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1、第三章平面问题的有限单元法第1页，共121页，编辑于2022年，星期二 求解弹性力学问题，就是在一定边界条件下，求求解弹性力学问题，就是在一定边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组，解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组，得出应力、应变和位移的函数式解答。得出应力、应变和位移的函数式解答。对于工程实际问题，由于物体的形状和受力情况等比对于工程实际问题，由于物体的形状和受力情况等比较复杂，往往难以求出函数式的解答。为此，在弹性力较复杂，往往难以求出函数式的解答。为此，在弹性力学中建立了三种数值解法，即变分法、差分法和有限单学中建立了三种数值解法，即变分法、差分法和有
2、限单元法。特别是近半个世纪发展起来的有限单元法，应用元法。特别是近半个世纪发展起来的有限单元法，应用计算机进行计算，能够有效地解决各种工程实际问题，计算机进行计算，能够有效地解决各种工程实际问题，并达到所需要的精度。现在，有限单元法已广泛地应用并达到所需要的精度。现在，有限单元法已广泛地应用于各种工程结构的分析。于各种工程结构的分析。有限单元法的作用：有限单元法的作用：第2页，共121页，编辑于2022年，星期二3.1 基本方程的矩阵表示基本方程的矩阵表示一一、基本方程的矩阵表示、基本方程的矩阵表示 在有限单元法中，采用矩阵表示和矩阵运算在有限单元法中，采用矩阵表示和矩阵运算的方法。因为，用矩
3、阵表示公式，可以使同一类的方法。因为，用矩阵表示公式，可以使同一类公式统一为一个矩阵公式，且便于运算和编制程公式统一为一个矩阵公式，且便于运算和编制程序。序。在平面问题中，不论是平面应力问题还是平面在平面问题中，不论是平面应力问题还是平面应变问题，物体所受的体力只有应变问题，物体所受的体力只有X和和Y两个分量，两个分量，可用体力列阵表示为：可用体力列阵表示为：R=第3页，共121页，编辑于2022年，星期二同样，物体所受的面力也只有同样，物体所受的面力也只有 和和 两个分量，两个分量，可用面力列阵表示为：可用面力列阵表示为：R=与此相似，与此相似，3个应力分量可用应力列阵表示为：个应力分量可用
4、应力列阵表示为：3个形变分量可用应变列阵表示：个形变分量可用应变列阵表示：第4页，共121页，编辑于2022年，星期二2个位移分量可用位移列阵表示为：个位移分量可用位移列阵表示为：U=（）T现在把本章中要用到的几个基本方程用矩阵来表现在把本章中要用到的几个基本方程用矩阵来表示。示。几何方程表示：几何方程表示：平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程：简写为：简写为：第5页，共121页，编辑于2022年，星期二xy为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型二、有限元法解题的基本步骤二、有限元法解题的基本步骤1.力学模型的分析力学模型的分析（平面问题，平面应变问
5、题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）例如：第6页，共121页，编辑于2022年，星期二根据题目的要求，可选择适当的单元进行结构离散化。对于平面问根据题目的要求，可选择适当的单元进行结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。题可用三角元，四边元等。2.单元的选取、结构的离散化单元的选取、结构的离散化例如：第7页，共121页，编辑于2022年，星期二结构离散化后，要用单元结构离散化后，要用单元结点结点的位移通过插值来获得单元内的位移通过插值来获得单元内各各点点的位移。的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项在有限元法中，通常都是假定单元的
6、位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。元的类型而定。3.选择单元的位移模式选择单元的位移模式（3-1）单元内任一点的位移列阵；单元的结点位移列阵；单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）第8页，共121页，编辑于2022年，星期二4.单元的力学特性分析单元的力学特性分析把（3-1）式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示的单元应变表达式：（3-2）式中
