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1、第第3章章 正弦交流电路正弦交流电路3.1 3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念3.2 3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3 3.3 正弦交流电路中的三种基本元件正弦交流电路中的三种基本元件正弦交流电路中的三种基本元件正弦交流电路中的三种基本元件3.4 RLC3.4 RLC串联、并联交流电路串联、并联交流电路串联、并联交流电路串联、并联交流电路 3.5 3.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.6 3.6 谐振谐振谐振谐振退退退退 出出出出2021/9/122
2、021/9/121 13.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念3.1.1 3.1.1 周期与频率周期与频率周期与频率周期与频率 3.1.2 初相与相位差初相与相位差3.1.3 幅值与有效值幅值与有效值退退退退 出出出出2021/9/122021/9/122 2 正弦交流电路的激励信号是随时间按正弦规律变化的电压或电流，我们称之为正弦电压或正弦电流。以电流为例，正弦量的时间函数定义为 3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念 其波形如图3-1所示。（3-1）2021/9/122021/9/123 33.1.1 周期与频率周期与频率 1周期交流信号变化一次所需的时间称为周期，用T表
3、示，其单位是s（秒），常用的周期计量单位还有ms（毫秒），s（微秒）。图3-1中正弦量从a点变到c点经历了一个周期。当时，周期为 2频率一秒钟内信号重复变化的次数称为频率，用 f 表示，其单位是Hz（赫兹），常用单位还有kHz（千赫兹），MHz（兆赫兹）。由周期与频率的定义可以得到如下关系式：(3-2)2021/9/122021/9/124 43角频率正弦交流电在单位时间内变化的角度称为角频率，用表示，单位是rads（弧度每秒），也表示正弦交流电变化的快慢。因为一周期经过的角度2rad（3600），故角频率与频率、周期三者之间的关系为：2021/9/122021/9/125 53.1.2 初相
4、与相位差初相与相位差1初相当相位角(t+)中的t=0时，相位角为+，我们称其为初相位，简称初相。初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值，其单位为rad（弧度）或0（度）。规定。因此，当t=0时，如果正弦交流电的函数值为正，即sin0，表明初相位是一个正角；反之，如果正弦交流电的函数值为负，即sin0，则表明初相位是一个负角。2021/9/122021/9/126 62相位差两个同频率的正弦量，其初相位和最大值不一定相同，如图3-2所示。2021/9/122021/9/127 7电压和电流的函数式分别为：u、i的初相位分别u和i，u与i的相位差为：=(t+u)(t+i)=ui若0，说明ui，电压u比
5、电流i先达到最大值（或零点），称电压u超前电流i一个相位角，或称电流i滞后于电压u一个相位角。若0，则称电压u滞后于电流i一个相位角。超前与滞后是相对的，是指它们到达正最大值的顺序。2021/9/122021/9/128 83.1.3 幅值与有效值幅值与有效值正弦交流电在某一时刻的大小称为交流电的瞬时值，可以表示为：i(t)=Imsin(t+i)电压和电动势的瞬时值分别表示为：正弦交流电瞬时值中的最大值即为幅值，它反映该正弦量变化的幅度，不随时间变化。2021/9/122021/9/129 9图3-3中有两个相同的纯电阻R，其中一个电阻通以交流电流i，另一个电阻通以直流电流I，交流电流i在时间
6、T内通过纯电阻R产生的热量为：直流电流I在相同时间T 内通过同一电阻R产生的热量为：Q2=I2RT 2021/9/122021/9/121010根据有效值定义（Q1=Q2）可得，则交流电流有效值的表达式为：交流电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根。若把i(t)=Imsint（令i=0）代入式(3-11)，则(3-11)2021/9/122021/9/121111正弦交流电压和正弦交流电动势的有效值与最大值关系为：2021/9/122021/9/1212123.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.2.1 3.2.1 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法正弦量的相量表示
