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1、5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法三、三、有限单元的概念、特点及发展状况5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容上次课主要内容弹性体中弹性体中弹性体中弹性体中应力应力应力应力、应变应变应变应变和和和和位移位移位移位移都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力都是位置的函数，求解弹力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由
2、于平衡方程、几何方程问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上称为称为称为称为微分方程的边值问题微分方程的边值问题微分方程的边值问题微分方程的边值问题。有三类解法：有三类解法：有三类解法：有三类解法：解析法、数
3、值法解析法、数值法解析法、数值法解析法、数值法和和和和半解析法半解析法半解析法半解析法。弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、弹性常数、所受已知物体几何尺寸、弹性常数、所受已知物体几何尺寸、弹性常数、所受已知物体几何尺寸、弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上
4、次课主要内容二、二、变分原理与里兹法 变变变变分分分分原原原原理理理理又又又又称称称称变变变变分分分分法法法法，它它它它把把把把弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学基基基基本本本本方方方方程程程程的的的的定定定定解解解解问问问问题题题题变变变变为为为为求求求求泛泛泛泛函函函函的的的的极极极极值值值值（或或或或驻驻驻驻值值值值）问问问问题题题题；在在在在求求求求近近近近似似似似解解解解时时时时，又又又又转转转转变变变变为为为为求求求求函函函函数数数数的的的的极极极极值值值值（或或或或驻驻驻驻值值值值）问问问问题题题题，并并并并把把把把问问问问题题题题归结为求线性代数方程组问题。归结为求线性代数方程组
5、问题。归结为求线性代数方程组问题。归结为求线性代数方程组问题。里里里里兹兹兹兹法法法法是是是是变变变变分分分分原原原原理理理理的的的的一一一一个个个个具具具具体体体体应应应应用用用用，而而而而基基基基于于于于变变变变分分分分原原原原理的理的理的理的有限元有限元有限元有限元法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。法实质上是里兹法的另外一种形式。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容二、二、变分原理与里兹法应变能变分等于外力功变分应变能变分等于外力功变分应变能变分等于外力功变分应变能变分等于外力功
6、变分 位移变分方程位移变分方程位移变分方程位移变分方程变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：变分原理的三种表述：虚功方程虚功方程虚功方程虚功方程实际的位移使总势能变分为零实际的位移使总势能变分为零实际的位移使总势能变分为零实际的位移使总势能变分为零 最小势能原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容三、三、有限单元的概念单单单单元元元元内内内内的的的的近近近近似似似似函函函函数数数数由由由由单单单单元元元元结结结结点点点点的的的的数数数数值值值值及及及及其其其其插插插插值值值值函函函函数数数
7、数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；有有有有限限限限元元元元法法法法是是是是把把把把具具具具有有有有无无无无限限限限自自自自由由由由度度度度的的的的连连连连续续续续求求求求解解解解域域域域离离离离散散散散为为为为一一一一组组组组由由由由有有有有限限限限个个个个单单单单元元元元、按按按按一一一一定定定定方方方方式式式式组组组组合合合合连连连连接接接接在在在在一一一一起起起起的的的的的组合体；的组合体；的组合体；的组合体；用用用用在在在在每每每每一一一一个个个个单单
8、单单元元元元内内内内假假假假设设设设的的的的近近近近似似似似函函函函数数数数来来来来分分分分片片片片地地地地表表表表示示示示全全全全求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；求解域上的待求未知函数；其理论基础是其理论基础是其理论基础是其理论基础是变分原理变分原理变分原理变分原理或或或或加权余量法加权余量法加权余量法加权余量法5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析上次课主要内容上次课主要内容三、三、有限单元的概念由由由由于于于于在在在在对对对对连连连连续续续续体体体体离离离离散散散散的的的的过过过过程程程程中中中中，可可可可供供供供选选选选用用用用
9、的的的的单单单单元元元元有有有有多多多多种种种种形形形形状状状状（一一一一维维维维、二二二二维维维维、三三三三维维维维等等等等），单单单单元元元元之之之之间间间间又又又又可可可可有有有有不不不不同同同同的的的的连连连连接接接接组组组组合合合合方方方方式式式式，因因因因此此此此可可可可以以以以模模模模型型型型化化化化几几几几何何何何形形形形状状状状复杂的求解区域。复杂的求解区域。复杂的求解区域。复杂的求解区域。有限元法有限元法有限元法有限元法研究研究研究研究的主要内容的主要内容的主要内容的主要内容之一之一之一之一便是便是便是便是构造构造构造构造各种类型的各种类型的各种类型的各种类型的单元单元单元