7、：单元内任一点应变列阵；单元的应变转换矩阵；（它的元素仍为位置坐标的函数）再把（）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：（3-3）第9页，共121页，编辑于2022年，星期二最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力列阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：式中：单元内任一点的应力列阵；单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）式中：单元刚度矩阵（3-4）（3-5）第10页，共121页，编辑于2022年，星期二考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（3-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组
8、集成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：（3-6）解出整体结构的结点位移列阵后，再根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（3-3）式就可求出各单元的应力分量值。5.建立整体结构的刚度方程建立整体结构的刚度方程6.求解修改后的整体结构刚度方程求解修改后的整体结构刚度方程7.由单元的结点位移列阵计算单元应力由单元的结点位移列阵计算单元应力第11页，共121页，编辑于2022年，星期二求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。8.计算结果输出计算结果输出返回返回返
9、回返回第12页，共121页，编辑于2022年，星期二3.2 单元位移模式单元位移模式一、离散化一、离散化 将连续体用假想的线或面分割成有限个部将连续体用假想的线或面分割成有限个部 分，各部分之间用有限个点相连。分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。三角形网格划分三角形网格划分结点力：结点力：单元结点力：单元结点力：结点位移：结点位移：单元结点位移：单元结点位移：第13页，共121页，编辑于2022年，星期二弹性体和有限元计算模型弹性体和有限元计算模型第14页，共121页，编辑于2022年，星期二从从弹弹性性力力学学平平面面问问
10、题题的的解解析析解解法法中中可可知知，如如果果弹弹性性体体内内的的位位移移分分量量函函数数已已知知，则则应应变变分分量量和和应应力力分分量量也也就就确确定定了了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个
11、单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。第15页，共121页，编辑于2022年，星期二二、简单三角形单元的位移模式二、简单三角形单元的位移模式单元位移模式：有限元分析中，将结构离散为许多小单单元位移模式：有限元分析中，将结构离散为许多小单元的集合体，用较简单的函数来描述单元内各点位移的元的集合体，用较简单的函数来描述单元内各点位移的变化规律。（变化规律。（P24P24）简单三角形单元（三结点三角形单元）特点：简单三角形单元
12、（三结点三角形单元）特点：边界适应性强；计算精度较低。边界适应性强；计算精度较低。第16页，共121页，编辑于2022年，星期二式中式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数个自由度，且位移函数u、v在三个结点处的数值应该等在三个结点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设结点于这些点处的位移分量的数值。假设结点i、j、m的坐的坐标分别为（标分别为（xi ,yi）、（）、（xj ,yj）、（）、（xm ,ym），代），代入入 上上 式，得：式，得：用克莱姆法则，由用克莱姆法则，由 上式方程可以求得：上式方程可以求得：第17页，共121
13、页，编辑于2022年，星期二其中:从解析几何可知，式中的从解析几何可知，式中的A就是三角就是三角形形i、j、m的面积。为保证求得的面积为的面积。为保证求得的面积为正值，结点正值，结点i、j、m的编排次序必须是的编排次序必须是逆时针方向，如右图所示。逆时针方向，如右图所示。第18页，共121页，编辑于2022年，星期二并将并将 1、2、6代入代入(3-1)式的位移模式，经整理后得到式的位移模式，经整理后得到：（i,j,m轮换）(3-5)第19页，共121页，编辑于2022年，星期二N 形函数矩阵若令这样，位移模式这样，位移模式就可以写为就可以写为（i,j,m轮换）(3-9)式中式中I是二阶单位矩