7、法正弦量的相量表示法3.2.2 3.2.2 基尔霍夫定律的相量表示基尔霍夫定律的相量表示基尔霍夫定律的相量表示基尔霍夫定律的相量表示退退退退 出出出出2021/9/122021/9/1213133.2.1 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法1相量与正弦量的表示相量与正弦量的表示 对于正弦交流电流i=Im sin（t+i），可用相量表示为：正弦交流电压u=Um sin（t+u），可用相量表示为：2021/9/122021/9/1214142相量图相量图就是相量在复平面上的图形表示，正弦电流i=Im sin（t+i）的幅值、有效值相量图如图3-4所示。2021/9/122021/9/121515
8、2021/9/122021/9/1216162021/9/122021/9/1217173.2.2 基尔霍夫定律的相量表示基尔霍夫定律的相量表示2021/9/122021/9/1218182021/9/122021/9/1219193.3 正弦交流电路中的三正弦交流电路中的三种基本元件种基本元件3.3.1 3.3.1 电阻元件电阻元件电阻元件电阻元件3.3.2 3.3.2 电感元件电感元件电感元件电感元件3.3.3 3.3.3 电容元件电容元件电容元件电容元件退退退退 出出出出2021/9/122021/9/1220201基本概念线性电阻元件（简称电阻）定义为：在电压与电流关联参考方向下，任一
9、时刻二端元件两端的电压和电流的关系服从欧姆定律：u=RiR称为线性电阻元件的电阻，单位为欧姆()。电阻的倒数称为线性电阻元件的电导G：电导的单位为西（S）。当用电导时，欧姆定律可表示为：i=Gu3.3.1 电阻元件电阻元件2021/9/122021/9/1221212电阻元件的电压电流关系和相量形式电阻元件的电压电流关系和相量形式 1）电压电流关系如图3-6所示。图中，直线的斜率为电导G。2021/9/122021/9/122222 2）相量形式 如图3-7所示。在电阻元件的电流电压关系中，u和i都是同频率的两个正弦量，其相量形式为：即有，Uu=RIiU=RI，u=iu与i之间相位差=u i=
10、0，表示电压u与电流i同相。电压、电流的相量图如图3-8所示。2021/9/122021/9/1223233正弦交流电路中电阻功率的计算 瞬时功率p的定义为能量对时间的导数，是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定。即有，若用电导G表示，电阻元件消耗的功率为：p=Gu2=i2R电阻元件从0到t的时间吸收的电能为：2021/9/122021/9/122424电阻元件瞬时功率为：p=ui=Ri2=u2/R设流过电阻元件的电流为，则其两端的电压为：则瞬时功率为：2021/9/122021/9/1225252021/9/122021/9/1226263.3.2 电感元件电感元件 1基本概念 对于线性电感元
11、件，在任一时刻的磁通链与电流i之间具有如下线性关系：=Li。如图3-10所示。线性电感元件的韦安特性是-i平面上通过坐标原点的一条直线，如图3-11所示，图中，直线的斜率即为电感L。2021/9/122021/9/1227272电感元件的电压电流关系和相量形式1）电压电流关系 当电流i随时间变化时，磁通链也相应地随时间变化，在电感元件中产生的感应电压为：代入电感元件定义式，则有：表明在任一时刻，电感元件的感应电压与电流的变化率成正比。2021/9/122021/9/122828 2）相量形式 当有正弦电流通过电感元件时，其正弦电压与电流的关系可用相量形式表示为：即（相量乘以j相当于相位正向旋转
12、900），Uu=LI(i900）所以，2021/9/122021/9/122929 由u=i900可知，u与i的相位差为ui=900，表示在相位上，电感元件的电压相位超前电流相位900，电压电流的相量图如图3-12 所示。电感元件的阻抗为：2021/9/122021/9/123030电感元件的阻抗为：(ui)=L900=jL=jXL电感元件的相量模型如图3-13所示。2021/9/122021/9/123131 3正弦交流电路中电感功率计算 电感元件吸收的瞬时功率为p=ui，电感元件吸收的磁场能量为其瞬时功率p对时间的积分，即：可以认为在时，则上式便可写为：从时间t1到t2电感元件吸收的磁场能