10、单元，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。新型单元，增强单元的模拟能力。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三、三、总体方程的集成四、已知位移条件的引入五、有限元分析中的误差及收敛性七、几种常用的平面单元六、线性方程组的解法5-2 5-2 三角形常应变
11、单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有有限元法中的离散化过程有两种两种两种两种：1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化自然离散自然离散自然离散自然离散杆系结构：自然的杆件、节点杆系结构：自然的杆件、节点 逼近离散逼近离散逼近离散逼近离散连续体：剖分出单元、节点连续体：剖分出单元、节点5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问
12、题有限单元法1.1.1.1.连续介质连续介质连续介质连续介质离散化离散化离散化离散化切割：切割：二维 线（直线 折线 曲线）三维 面（平面 折面 曲面）由边界和切割线（面）形成有限元网格由边界和切割线（面）形成有限元网格,使使得得连续域连续域成为成为离散域离散域结点位移结点位移：位移元的基本未知量。：位移元的基本未知量。每一小块：每一小块：单元单元（elementelement）结点结点：场变量在该点的值为未知量。：场变量在该点的值为未知量。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1
13、.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化切割切割单元单元结点：结点：1)1)1)1)结点坐标（定位）结点坐标（定位）结点坐标（定位）结点坐标（定位）2)2)2)2)结点两种编号结点两种编号结点两种编号结点两种编号 3)3)3)3)结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。结点位移为位移元的基本未知量。整体编号整体编号 单元内编号单元内编号5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连
14、续介质离散化连续介质离散化2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。一坐标函数称作位移模式或位移函数。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式形式表达。位移函数常用多项式
15、形式表达。原因有二：原因有二：原因有二：原因有二：一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；一是多项式的微积分运算较简单；二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项式逼近。式逼近。式逼近。式逼近。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介
16、质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式3.3.3.3.单元特性分析单元特性分析单元特性分析单元特性分析建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵位移场位移场位移场位移场 几何关系几何关系几何关系几何关系 应变应变应变应变(结点位移结点位移结点位移结点位移)本构关系本构关系本构关系本构关系 应力应力应力应力首先，将单元内的首先，将单元内的首先，将单元内的首先，将单元内的应力场应力场应力场应力场-应变场应变场应变场应变场用
17、用用用节点位移节点位移节点位移节点位移表示：表示：表示：表示：其次，利用其次，利用其次，利用其次，利用变分原理变分原理变分原理变分原理建立建立建立建立刚度方程：刚度方程：刚度方程：刚度方程：5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析一、一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法1.1.1.1.连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化连续介质离散化5.5.5.5.引入位移强制边界条件引入位移强制边界条件引入位移强制边界条件引入位移强制边界条件(消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性消除系数矩阵的奇异性)6.6.6.6
18、.解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组解线性代数方程组7.7.7.7.计算应力、应变计算应力、应变计算应力、应变计算应力、应变 由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变8.8.8.8.其它要求其它要求其它要求其它要求(进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算进行其他工程上的要求计算)得到得到结点位移解结点位移解结点位移解结点位移解2.2.2.2.确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式确定单元的近似位移模式3.3.3.3.单元特性分析单元特性分析