14、阵；是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵N叫做形叫做形函数矩阵。三结点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直函数矩阵。三结点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共结点处保持位移相等。则线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共结点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。公共边线变形后仍为密合。=+=+=iikkjjiiiikkjjiivNvmNmvNvNvuNum
15、NmuNuNu e ekjiNINmININvu u=第20页，共121页，编辑于2022年，星期二三三三三形函数的性质形函数的性质形函数的性质形函数的性质在上式中，提出了形函数的概念，即在上式中，提出了形函数的概念，即其中（i,j,m轮换）现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：返回返回返回返回第21页，共121页，编辑于2022年，星期二1.在单元的任一点上，三个形函数之和等于在单元的任一点上，三个形函数之和等于1，即，即简记为(3-11)这说明，三个形函数中只有二个是独立的。()()()()()()()N x
16、yNxyNxyab xc yab xc yab xc yaaabbb xccc yijmiiijjjmmmijmijmijm,+=+=+=12121AA将P25式3-5代入第22页，共121页，编辑于2022年，星期二2.形函数在各单元结点上的值，具有形函数在各单元结点上的值，具有“本点是本点是1、它点、它点为零为零”的性质，即的性质，即在结点i上，在结点j、m上，(a)(b)(c)类似地有(d)()()Nxyab xc yiiiiiiii,=+=121A第23页，共121页，编辑于2022年，星期二三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端
17、节点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如，在点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如，在i j 边上，边上，有有第24页，共121页，编辑于2022年，星期二事实上，因i j 边的直线方程方程为(a)代入P26（3-9）式中的Nm (x,y)和Nj (x,y)，有(b)(c)返回返回返回返回第25页，共121页，编辑于2022年，星期二故有(d)另外，由性质1可以求得(e)利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。返回返回返回返回第26页，共121页，编辑于2022年，星期二形函数的性质小结：形函数的性质小结：0),(=yxNk第27页，共121页
18、，编辑于2022年，星期二例：如图所示为三角形单元，求其形函数矩阵例：如图所示为三角形单元，求其形函数矩阵N。（0，0）（0，a）（a，0）oyxijm第28页，共121页，编辑于2022年，星期二位移模式必须能包含单元的常应变。位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即位位移移模模式式必必须须包包含含单单元元的的刚刚体体位位移移。也就是说，当结点位移是由某个刚体位移所引起时，弹
19、性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如，在3-2节的位移模式(b)中，常数项1、4就是用于提供刚体位移的。四四位移模式的收敛性位移模式的收敛性第29页，共121页，编辑于2022年，星期二位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，就
20、可以保证位移的协调性。当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然，在前面的位移模式(b)中，与2、3、5、6有关的线性项就是提供单元中的常应变的。第30页，共121页，编辑于2022年，星期二1 1、位移模式必须包含单元的、位移模式必须包含单元的刚体位移刚体位移满足条件满足条件1 1、2 2的的单元为单元为完备单元完备单元2 2、位移模式必须能包含单元的、位移模式必须能包含单元的常应变常应变3 3、位移模式在单元内要、位移模式在单元内要连续连续、并使相邻单元间的位移必须、并使相邻单元间的位移必须协调协调满
