与边界最多交两点，上下交点始终在固定曲线上交两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹在两且区域被夹在两直线中间直线中间.则面积则面积第3页，本讲稿共75页图形区域为：图形区域为：Y型型:穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多轴的直线与区域边界相交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线于两个交点，
2、左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线中间中间.情形2：则面积则面积第4页，本讲稿共75页若图形区域如图，既不是若图形区域如图，既不是X-型，又不是型，又不是Y-型型利用面积可加性利用面积可加性则必须分割则必须分割.情形3：第5页，本讲稿共75页例1 计算由和所围成的图形的面积.第6页，本讲稿共75页第7页，本讲稿共75页例3 计算由曲线和所围成的图形的面积.第8页，本讲稿共75页xyo33l1l2例4第9页，本讲稿共75页参数方程情形参数方程情形如果曲边梯形的曲边表达为参数方程如果曲边梯形的曲边表达为参数方程:其中其中,在上具有连续导数,连续.则曲边梯形的面积可表达为则曲边梯形的面积可
3、表达为其中和对应曲线起点与终点的参数值.第10页，本讲稿共75页例5 求椭圆的面积.第11页，本讲稿共75页xa圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。介绍：介绍：旋轮线（摆线）旋轮线（摆线）一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，第12页，本讲稿共75页2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a.第13页，本讲稿共75页0 xyx+y+a=0曲线关于曲线关于 y=x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶
4、形形线线第14页，本讲稿共75页xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：星形线星形线第15页，本讲稿共75页xyoa a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。来看动点的慢动作.星形线第16页，本讲稿共75页xyoa a0 2 或或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线第17页，本讲稿共75页()d o +d r=()元素法元素法1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ,以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似
5、小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：dSS3 作定积分作定积分r 极坐标系情形第18页，本讲稿共75页xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。介绍：介绍：心形线心形线第19页，本讲稿共75页xyoa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线a第20页，本讲稿共75页xyoaa2a一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线第21页，本讲稿共75页xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动
6、圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线第22页，本讲稿共75页0 xyPr.距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程 双双纽纽纽纽线线第23页，本讲稿共75页0rr=a曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线 阿基米德螺线阿基米德螺线第24页，本讲稿共75页0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线.阿基米德螺线r=a第25页，本讲稿共75页0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在
7、射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.阿基米德螺线r=a第26页，本讲稿共75页r这里这里 从从 0+8r=a02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线第27页，本讲稿共75页0r8当当 从从 0 r=a.阿基米德螺线第28页，本讲稿共75页r0.这里这里 从从 0+8a.双曲螺线双曲螺线第29页，本讲稿共75页r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线第30页，本讲稿共75页例6 求双纽线所围平面图形的面积.第31页，本讲稿共75页例7 求心形线所围平面图形的面积第32页，本讲稿共7
8、5页xyo2 =1+cos 3r =3cos S S例8第33页，本讲稿共75页.10 xy.例9第34页，本讲稿共75页求由双纽线0 xya内部的面积。例10第35页，本讲稿共75页 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体的体积旋转体的体积空间立体的体积第36页，本讲稿共75页xf(x)ab 曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转求旋转体体积求旋转体体积第37页，本讲稿共75页xf(x)abx.曲边梯形：y=f(x)，x
9、=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转 求旋转体体积V=x+dx第38页，本讲稿共75页例1 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形.将它绕轴旋转构成一个半径为高为 的圆锥体,计算圆锥体的体积.第39页，本讲稿共75页例2 计算则由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.第40页，本讲稿共75页例3 求星形线所围的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.第41页，本讲稿共75页例4第42页，本讲稿共75页abf(x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴xdx第43页，本讲稿共75页xabyx0内表面积内表面积.dx
10、.曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法第44页，本讲稿共75页byx0a.曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第45页，本讲稿共75页byx0a.曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第46页，本讲稿共75页0y0 xbxadx.曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dxf(x)第47页，本讲稿共75页f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形 y=f(
11、x)，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f(x)dx第48页，本讲稿共75页x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴 求旋转体体积求旋转体体积第49页，本讲稿共75页x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴.求旋转体体积第50页，本讲稿共75页x=g(y)yx0cdy.曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕 y轴第51页，本讲稿共75页例5所围的图形求曲线旋转而成旋转体的体积.绕轴第52页，本讲稿共75页例6 求由曲线旋转而成旋转体的体积.所围的图形及绕直线第53页，本讲稿共75页xA(x)d
12、V=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b第54页，本讲稿共75页半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。R oxy例7第55页，本讲稿共75页oyRxRR.半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。例7第56页，本讲稿共75页oyRxxyRRy tan (x,y),.例7半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。第57页，本讲稿共75页oyRxRRABCD (x,y)S(y)
13、.例7半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。第58页，本讲稿共75页 hRxoyR 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。例8第59页，本讲稿共75页 hRxoxA(x).Ry.y例8 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。第60页，本讲稿共75页x=g(y)yx0cdyx0 x=g(y)绕 y 轴旋转 求旋转体侧面积A第61页，本讲稿共75页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕 y 轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线的弧微分是曲线的弧微分).故旋转体侧面积故旋转体侧
14、面积 求旋转体侧面积Ads第62页，本讲稿共75页1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念平面曲线的弧长第63页，本讲稿共75页定理 光滑曲线弧是可求长的。简介简介 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。第64页，本讲稿共75页就是弧长元素就是弧长元素弧长弧长2 2 直角坐标情形直角坐标情形由第三章的弧微分公式知由第三章的弧微分公式知第65页，本讲稿共75页例1弧的长度.相应于 从到 的一段计算曲线上第66页，本讲稿共75页例2 两根电线杆之间的电线,
15、由于其本身的重量,垂成曲线形.这样的曲线叫悬链线.适当选取坐标系后,悬链线的方程为其中为常数.悬链线上下计算与之间一段弧的长度.介于第67页，本讲稿共75页参数方程情形参数方程情形设曲线弧为设曲线弧为其中在上具有连续导数.弧长弧长第68页，本讲稿共75页例3求圆的周长.第69页，本讲稿共75页例4 计算曲线（星形线）的全长.第70页，本讲稿共75页例5 求摆线一支的弧长.第71页，本讲稿共75页例6 证明正弦线的弧长等于椭圆的周长.第72页，本讲稿共75页极坐标情形极坐标情形设曲线弧方程为设曲线弧方程为其中在上具有连续导数.弧长弧长第73页，本讲稿共75页例7 求极坐标系下曲线的长.第74页，本讲稿共75页例8 求心形线的全长.第75页，本讲稿共75页