19、单元特性分析单元特性分析建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵建立单刚和等效结点荷载列阵4.4.4.4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问
20、题：区别仅在于弹性矩阵两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵平面应力：如膜、薄板等平面应力：如膜、薄板等平面应变：如水坝、挡土墙等平面应变：如水坝、挡土墙等5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元单元结点编号：单元结点编号：单元结点编号：单元结点编号：1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，整体结点编号：整体结点编号：整体结点编号：整体结点编号：1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，i,j,m,n,i,j,m,n,i,j,m,
21、n,i,j,m,n,编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，对应于右手坐标系，次序不能任意。次序不能任意。次序不能任意。次序不能任意。三角形单元三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元单元结点位移单元结点位移单元结点位移单元结点位移:结点位移结点位移结点位移结点位移:1.1.1.1.单元位移插值函数：单元位移插值函数：单元位移插值函数：单元位移插值函数：第三章第三章 平面问题有限单元
22、法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x,y)v(x,y)u(x,y)单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线单元内任一点沿坐标轴的线位移可写成：位移可写成：位移可写成：位移可写成：（a）设设设设u,vu,vu,vu,v是坐标是坐标是坐标是坐标x x x x、y y y y的线性函数的线性函数的线性函数的线性函数:待定参数待定参数待定参数待定参数,称之为称之为称之为称之为广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标解解解解(
23、b)(b)(b)(b)前三个式：前三个式：前三个式：前三个式：单元编码单元编码单元编码单元编码 i,j,m i,j,m i,j,m i,j,m 应逆时针转向应逆时针转向应逆时针转向应逆时针转向,可使可使可使可使A(A(A(A(三角形面积三角形面积三角形面积三角形面积)0000。如果令：如果令：如果令：如果令：（i,j,m)则则则则:（d d d d）（e e e e）同理同理同理同理:则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）（由结点位移表示的单元内位移）或：
24、或：或：或：形函数矩阵形函数矩阵 形函数性质形函数性质形函数性质形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)(1)形函数形函数N Ni i在在i i点值为点值为1 1，在，在 j j、m m 点数值为点数值为0 0。N Ni i:在在 i i 点发生单位位移对单元内部位移的影响。点发生单位位移对单元内部位移的影响。第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元1.1.1.1.单元位移插值函数：单元位移插值函数：单元位移插值函数：单元位移插值函数：mxyijn单元单元单元单元 在公共边在公共边
25、在公共边在公共边 i,j i,j 上上上上:则公共边则公共边则公共边则公共边 i,j i,j 上的位移：上的位移：上的位移：上的位移：公共边公共边公共边公共边 i,j i,j 上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点上的位移只由公共边两个结点 i,j i,j 的位移确定，所以的位移确定，所以的位移确定，所以的位移确定，所以相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。相邻单元在公共边上位移是连续的。2.2.2.2.几何方程，由结点位移求单元内应变：几何方程，由结点位移求单元内应变：几何方程，由结点位移求单元
26、内应变：几何方程，由结点位移求单元内应变：将位移表达式代入，得：将位移表达式代入，得：单元应变矩阵单元应变矩阵其中：其中：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法又可写成：又可写成：B B 中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则中各元素为常数，则 也为常量。也为常量。也为常量。也为常量。常应变单元常应变单元常应变单元常应变单元二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元3.3.3.3.物理方程，由结点位移求单元应力：物理方程，由结