21、足条件满足条件3 3的的单元为单元为协调单元协调单元位移模式收敛性小结：位移模式收敛性小结：第31页，共121页，编辑于2022年，星期二上节内容回顾：上节内容回顾：三结点三角形单元位移模式：三结点三角形单元位移模式：如果结点位移已知，位移模式：如果结点位移已知，位移模式：若令=+=+=iikkjjiiiikkjjiivNvmNmvNvNvuNumNmuNuNu e ekjiNINmININvu u=第32页，共121页，编辑于2022年，星期二形函数的性质（形函数的性质（3条）条）位移模式的收敛性位移模式的收敛性（3条）条）第33页，共121页，编辑于2022年，星期二一、应变矩阵一、应变矩
22、阵有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程3.2应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵由位移模式知：第34页，共121页，编辑于2022年，星期二因：第35页，共121页，编辑于2022年，星期二可简写成其中B矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式而子矩阵由于A和bi、bj、bm、ci、cj、cm等都是常量，所以矩阵B中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。（i,j,m轮换）(3-15)(3-13)(g)第36页，共121页，编辑于2022年，星期二二、应力矩阵二、应力矩阵求得应变之后，再将应变矩阵表达式式代入物理方程
23、，便可推导出以结点位移表示的应力。即(3-16)(h)(3-16)令则返回返回返回返回第37页，共121页，编辑于2022年，星期二其中S叫做应力矩阵，若写成分块形式，有对于平面应力问题，弹性矩阵D为(3-17)(i)所以，S的子矩阵可记为（i,j,m轮换）(3-19)第38页，共121页，编辑于2022年，星期二对于平面应变问题，只要将(i)式中的E换成E/1-2，换成/1-，即得到其弹性矩阵(j)（i,j,m轮换）(3-20)返回返回返回返回第39页，共121页，编辑于2022年，星期二注意到（3-7）式，则有(3-21)由（3-19）、（3-20）式不难看出，S中的诸元素都是常量，所以每
24、个单元中的应力分量也是常量。可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。返回返回返回返回第40页，共121页，编辑于2022年，星期二应变矩阵小结应变矩阵小结应力矩阵小结应力矩阵小结应变矩阵为常量，单元内应变是常数 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移却是连续的。第41页，共121页，编辑于2022年，星期二三、三、三、三、单元单元单元单元 刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵为了推导单元的结点力和结点位移之间的关系，可应用虚功原理对图3-1中的单元e
25、进行分析。单元e是在等效结点力的作用下处于平衡的，而这种结点力可采用列阵表示为：(a)假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个结点i、j、m的虚位移为 TmmjjiiTTmTjTieYXYXYXFFFF=第42页，共121页，编辑于2022年，星期二参照（3-13）式，单元内的虚应变*为于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为(d)(f)而单元内的应力在虚应变上所做的功为(g)根据虚功原理，弹性体处于平衡状态时，外力在虚位移上做的功等于应力根据虚功原理，弹性体处于平衡状态时，外力在虚位移上做的功等于应力在虚应变上所做的功。在虚应变上所做的功。第43页，共121页，编辑于2022年，星
