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1、第三章第三章 有限元法应用中的若干问题有限元法应用中的若干问题（续）（续）u有限元分析过程及位移解的下限性质u应力计算结果的性质和处理有限元的收敛条件（续）v3 3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移
2、。空间一个物体包括三个平动位移位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。v由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。v4 4）位移函数在相邻的公共边界上必须协调。位移函数在相邻的公共边界上必须协调。对一般单元而对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也就是说，要就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。保证不发生单元的相
3、互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。移的连续性。v但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。v总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。条件。v前三条又叫完备性条件，满足完备条
4、件的单元叫完备单元；前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。满足，构成收敛的充分必要条件。3.4有限元位移解的下限性质v在用有限元位移法求解弹性力学问题时在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最小要应用最小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。其值将小
5、于精确解。这种位移近似解称为下限解。v位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了元的变形进行了约束的限制约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每
6、一点）将小际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小于精确解。于精确解。第四节 应力计算结果的性质和处理v应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用应用位移元进行有限元分析时，未知的场函数是位移。利用系统的总位能系统的总位能pp（表示各单元（表示各单元e e之和）的变分得到的求解之和）的变分得到的求解方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以方程是系统的平衡方程。虽然它满足各个节点的平衡条件以及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解及各个单元和整个结构的总体平衡条件，但是从求解方程解得的则是各个节点的位移值。而得的则是各个节点的位移值。而实际工程问题所
7、需要的往往实际工程问题所需要的往往是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。是应力的分布，特别是最大应力的位置和数值。为此需要利为此需要利用以下公式由已解得的节点位移算出单元内的应力。用以下公式由已解得的节点位移算出单元内的应力。v =BaBae e =DD=D=D BaBae e va ae e为节点位移矩阵为节点位移矩阵v应变矩阵应变矩阵B B是插值函数是插值函数N N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变到的应变和应力和应力精度较位移精度较位移u u降
8、低了，即利用以上两式降低了，即利用以上两式得到的得到的和和的解答可能具有较大的误差。的解答可能具有较大的误差。应力解的近似性表现在：应力解的近似性表现在：v1 1）单元内部一般不满足平衡方程；）单元内部一般不满足平衡方程；v2 2）单元与单元的交界面上应力一般不连续；）单元与单元的交界面上应力一般不连续；v3 3）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。）在力的边界上一般也不满足力的边界条件。v这是因为平衡方程式和力的边界条件以及单元交界面上内力的连续条件是泛函p的欧拉方程，只有在位移变分完全任意的情况下，欧拉方程才能精确的满足。v在有限元方法中，只有当单元尺寸趋于零时，即自由度数趋于无穷大时，
9、才能精确的满足平衡方程和力的边界条件以及单元交界面上力的连续条件。v当单元尺寸限制时，即自由度数为有限时，这些方程只能是近似的满足。除非实际应力变化的阶次等于或低于所采用单元的应力阶次，得到的只能是近似的解答。因此，如何从有限元的位移解得到较好的应力解，就成为需要研究和解决的问题。4.1应力近似解的性质v我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能。变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解
10、因此，得到的位移解总体上偏小。总体上偏小。v分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。4.2单元平均或节点平均v最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值
11、。元应力的平均值。v1.1.取相邻单元应力的平均值取相邻单元应力的平均值v这种方法最常用于这种方法最常用于3 3节点三角形单元中。这种最简单而又相节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。v如如2
12、 2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，v即平均应力即平均应力=（单元（单元1 1的应力的应力+单元单元2 2的应力）的应力）/2/2。v也可以采用精确一些的面积加权平均，也可以采用精确一些的面积加权平均，v即平均应力即平均应力=单元单元1 1应力应力 单元单元1 1的面积的面积+单元单元2 2应力应力 单元单元2 2面积面积/（单元（单元1 1面积面积+单元单元2 2面积）面积）v当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的元划分时应
13、避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。误差相近。v一般而言，一般而言，3 3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有点，此点的应力具有1 1阶的精度。阶的精度。2.2.取围绕节点各单元应力的平均值取围绕节点各单元应力的平均值v首先计算围绕该节点（首先计算围绕该节点（i i）周围的相关单元在该节点处的）周围的相关单元在该节点处的应力值应力值 ，然后以它们的平均值作为该节点的最后应，然后以它们的平均值作为该节点的最后应力值力值 ，即，即v其中，其中，1-m1-m是围绕在是围绕在i i节点周围的全部单元。取平均值时也节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。可进行面积加权。