27、点位移求单元应力：物理方程，由结点位移求单元应力：物理方程，由结点位移求单元应力：平面应力问题物理方程的矩阵表达式平面应力问题物理方程的矩阵表达式 应力矩阵应力矩阵令令:第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法 有限元单元物理量有限元单元物理量单元结点位移：单元结点位移：单元位移模式：单元位移模式：单元应变应力：单元应变应力：4.4.4.4.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法
28、 平面单元体总势能平面单元体总势能其中：其中：单元刚度矩阵单元刚度矩阵应变能：应变能：4.4.4.4.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法外力势能：外力势能：其中：其中：而：而：5.5.5.5.变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：变分原理与有限元基本方程：二、二、平面问题的常应变单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元三结点三角形单元
29、第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法 单元体力的等效结点力单元体力的等效结点力 单元面力的等效结点力单元面力的等效结点力 单元内集中力的等效结点力单元内集中力的等效结点力总势能是位移总势能是位移 的泛函的泛函单元体总势能：单元体总势能：(a)(a)最小势能原理最小势能原理:(a)(a)代入上式，得：代入上式，得：由由 的任意性可知：的任意性可知：单元平衡方程单元平衡方程在在中常应变单元中常应变单元BB为常数，为常数，单元刚度矩阵单元刚度矩阵kke e简化为：简化为：经计算可得：经计算可得：其中：其中：是奇异矩阵是奇异矩阵:（加约束前）（加约束前）单元刚阵的性质单元刚阵的性质:具有
30、对称性：具有对称性：非结点荷载的讨论非结点荷载的讨论:以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）。得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）。静力等效原则：静力等效原则：原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就是在虚功方程中：是在虚功方程中：使等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。使等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。单元内集中力单元内集中力 、体积力、体积力 、面力、面力 引起的等效结点力：引起的等效结点力：集中力虚功集中力虚功
31、 体积力虚功体积力虚功 面力虚功面力虚功其中：其中：单元内点位移单元内点位移结点力虚功结点力虚功 单元分析小结：单元分析小结：5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法三、三、总体方程的集成包括两方面内容：包括两方面内容：包括两方面内容：包括两方面内容：（1 1）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整体刚度矩阵体刚度矩阵（2 2）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成总的荷载列阵总的荷载列阵总体方程集成方法：直接刚度法总体方程集成方法：直接刚度法总体方
32、程集成方法：直接刚度法总体方程集成方法：直接刚度法(利用单元结点局部编码利用单元结点局部编码和整体编码之间的关系，直接对号入座）和整体编码之间的关系，直接对号入座）5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法三、三、总体方程的集成局部编码局部编码 i,j,mi,j,m整体编码整体编码1,2,3,41,2,3,41.1.结点位移结点位移结点位移结点位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右图问题为例，说明集成过程以右图问题为例，说明集成过程2.2.结点力结点力结点力结点力以结点以结点2 2平衡为例：平衡为例：2III
33、这里：这里：F2 F2 单元单元()作用在结点作用在结点2 2上的等效力上的等效力 R2 R2 围绕结点围绕结点2 2各单元作用在结点各单元作用在结点2 2上的等上的等效力之和效力之和对于一般情况：对于一般情况：S S结点结点(整体编码整体编码)其中：其中：3.3.结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡单元平衡：结点结点 i(i(单元编码单元编码)的平衡：的平衡：整体平衡：整体平衡：由结点由结点s(s(整体编码整体编码)的平衡的平衡得：得：（e 个单元在 s 点平衡供献之和）把所有结点按整体结点编码排列：
34、把所有结点按整体结点编码排列：整体结构平衡方程整体结构平衡方程 K K 总刚（整体刚度矩阵）总刚（整体刚度矩阵）结构的结点位移（按整体编码为顺序）结构的结点位移（按整体编码为顺序）R R 结构的结点荷载（按整体编码为顺序）结构的结点荷载（按整体编码为顺序）（3 3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在同一位置则进行叠加。不同单元的元素在同一位置则进行叠加。总刚度集成方法：总刚度集成方法：（1 1）计算每个单元的）计算每个单元的kke e；（2 2）根据单元结点局部和整体编号之间的关系将）根据单元结点局部和整体编号之间的关系将kke e中