26、期二这里我们假定单元的厚度这里我们假定单元的厚度t为常量。把（为常量。把（d）式及上式代入上式，并）式及上式代入上式，并将提到积分号的前面，则有将提到积分号的前面，则有根据虚功原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得(3-20)第44页，共121页，编辑于2022年，星期二记(3-21)则有(3-22)上式就是表征单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程，ke就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵D中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，B矩阵中的元素也是常量。当然单元的厚度也是常量时，所以（3-21）式可以简化
27、为ke=BT DBt (3-23)返回返回返回返回第45页，共121页，编辑于2022年，星期二将（3-23）式写成分块形式，即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵(3-25)其中(r=i、j、m；s=i、j、m)(3-26)第46页，共121页，编辑于2022年，星期二对于平面应变问题，只要将上式中的对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成分别换成E/1-2 和和 /1-即可。于是即可。于是(r=i、j、m；s=i、j、m)(3-27)第47页，共121页，编辑于2022年，星期二(1)单元刚度矩阵的物理意义单元刚度矩阵的物理意义 表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的结
28、点力，表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的结点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质例如子块与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质例如子块其中：上标其中：上标1表示表示X方向自由度方向自由度2表示表示Y方向自由度，后一上标代表方向自由度，后一上标代表单位位移的方向、前一上标代表单位位移引起的结点力方向如单位位移的方向、前一上标代表单位位移引起的结点力方向如 表表示示j结点产生单位水平位移时在结点产生单位水平位移时在i结点引起的水平结点力分量，结点引起的水平结点力分量，表示表示j结点产生单位水平位移时在结点产生单位水平位移时在i结点引起的竖直结点力分量，其结点引起的竖直结点力分
29、量，其余类推显然，单元的某结点某自由度产生单位位移引起的单元结点余类推显然，单元的某结点某自由度产生单位位移引起的单元结点力向量，生成单元刚度矩阵的对应列元素力向量，生成单元刚度矩阵的对应列元素 四、单元刚度矩阵的性质四、单元刚度矩阵的性质第48页，共121页，编辑于2022年，星期二(2)单元刚度矩阵为对称矩阵单元刚度矩阵为对称矩阵 由功的互等定理中的反力互等可以知道由功的互等定理中的反力互等可以知道所以【所以【K】为对称矩阵】为对称矩阵 (3)单元刚度矩阵与单元位置无关单元刚度矩阵与单元位置无关(但与方位有但与方位有关关)=第49页，共121页，编辑于2022年，星期二例：平面应力直角三角
30、形单元刚度矩阵例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵图图1-8示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为别为a、b，厚度为，厚度为h，弹性模量为，弹性模量为E，泊松比为，泊松比为，计算单，计算单元刚度矩阵。元刚度矩阵。图图1-8ijmabxy第50页，共121页，编辑于2022年，星期二第一步：计算第一步：计算bi、ci和单元和单元面积面积A。图图1-8（1-17）ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表表2-1单元结点坐标和单元结点坐标和bi、ci值（值（i、j、m）参数参数结点结点单元面
31、积单元面积:A=ab/2计算步骤计算步骤第51页，共121页，编辑于2022年，星期二第二步：求子矩阵第二步：求子矩阵由式由式(1-41），算得），算得其他从略。其他从略。第三步：形成第三步：形成k将将kii等按式等按式(1-40）组集成）组集成k。第52页，共121页，编辑于2022年，星期二(1-43a）ijmijm第53页，共121页，编辑于2022年，星期二i、j、m表示单元中表示单元中3个结点在结构系统中的编号。个结点在结构系统中的编号。当当a=b时，即等腰直角三角形单元，有时，即等腰直角三角形单元，有(1-43b）i j mijm第54页，共121页，编辑于2022年，星期二单元刚