13、为：2021/9/122021/9/1232323.3.3 电容元件电容元件 1电容元件 电容元件具有容纳电荷的特性，通常简称为电容，电路符号如图3-14所示。任一时刻其所存储的电荷q和端电压u之间具有如下线性关系：q=Cu 电容的单位为法拉（F），常采用微法（uF）或皮法（pF）。电容元件的特性称为库伏特性，如图3-15所示。直线的斜率即为电容C。库伏特性表明q与u的比值C是一个常数。2021/9/122021/9/1233332电容元件的电压电流关系和相量形式1）电容元件电压电流的关系由库伏特性，有：2021/9/122021/9/123434电容元件电压、电流的相量图如图3-16所示。2
14、021/9/122021/9/123535电容元件的阻抗为：电容元件的相量模型如图3-17所示。2021/9/122021/9/123636 3正弦交流电路中电容功率计算 在电压u和电流i的关联参考方向下，电容元件吸收的瞬时功率为p=ui。电容元件吸收的电场能量是瞬时功率p从到t的积分，即，2021/9/122021/9/123737从时间t1到t2电容元件吸收的磁场能为：当电容元件充电时，u(t2)u(t1),W(t2)W(t1)，表明在这段时间内元件吸收能量；当电容元件放电时，W(t2)W(t1)，表明在这段时间内元件释放能量。2021/9/122021/9/1238382021/9/12
15、2021/9/1239393.4 RLC串联、并联交流电路串联、并联交流电路3.4.1 RLC3.4.1 RLC串联交流电路串联交流电路串联交流电路串联交流电路3.4.2 RLC3.4.2 RLC并联交流电路并联交流电路并联交流电路并联交流电路退退退退 出出出出2021/9/122021/9/1240403.4.1 RLC串联交流电路串联交流电路2021/9/122021/9/124141根据基尔霍夫电压定律，可以求出电路的总电压u的相量为：电阻元件的电压相量为：相应的时间函数式为：2021/9/122021/9/124242电感元件的电压相量为：相应的时间函数式为：同时说明电感元件的电压超前
16、电流相位900。电容元件的电压相量为：2021/9/122021/9/124343相应的时间函数式为：同时说明电容元件的电压滞后电流相位900。RLC串联电路的电压相量为：2021/9/122021/9/124444相应的时间函数式为：RLC串联电路的阻抗相量为：阻抗的模为：2021/9/122021/9/124545 【例3-2】在由电阻、电感和电容所组成的串联电路中，已知R=7.5，L=6mH，C=5uF，外加电压源为求：（1）电流的有效值和瞬时值的表达式；（2）各元件上电压有效值与瞬时值的表达式。解：（1）先计算RLC串联电路的阻抗：感抗：XL=L=50006103=30容抗：电抗：X=
17、XLXC=3040=10电路阻抗：Z=R+jX=7.510j=12.5(53.130)2021/9/122021/9/1246462021/9/122021/9/1247472021/9/122021/9/1248483.4.2 RLC并联交流电路并联交流电路设输入电压 电路的相量模型如图3-20所示。2021/9/122021/9/124949可以求出电路的电导为电阻元件的电流相量及电流的时间函数式为2021/9/122021/9/125050电感元件的电流相量及电流的时间函数式为电容元件的电流相量及电流的时间函数式为 2021/9/122021/9/125151端电流相量为式中，导纳的模、
18、辐角分别为：2021/9/122021/9/125252由端电流相量可写出其时间函数式：显然，端电流的有效值为|Y|U，初相位为 。RLC并联交流电路电压、电流相量图如如图3-21所示。电流三角形如图3-22所示。2021/9/122021/9/125353RLC并联电路的导纳还可以写为：导纳的模可以用电导与电纳表示：可知，|Y|、G与B之间可用导纳三角形表示，如图3-23所示。2021/9/122021/9/125454 【例3-3】在电阻、电容与电感元件组成的并联电路中，已知R=10，C=12uF，L=20mH，电路端电流I=0.56A，外加电压源的角频率=5000rad/s。求：（1）端
19、电压的相量；（2）各元件电流相量。电导：感纳：容纳：电路的导纳:端电压相量为:2021/9/122021/9/125555（2）电阻元件的电流相量为电感元件的电流相量为 电容元件的电流相量为相量图如图3-24所示。2021/9/122021/9/1256563.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.5.1 3.5.1 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.5.2 3.5.2 功率因数的意义及提高功率因数的方法功率因数的意义及提高功率因数的方法功率因数的意义及提高功率因数的方法功率因数的意义及提高功率因数的方法退退退退 出出出出2021/9/12202
