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1、专题五函数与几何综合运用类型1存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形形状关系；最大、最小值数量关系等1如图，已知二次函数y1x2xc的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2kxb.(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；(2)由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)将A(4，0)代入y1x2xc，得42×4c0，解得c3.所求二次函数的解析式为y1x2x3.当x0时
2、，y13，点B的坐标为(0，3)(2)满足y1y2的自变量x的取值范围是：x0或x4.(3)存在，理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.A(4，0)，B(0，3)，OA4，OB3.在RtAOB中，AB5.ACBC.RtACP1与RtAOB有公共OAB，RtACP1RtAOB.，即，解得AP1.而OP1OAAP14，点P1的坐标为(，0)又RtP2CB与RtAOB有公共OBA，RtP2CBRtAOB.，即，解得P2B.而OP2P2BOB3，点P2的坐标为(0，)所求点P的坐标为(，0)或(0，)2如图，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点
3、B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由yax2bx3得C(0.3)，OC3，OC3OB，OB1，B(1，0)，把A(2，3)，B(1，0)代入yax2bx3得，抛物线的解析式为yx22x3；来源:学_科_网Z_X_X_K(2)设连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，A(2，3)，C(0，3)，AFx轴，F(1，3)，BF3，AF3，BAC45°，
4、设D(0，m)，则OD|m|，BDOBAC，BDO45°，ODOB1，|m|1，m±1，D1(0，1)，D2(0，1)；(3)设M(a，a22a3)，N(1，n)，以AB为边，则ABMN，ABMN，如图2，过M作ME对称轴于E，AFx轴于F，则ABFNME，NEAF3，MEBF3，|a1|3，a4或a2，M(4，5)或(2，5)；以AB为对角线，BNAM，BNAM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，M(0，3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(2，5)或(0，3)类型2几何最值、定值问题3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABO
5、C如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形ABOC.抛物线yx22x3经过点A、C、A三点(1)求A、A、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形ABOC重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标解：(1)当y0时，x22x30，解得x13，x21，C(1，0)，A(3，0)当x0时，y3，A(0，3)(2)设AC与OB相交于点D.C(1，0)，A(0，3)，B(1，3)OB.SBOA×1×3.又平行四边形ABOC旋转90°得到平行四边形AB
6、OC，ACOOCD.又ACOABO，ABOOCD.又CODAOB，CODBOA.()2()2.SCOD.(3)设M点的坐标为(m，m22m3)，连接OM.SAMASMOASMOASAOA×3×(m22m3)×3×m×3×3m2m(m)2.(0m3)当m时，SAMA取到最大值，M(，) 来源:Zxxk.Com4如图，已知抛物线yax22ax9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)
7、点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值解：(1)C(0，3)9a3，解得：a.令y0得：ax22x9a0，a0，x22x90，解得：x或x3.点A的坐标为(，0)，B(3，0)抛物线的对称轴为x.(2)OA，OC3，tanCAO，CAO60°.AE为BAC的平分线，DAO30°.DOAO1.点D的坐标为(0，1)设点P的坐标为(，a)依据两点间的距离公式可知：AD24，AP212a2，DP23(a1)2.当ADPA时，412a2，方程无解当ADDP时，43(a1)2，解得a2或a0，当a2
8、时，点A，D，P三点共线，不能构成三角形，a2，点P的坐标为(，0)当APDP时，12a23(a1)2，解得a4.点P的坐标为(，4)综上所述，点P的坐标为(，0)或(，4)(3)设直线AC的解析式为ymx3，将点A的坐标代入得：m30，解得：m，直线AC的解析式为yx3.设直线MN的解析式为ykx1.把y0代入ykx1得：kx10，解得：x，点N的坐标为(，0)AN.将yx3与ykx1联立解得：x.点M的横坐标为.过点M作MGx轴，垂足为G.则AG.MAG60°，AGM90°，AM2AG2.类型3反比例函数与几何问题5如图，P1，P2是反比例函数y(k0)在第一象限图象上
9、的两点，点A1的坐标为(4，0)若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1，P2为直角顶点求反比例函数的解析式()求P2的坐标()根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1，P2的一次函数的函数值大于反比例函数y的函数值来源:Zxxk.Com解：过点P1作P1Bx轴，垂足为B，点A1的坐标为(4，0)，P1OA1为等腰直角三角形，OB2，P1BOA12，P1的坐标为(2，2)，将P1的坐标代入反比例函数y(k0)，得k2×24，反比例函数的解析式为y；()过点P2作P2Cx轴，垂足为CP2A1A2为等腰直角三角形，P2CA1C，设P2CA1Ca，则P2的
10、坐标为(4a，a)，将P2的坐标代入反比例函数的解析式y中，得a，解得a122，a222(舍去)，P2的坐标为(22，22)；()在第一象限内，当2x22时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值6如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD2DB，AM2MO，一次函数ykxb的图象过点D和M，反比例函数y的图象经过点D，与BC的交点为N.来源:学。科。网Z。X。X。K(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P在直线DM上，且使OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标来源:学*科*网Z*X*X*K解：(1)正方形OABC的顶点C(0，3)，OAABBCOC3，OABBBCO90°，AD2DB，ADAB2，D(3，2)，把D坐标代入y得：m6，反比例函数解析式为y，AM2MO，MOOA1，即M(1，0)，把M与D的坐标代入ykxb中得：解得：kb1，则直线DM解析式为yx1(2)把y3代入y得：x2，N(2，3)，即NC2，设P(x，y)，OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，(OMNC)·OCOM|y|，即|y|9，解得：y±9，当y9时，x10，当y9时，x8，则P坐标为(10，9)或(8，9)