32、度矩阵小结：单元刚度矩阵小结：注意：单元刚度矩阵的阶数注意：单元刚度矩阵的阶数第55页，共121页，编辑于2022年，星期二上节内容回顾：上节内容回顾：1.2.3.注意：两类平面问题的应力转换矩阵注意：两类平面问题的应力转换矩阵S不同。不同。单元刚度矩阵单元刚度矩阵4.第56页，共121页，编辑于2022年，星期二单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质第57页，共121页，编辑于2022年，星期二3.33.3等效结点力载荷列阵等效结点力载荷列阵等效结点力载荷列阵等效结点力载荷列阵有限单元法分析问题只采用结点载荷，作用于单元上的非结点有限单元法分析问题只采用结点载荷，作用于
33、单元上的非结点载荷都必须移置为等效结点载荷。只要移置遵循载荷都必须移置为等效结点载荷。只要移置遵循静力等效原则静力等效原则。就。就只会对应力分布产生局部影响，且随着单元的细分，影响会逐步降低。只会对应力分布产生局部影响，且随着单元的细分，影响会逐步降低。所谓静力等效，就是原载荷与等效结点载荷在虚位移上所作的虚功相所谓静力等效，就是原载荷与等效结点载荷在虚位移上所作的虚功相等。等。先讨论集中力的移置，然后讨论分布力的移置。先讨论集中力的移置，然后讨论分布力的移置。第58页，共121页，编辑于2022年，星期二按弹性体静力等效原理按弹性体静力等效原理虚功原理移置单元载荷。虚功原理移置单元载荷。集中
34、力的等效载荷列阵集中力的等效载荷列阵Fy0 xijm集中力（原结构上的载荷）集中力：集中力：等效结点力阵：等效结点力阵：第59页，共121页，编辑于2022年，星期二单元结点的虚位移为：单元内力作用点M处的虚位移为：根据虚功原理解：由：ecccNvuu*=*第60页，共121页，编辑于2022年，星期二即：其中：为形函数在集中力作用点处的值。3-27第61页，共121页，编辑于2022年，星期二y0 xijm设在单元ijk上受有分布体力。取微元体，则此微元体可看成一个集中力：体力等效结点力：由（3-27）式，并对三角形单元体积积分，即可得到体力位置到结点上的等效结点力列阵：2.体积力的等效载荷
35、列阵体积力的等效载荷列阵R第62页，共121页，编辑于2022年，星期二3、面力的移置：、面力的移置：设在单元的某一个边界上作用有分布的面力设在单元的某一个边界上作用有分布的面力,单位面积上的面力单位面积上的面力为为PX Y，在此边界上取微面积，在此边界上取微面积tds，将微面积上的面力视为集，将微面积上的面力视为集中载荷，利用中载荷，利用(327)式，对整个边界面积分，得到式，对整个边界面积分，得到:第63页，共121页，编辑于2022年，星期二4、特殊载荷的移置：y0 xijm已知在ij边受有面力q，则移置到i、j结点上的等效结点力为：y0 xijm当某一边上有三角形分布的面力时，可由刚体
36、静力等效直接写出第64页，共121页，编辑于2022年，星期二如果任意三角形单元ijk的重心c上受有自重则按刚体静力等效原理可把W直接移置到i，j，m三个结点上而组成：第65页，共121页，编辑于2022年，星期二等效结点力、载荷列阵小结等效结点力、载荷列阵小结第66页，共121页，编辑于2022年，星期二例例:图示三角形单元的图示三角形单元的i j mi j m的的jmjm边上作用有如图所示线性均匀边上作用有如图所示线性均匀分布面载荷，三角形单元厚度为分布面载荷，三角形单元厚度为t t，求结点载荷向量。，求结点载荷向量。解：运用叠加原理 三角形单元jm边长度为：Xm(5,6)j(6,3)i(
37、2,2)q1q2OY第67页，共121页，编辑于2022年，星期二习 题1、设有三角形单元设有三角形单元ijm受自重作用，容重受自重作用，容重为为Pg。求出其等效结点载荷。求出其等效结点载荷。2设有：三角形单元设有：三角形单元ijm的的ij边受线性分布边受线性分布的法向压力作用，的法向压力作用，ij两点的压力分别为两点的压力分别为Pi和和Pj试求其等效结点载荷。试求其等效结点载荷。第68页，共121页，编辑于2022年，星期二3.4整体刚度矩阵整体刚度矩阵讨讨论论了了单单元元的的力力学学特特性性之之后后，就就可可转转入入结结构构的的整整体体分分析析。假假设设弹弹性性体体被被划划分分为为N个个单
38、单元元和和n个个结结点点，对对每每个个单单元元按按前前述述方方法法进进行行分分析析计计算算，便便可可得得到到N组组形形如如（3-21）式式的的方方程程。将将这这些些方方程程集集合合起起来来，就就可可得得到到表表征征整整个个弹弹性性体体的的平平衡衡关关系系式式。为为此此，我我们们先先引引入入整整个个弹弹性性体体的的结结点点位位移移列列阵阵 2n1，它它是是由由各各结结点点位位移移按按结结点点号号码码以以从从小小到到大的顺序排列组成，即大的顺序排列组成，即其中子矩阵其中子矩阵(j)(i=1,2,n)(k)是结点是结点i的位移分量。的位移分量。第69页，共121页，编辑于2022年，星期二继继而而再