35、每个子块中每个子块kkij ij 的的ij ij换成对应的整体码；换成对应的整体码；m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：单元号：局部码：局部码：i,j,m i,j,mi,j,m i,j,m整体码：整体码：2,4,1 4,2,32,4,1 4,2,3单刚换码：单刚换码：单元单元形成总刚：形成总刚：(对号入座对号入座)Ik11 K:K:14321432单元单元m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIII
36、IIIkkkkkkkk434134322321141200 整体荷载列阵整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m 1 1 1 1）对称性）对称性）对称性）对称性2 2 2 2）奇异性，需引入合适的位移约束。）奇异性，需引入合适的位移约束。）奇异性，需引入合适的位移约束。）奇异性，需引入合适的位移约束。3 3 3 3）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）稀疏，（存在许多零元素）4 4 4 4）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布）非零元素呈带状分布5)5)5)5)主元恒正主元恒正主元恒正主元恒正 总刚的性质总刚的性质
37、5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1 1、先处理法、先处理法、先处理法、先处理法消除总纲的奇异性消除总纲的奇异性在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。这
38、样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。2 2、后处理法、后处理法、后处理法、后处理法（1 1）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列对应的行和列对应的行和列对应的行和列（2 2）主对角元置）主对角元置）主对角元置）主对角元置1 1法将法将法将法将KK中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素k kii ii置置置置1 1，与与与与k kii ii在同一行同一列的其他元素置
39、在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置0 0，与，与，与，与k kii ii在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分量也置零。量也置零。量也置零。量也置零。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1 1、先处理法、先处理法、先处理法、先处理法2 2、后处理法、后处理法、后处理法、后处理法（1 1）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所）划行划
40、列法直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列对应的行和列对应的行和列对应的行和列（2 2）主对角元置）主对角元置）主对角元置）主对角元置1 1法将法将法将法将KK中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素中位移为零的主对角元素k kii ii置置置置1 1，与与与与k kii ii在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置在同一行同一列的其他元素置0 0，与，与，与，与k kii ii在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分在同一行的荷载分量也置零。量也置零。量也置零。量也置零。（3 3）乘大数法已知非零位移）乘大数法
41、已知非零位移）乘大数法已知非零位移）乘大数法已知非零位移a a，将，将，将，将KK中对应的主对角元素中对应的主对角元素中对应的主对角元素中对应的主对角元素k kii ii乘上一大数乘上一大数乘上一大数乘上一大数(如如如如10102020），同时将与），同时将与），同时将与），同时将与k kii ii在同一行的荷载分量置为在同一行的荷载分量置为在同一行的荷载分量置为在同一行的荷载分量置为k kii ii 10 102020 a a。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性1 1、产生误差的原因、产生误
42、差的原因、产生误差的原因、产生误差的原因计算机带来的误差：包括截断误差，舍入误差计算机带来的误差：包括截断误差，舍入误差算法本身的误差：有限元离散化模型与实际物体的差异；对边界算法本身的误差：有限元离散化模型与实际物体的差异；对边界荷载进行离散带来的误差；插值函数近似性带来的误差。荷载进行离散带来的误差；插值函数近似性带来的误差。2 2、提高精度的办法、提高精度的办法、提高精度的办法、提高精度的办法对前者：对前者：(1)(1)增长字长增长字长(双精度双精度)(2)(2)选取有效的计算方法和合理的程序结构。选取有效的计算方法和合理的程序结构。对后者：对后者：(1)(1)单元尺寸变小单元尺寸变小
