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1、隐零点问题与变化主元法1. 隐零点问题【总结】已知恒成立且无法避免要求的极值,处理方法如下。考虑不等式组,其中和均含有参数,有两种方法处理上面不等式组:(1) 若中的参数和容易分离,则首先用零点表示参数,然后代入来确定零点的取值范围,从而确定参数的取值范围;(2) 若中的参数和不容易分离,则首先猜测方程组的解,然后由和端点效应求出参数的取值范围,最后证明在该范围下恒成立。其中(1)没有解出具体的零点,但隐形的利用了其零点,称其为“隐零点”;(2)可以借助于变换主元法。例题1、设有两个极值点,且。(1) 求实数的取值范围,并讨论的单调性;(2) 证明:。例题2、已知,证明:存在唯一的极大值点,且
2、。例题3、已知。证明:当时,。例题4、设函数,求实数的取值范围,使得对任意恒有成立。变式4.1 已知,证明:当,函数有最小值,求函数的值域。变式4.2 已知。(1) 设,判断在上的单调性;(2) 若无零点,试确定正数的取值范围。2. 变换主元法例题5、已知,函数,证明:当时,。例题6、已知在上恒成立,求实数的取值范围。例题7、已知,当时 上恒成立,求实数的取值范围。例题8、已知,其中。证明:存在使得在区间上恒成立,且在区间上有唯一解。例题9、设。已知函数。函数的图像与函数的图像在公共点处有相同的切线。(1) 求证:在处的导数等于0;(2) 若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围。例题10、已知实数,设函数,对任意均有,求实数的取值范围。