39、再引引入入整整个个弹弹性性体体的的载载荷荷列列阵阵R2n1，它它是是移移置置到到结结点点上的等效结点载荷依结点号码从小到大的顺序排列组成，即上的等效结点载荷依结点号码从小到大的顺序排列组成，即(l)其中子矩阵(i=1,2,n)(m)是结点是结点i上的等效结点载荷。上的等效结点载荷。第70页，共121页，编辑于2022年，星期二现现将将各各单单元元的的结结点点力力列列阵阵Re61加加以以扩扩充充，使使之之成成为为2n1阶列阵阶列阵其中，子矩阵(n)(i,j,m 轮换)(o)是单元结点是单元结点i上的等效结点力。上的等效结点力。(n)式中的省略号处的元素均为零，矩阵号上面的式中的省略号处的元素均为
40、零，矩阵号上面的i,j,m 表示在分块矩阵意义下表示在分块矩阵意义下Ri 所占的列的位置。此处假定了所占的列的位置。此处假定了i,j,m 的次序也是从小到大排列的、并且与结点号的次序也是从小到大排列的、并且与结点号第71页，共121页，编辑于2022年，星期二码的排序一致。各单元的结点力列阵经过这样的扩充之码的排序一致。各单元的结点力列阵经过这样的扩充之后就可以进行相加，把全部单元的结点力列阵叠加在一后就可以进行相加，把全部单元的结点力列阵叠加在一起，便可得到起，便可得到(l)式所表示的弹性体的载荷列阵，即式所表示的弹性体的载荷列阵，即这是由于相邻单元公共边内力引起的等效结点力，在叠这是由于相
41、邻单元公共边内力引起的等效结点力，在叠加过程中必然会全部相互抵消，所以只剩下载荷所引起加过程中必然会全部相互抵消，所以只剩下载荷所引起的等效结点力。的等效结点力。同样，将单元刚度矩阵的六阶方阵同样，将单元刚度矩阵的六阶方阵k加以扩充，使之加以扩充，使之成为成为2n阶的方阵阶的方阵(p)返回返回返回返回第72页，共121页，编辑于2022年，星期二(q)第73页，共121页，编辑于2022年，星期二不不难难看看出出，其其中中的的22阶阶子子矩矩阵阵ki j 将将处处于于上上式式中中的的第第i双双行行、第第j双列中。双列中。考虑到考虑到k扩充以后，除了对应的扩充以后，除了对应的i,j,m 双行和双
42、列双行和双列上的九个子矩阵之外，其余元素均为零，故（上的九个子矩阵之外，其余元素均为零，故（3-33）式）式中的单元位移列阵中的单元位移列阵 e2n1便可用整体的位移列阵便可用整体的位移列阵 2n1来替代。这样，（来替代。这样，（3-33）式可改写为）式可改写为第74页，共121页，编辑于2022年，星期二把上式对N个单元进行求和叠加，得(r)上式左边就是弹性体所有单元刚度矩阵的总和，称为弹性体的整体刚度矩阵（或简称为总刚），记为K。注意到（3-28）式，有(3-38)第75页，共121页，编辑于2022年，星期二(3-39)若写成分块矩阵的形式，则返回返回返回返回第76页，共121页，编辑于
43、2022年，星期二显然，其中的子矩阵为它是单元刚度矩阵扩充到2n2n阶之后，在同一位置上的子矩阵之和。由于(q)式中许多位置上的子矩阵都是零，所以（3-36）式不必对全部单元求和，只有当krs 的下标r=s或者属于同一个单元的结点号码时，krs 才可能不等于零，否则均为零。将（3-34）式和(p)式代入(r)式，便可得到关于结点位移的所有2n个线性方程，即K=R(3-41)(3-40)第77页，共121页，编辑于2022年，星期二123421q图3-5组装总刚k的一般规则：1.当krs中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩阵krs就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵krse的相加。2.当kr
44、s中r s时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵krse的相加。3.当 kr s中r和s不 同 属 于 任 何 单 元 时，则 总 体 刚 度 矩 阵krs=0。下面，我们考查一个组装总刚的实例：1.整体刚度矩阵及载荷列阵的组集根据叠加原理，整体结构的各个刚度矩阵的元素显然是由有关单元的单元刚度矩阵的元素组集而成的，为了便于理解，现结合图3-5说明组集过程。第78页，共121页，编辑于2022年，星期二图中有两种编码：一是结点总码：1、2、3、4；二是结点局部码，是每个单元的三个结点按逆时针方向的顺序各自编码为i，j，m。图中两个单元的局部码与总码的
