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1、专题08 一元一次方程及其应用一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，mnnm等都叫做等式，而像3a+2b，3 m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x311。理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数。两者缺一不可。（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不
2、一定含有未知量，分为单项式和多项式。二、一元一次方程的概念1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等三、一元一次方程的解法1.方程的同解原理（等式的基本性质）性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。注意
3、：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。2.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。（2）去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。（3）移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。（4）合并同类项。把方程化成axb(a0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。（5）系数化为1。在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解xb/
4、a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。说明：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0时，方程有唯一解xb/a ；a=0，b=0时，方程有无数个解；a=0，b0时，方程无解。四、列一元一次方程解应用题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。（2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数（3）列列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案，注意带上单位。2.常
5、见的一些等量关系（1）行程问题：距离=速度·时间（2）工程问题：工作量=工效·工时（3）比率问题：部分=全体·比率（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度（5）商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，（6）周长、面积、体积问题：C圆=2R，C长方形=2(a+b)，C正方形=4a，S圆=R2，S长方形=ab， S正方形=a2，S环形=(R2-r2),V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=R2h ，V圆锥=R2h.【例题1】（2020重庆）解一元一次方程12（x+1）1-13x时，去分母正确的是（）
6、A3（x+1）12xB2（x+1）13xC2（x+1）63xD3（x+1）62x【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案【解析】方程两边都乘以6，得：3（x+1）62x，【对点练习】解方程：（1）4x=3（2x）；（2）【答案】见解析。【解析】（1）去括号得：4x=63x，移项得：x+3x=64，合并得：2x=2，系数化为1得：x=1（2）去分母得：5（x1）2（x+1）=2，去括号得：5x52x2=2，移项得：5x2x=2+5+2，合并得：3x=9，系数化1得：x=3【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以，注意移项时正负号的变化。【例题2】（2020杭州）以下是圆圆解
7、方程x+12-x-33=1的解答过程解：去分母，得3（x+1）2（x3）1去括号，得3x+12x+31移项，合并同类项，得x3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程【答案】见解析。【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）2（x3）6去括号，得3x+32x+66移项，合并同类项，得x3【对点练习】（2019湖南湘西）若关于x的方程3xkx+20的解为2，则k的值为【答案】4【解析】考查一元一次方程的解关于x的方程3xkx+20的解为2，3×22k+20，解得：k4【点拨】将解带入方程，得到含有
8、k的方程，再解这个方程即可。【例题3】（2020内江）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺设绳索长x尺则符合题意的方程是（）A12x（x5）5B12x（x+5）+5C2x（x5）5D2x（x+5）+5【答案】A【分析】设绳索长x尺，则竿长（x5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解【解析】设绳索长x尺，则竿长（x5）尺，依题意，得：12x（x5）5【对点练习】（20
9、19襄阳）九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A5x457x3B5x+457x+3CD【答案】B 【解析】设合伙人数为x人，依题意，得：5x+457x+3【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。【例题4】（2019湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰
10、至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【答案】（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步列方程求解即可。由题意得x：600100：60x10001000600100300所以当走路慢的人
11、再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解由题意得y200+yy500所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人【对点练习】（2019湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求
12、休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？【答案】见解析。【解析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩根据“复耕土地面积+改造土地面积1200亩”列出方程并解答；由题意，得x+（600+x）1200,解得x300则600+x900所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答由题意，得y（300y）解得y75故休闲小广场总面积最多为75亩所以休闲小广场总面积最多为75亩【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积12
13、00亩”列出方程并解答是正确思路。一、选择题1（2020金华）如图，在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为x则列出方程正确的是（）A3×2x+52xB3×20x+510x×2C3×20+x+520xD3×（20+x）+510x+2【答案】D【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可【解析】设“”内数字为x，根据题意可得：3×（20+x）+510x+22.（2019贵州毕节）如果3ab2m1与9abm+1是同类项，那么m等于（）A2 B1 C1 D0【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可根据
14、题意可得：2m1m+1，解得：m23.（2019杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A2x+3（72x）30B3x+2（72x）30C2x+3（30x）72D3x+2（30x）72【答案】D【解析】设男生有x人，则女生（30x）人，根据题意可得：3x+2（30x）724（2020湖南长沙模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A2×1000（26x）=800x B1000（13x）=80
15、0xC1000（26x）=2×800x D1000（26x）=800x【答案】C【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程由题意得1000（26x）=2×800x，故C答案正确。二、填空题5（2020衢州）一元一次方程2x+13的解是x【答案】1【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解【解答】解；将方程移项得，2x2，系数化为1得，x16（2020株洲）关于x的方程3x8x的解为x【答案】4【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解【
16、解析】方程3x8x，移项，得3xx8，合并同类项，得2x8解得x47（2020武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价原价：元暑假八折优惠，现价：160元【答案】200【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解析】设广告牌上的原价为x元，依题意，得：0.8x160，解得：x2008.（2019张家界）田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共
17、60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步【答案】12 【解析】设长为x步，宽为（60x）步，x（60x）864，解得，x136，x224（舍去），当x36时，60x24，长比宽多：362412（步）9.方程（12x）=（3x+1）的解为_.【答案】x=【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解7（12x）=3×2（3x+1）7+14x=18x+64x=13x=10.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是
18、元【答案】2000【解析】一元一次方程的应用。设这种商品的进价是x元，由题意，得（1+40%）x×0.82240解得x200011.（2019贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元【答案】2000【解析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可由题意得，（1+40%）x×0.82240解得：x200012.（2019湖南湘西州）若关于x的方程3xkx+20的解为2，则k的值为【答案】4【解析】关于x的方程3xkx+20的解为2，3&
19、#215;22k+20，解得：k4三、解答题13.解方程：【答案】x=【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解左右同乘12可得：32x（x1）=8（x1），化简可得：3x+3=8x8，移项可得：5x=11，解可得x=故原方程的解为x=14解方程（1）4（x1）3（20x）=5（x2）；（2）x=2【答案】见解析。【解析】（1）去括号得：4x460+3x=5x10移项得：4x+3x5x=4+6010合并得：2x=54系数化为1得：x=27；（2）去分母得：6x3（x1）=122（x+2）去括号得：6x3x+3=122x4移项得：6x3x+2x
20、=1243合并得：5x=5系数化为1得：x=115（2020攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？【答案】见解析。【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解【解析】设这些学生共有x人，根据题意得x6-x8=2，解得x48答：这些学生共有48人16（2020凉山州）解方程：x-x-22=1+2x-13【答案】见解析。【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可【解析】去分母，得：6x3（x2）6+2（2x1），去括号，得：6x3x+66+4x2，移项，得
21、：6x3x4x662，合并同类项，得：x2，系数化为1，得：x217.（2019甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【答案】共有39人，15辆车【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果根据题意得：+2，去分母得：2x+123x27，解得：x39，15，则共有39人，15辆车18.(2019安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题
22、，当地政府决定修建一条高速公路其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x2）米根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间由题意，得2x+（x+x2）26，解得x7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）所以甲乙两个工程队还需联合工作10天