43、(2)(2)插值函数，完备的多项式次数提高。插值函数，完备的多项式次数提高。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3 3、收敛准则、收敛准则、收敛准则、收敛准则在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。准则准则1 1：完备性要求。单元的位移模式
44、包含刚体位移，且能反映单：完备性要求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元的常应变状态。元的常应变状态。否则在单元结点位移为刚体位移时，单元会产生非零应变，单元否则在单元结点位移为刚体位移时，单元会产生非零应变，单元尺寸趋于零时，单元的应变不趋于常数。尺寸趋于零时，单元的应变不趋于常数。当用当用完全多项式完全多项式表示单元中的场函数时，如能量泛函中该变量导表示单元中的场函数时，如能量泛函中该变量导数的最高阶数为数的最高阶数为p p，则该多项式的阶至少为，则该多项式的阶至少为p p，即为，即为p p次完全多项式。次完全多项式。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三
45、章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3 3、收敛准则、收敛准则、收敛准则、收敛准则准则准则1 1：完备性求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元：完备性求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元的常应变状态。的常应变状态。准则准则2 2：协调性要求。单元内部及相邻单元的边界上位移连续。：协调性要求。单元内部及相邻单元的边界上位移连续。即单元之间既不能存在裂缝也不能相互重叠，以免连续体用离散即单元之间既不能存在裂缝也不能相互重叠，以免连续体用离散模型代替后由于变形而产生不连续。模型代替后由于变形而产生不连续。如能量泛函中场函数导数的最高阶数为如能量泛函中场
46、函数导数的最高阶数为p p，则要求场函数在相邻单，则要求场函数在相邻单元的交界面上有直至元的交界面上有直至p-1p-1阶的连续导数。阶的连续导数。当当p=1p=1时称时称C C0 0级连续，级连续，p=2p=2时称时称C C1 1级连续等级连续等5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3 3、收敛准则、收敛准则、收敛准则、收敛准则例：考察平面问题常应变三角形单元的收敛性例：考察平面问题常应变三角形单元的收敛性单元位移函数单元位移函数单元位移函数单元位移函数:平面问题中势能泛函关于位移的导数最高是平面
47、问题中势能泛函关于位移的导数最高是平面问题中势能泛函关于位移的导数最高是平面问题中势能泛函关于位移的导数最高是1 1 1 1阶，因此是阶，因此是阶，因此是阶，因此是C C C C0 0 0 0连续问题。连续问题。连续问题。连续问题。满足完备性和协调性要求，故收敛满足完备性和协调性要求，故收敛满足完备性和协调性要求，故收敛满足完备性和协调性要求，故收敛5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性4 4、协调元和非协调元、协调元和非协调元、协调元和非协调元、协调元和非协调元满足收敛准则的单元称为协调单元满足
48、收敛准则的单元称为协调单元不满足协调性要求，但能通过分片试验，解也可收敛，不满足协调性要求，但能通过分片试验，解也可收敛，这类单元称为非协调单元这类单元称为非协调单元广义协调元广义协调元5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性5 5、协调位移元解的下限性、协调位移元解的下限性、协调位移元解的下限性、协调位移元解的下限性采用位移元离散原结构时，采用位移元离散原结构时，将无限自由度限制为只有将无限自由度限制为只有以结点位移表示的有限自以结点位移表示的有限自由度，既位移函数对单元由度，既位移函数对单元的变
49、形进行了约束和限制，的变形进行了约束和限制，使模型刚度较原结构增大，使模型刚度较原结构增大，因此求得的位移总体上小因此求得的位移总体上小于精确解。单元的细分相于精确解。单元的细分相当于逐步解除约束，因而当于逐步解除约束，因而刚度减小，位移增大，从刚度减小，位移增大，从小于精确解一侧趋于精确小于精确解一侧趋于精确解。解。5-2 5-2 三角形常应变单元分析三角形常应变单元分析第三章第三章 平面问题有限单元法平面问题有限单元法根根据据刚刚度度矩矩阵阵在在计计算算机机中中的的存存储储方方式式的的不不同同，每每类类解解法法又又可可派派生生出出不不同同的的求求解解方方法法：如如等等带带宽宽存存储储的的高
50、高斯斯消消去去法法、一一维维变变带带宽宽存存储储的的LDLLDLT T分解法、分块解法、波前法等分解法、分块解法、波前法等六、线性方程组的解法线性方程组的两类解法：线性方程组的两类解法：线性方程组的两类解法：线性方程组的两类解法：直接法：以高斯消去法为基础，求解效率高，但当方程组阶数过高时，直接法：以高斯消去法为基础，求解效率高，但当方程组阶数过高时，计算舍入误差影响较大。计算舍入误差影响较大。迭代法：雅克比迭代迭代法：雅克比迭代可利用刚度矩阵具有的大型、对称、稀疏、带状分布以及正定的特可利用刚度矩阵具有的大型、对称、稀疏、带状分布以及正定的特点提高求解效率。点提高求解效率。要求掌握基于一维变