45、对应关系为：单元1：i，j，m1，2，3单元2：i，j，m3，4，1或：单元1：i，j，m1，2，3单元2：i，j，m 1，3，4单元e的刚度矩阵分块形式为：123421q图3-5第79页，共121页，编辑于2022年，星期二整体刚度矩阵分块形式为：其中每个子块是按照结点总码排列的。通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚度矩阵。刚度集成法分两步进行。第一步，把单元刚度矩阵扩大成单元的贡献矩阵，使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子块填充。第二步，以单元2为例，局部码i，j，m对应于总码3，4，1，按照这个对应关系扩充后，可得出单元2的贡献矩阵。第80页，共121页，编辑
46、于2022年，星期二总码1234234mij局部码用同样的方法可得单元1的贡献矩阵。第三步，把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加，即可得出整体结构的刚度矩阵，如（3-42）式。在这里应该指出，整体刚度矩阵中每个子块为阶矩阵，所以若整体结构分为n个结点，则整体刚度矩阵的阶数是。第81页，共121页，编辑于2022年，星期二总码1234ijm（3-42）mij局部码至于整体结构的结点载荷列阵的组集，只需将各单元的等效结点力列阵扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节点位移分量的编号，对应相叠加即可 jimmjiKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKee+=24424324123423313313
47、223113112312212121421311311221111121004321第82页，共121页，编辑于2022年，星期二三三整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质由总刚度方程可知：返回返回返回返回第83页，共121页，编辑于2022年，星期二1.刚度矩阵K是一个稀疏矩阵。如果遵守一定的结点编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附近呈带状。前面在讨论总刚子矩阵的计算时曾指出，总刚中第r双行的子矩阵Krs，有很多位置上的元素都等于零，只有当第二个下标s等于r或者s与r同属于一个单元的节点号码时才不为零，这就说明，在第r双行中非零子矩阵的块数，应该等于结点r周围直接相邻的结点数目加一
48、。可见，K的元素一般都不是填满的，而是呈稀疏状（带状）。以图3-6a所示的单元网格为例，其整体刚度矩阵中的非零子块（每个子块为2行2列）的分布情况如图3-6b所示。2.带状性第84页，共121页，编辑于2022年，星期二图3-6a半带宽D=（相邻结点号的最大差值+1*2图3-6b第85页，共121页，编辑于2022年，星期二通常的有限元程序，一般都利用刚度矩阵的对称和稀疏带状的特点，在计算求解中，只存储上半带的元素，即所谓的半带存储半带存储。因此，在划分完有限元网格进行结点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中相邻两结点的号码差尽可能小，以便节省存储空间、提高计算效率。第86页，共121页
49、，编辑于2022年，星期二3.刚度矩阵K中主对角元素总是正的。例如，刚度矩阵K中的元素k33是表示结点3在x方向产生单位位移，而其它位移均为零时，在结点3的x方向上必须施加的力，很显然，力的方向应该与位移方向一致，故应为正号。4.刚度矩阵K是一个对称矩阵，即Krs=Ksr T。由（3-32）、（3-36）式得所以，可以只存储上三角或下三角矩阵。(t)返回返回返回返回第87页，共121页，编辑于2022年，星期二4.刚度矩阵K是一个奇异矩阵，弹性体在R的作用下处于平衡，R的分量应该满足三个静力平衡方程。这反映在整体刚度矩阵K中就意味着存在三个线性相关的行或列，所以K是个奇异阵，不存在逆矩阵。因代
50、入（3-30）得(u)返回返回返回返回第88页，共121页，编辑于2022年，星期二上式左乘T，并注意到(3-13)式，在集合过程中将B扩充到32n阶后，有B32n e2n 1=B3 2n 2n 1，故(v)由于弹性矩阵D是正定的，且t和都是正的，所以只有当每个单元中都有=0时，才有否则也就是说，当排除了弹性体的刚体位移=0之后，若 0，则二次型 TK 恒大于零，于是K必定为正定阵。有关排除整体刚度矩阵奇异性的方法将在后面的章节中予以讨论。返回返回返回返回第89页，共121页，编辑于2022年，星期二整体分析小结：整体分析小结：K=R(3-41)整体结点位移列阵：整体结点力列阵：整体刚度矩阵：