20、1/9/1257573.5.1 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 1瞬时功率 瞬时功率用小写字母p表示，其定义为：能量对时间的导数，由同一时刻的电压与电流的乘积来确定。即，如果u(t)与i(t)的参考方向一致，则p(t)就是流入元件或电路的能量的变化，p(t)称为该元件（或电路）吸收的功率；如果p(t)0，就表示元件（或电路）消耗能量；反之，p(t)0，则表示元件（或电路）存储能量。对于电阻元件，吸收的能量被转化成热能而被消耗掉，因此，p(t)0。如果是动态元件电感L或电容C，吸收的能量则被储存起来，而在其他时刻再释放出来，因此，p(t)0。这样，p(t)的值可正可负。2021/9/122
21、021/9/1258581）电阻元件的瞬时功率为：余弦函数的值域为1，1，即 可见，电阻元件的瞬时功率是以2倍于电压的频率变化的，且电阻元件是耗能元件。2）电感元件的瞬时功率为：2021/9/122021/9/125959 如果u(t)与i(t)都为正值或负值时，p(t)0，说明此时电感元件吸收电场能并转化成磁场能存储起来；反之，p(t)0时，电感元件将其存储的能量向外释放。同样，电感元件的瞬时功率是以2倍于电压的频率变化的，且为储能元件。3）电容元件的瞬时功率为：如果u(t)与i(t)都为正值或负值时，p(t)0，说明此时电容元件向外释放能量；反之，p(t)0时，电容元件吸收电场能并转化成磁
22、场能存储起来。同样，电容元件的瞬时功率是以2倍于电压的频率变化的，且为储能元件。2021/9/122021/9/126060 2有功功率 由于瞬时功率的实际意义并不大，故使用时，常采用有功功率（也叫平均功率）。有功功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示，即，1）电阻元件电阻元件的有功功率为：2）电感元件电感元件的有功功率为：2021/9/122021/9/1261613）电容元件电容元件的有功功率为：3无功功率 对于RLC串联电路中，设电流为i(t)及端电压u(t)在关联参考方向下，分别为：则其瞬时功率为：2021/9/122021/9/1262622021/9/122021/
23、9/126363 4视在功率 关于视在功率，通常将电路电压与电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即S=UI。其单位为伏安（VA），有时也采用千伏安（kVA），视在功率不随cos的变化而变化，通常表示电气设备的额定容量。5功率三角形 根据上述介绍可得P、Q(Q=QLQC)、S之间的关系，为2021/9/122021/9/126464其彼此之间恰好能构成一个直角三角形，我们称之为功率三角形，如图3-25所示。2021/9/122021/9/1265653.5.2 功率因数的意义及提高功率因数的方法功率因数的意义及提高功率因数的方法 1提高功率因数的意义 在交流电路中，电源设备（如发电机、变压器
24、等）的额定容量为S=UI。当电源处于额定工作状态时，其输出功率为P=Scos，其中cos是负载的功率因数，由负载所决定。对于不同的负载，电源输出的有功功率是不同的。提高功率因数的意义主要表现在两个方面。1）减少输电线上的能量损耗和电压损失 提高功率因数可以减少输电线上的能量损耗和电压损失。因为I=，当负载有功功率P和电压U一定时，负载功率因数越低，电源供给负载的电流就越大。设线路电阻为r，线路损耗为I2r，线路的电流越大，输电线路上的损耗亦越大。同时，线路上电流的增大，造成线路上的电压降Ir增大，负载端电压下降，也影响负载的正常工作。2021/9/122021/9/126666 2）充分利用电
25、源设备的容量 另一方面，提高功率因数可以提高电气设备的利用率。例如一台容量为100kW的发电机，若功率因数cos=0.65时，发电机就能输出65kW的有功功率；若cos提高到0.9时，就能输出90kW的有功功率。可见功率因数越高，发电机输出的有功功率就越高，即提高了电源设备的利用率。2提高功率因数方法 功率因数不高的原因是电力负载大都是电感性负载。为了改善供电质量，提高电能的利用率，必须提高功率因数。按照供、用电规则，高压供电的工业、企业单位平均功率因数不得低于0.95，其他单位不得低于0.9。提高功率因数cos的最简便的办法，是利用电容与感性负载相并联，其电路图和相量图分别如图3-26（a）
26、、（b）所示。这样就可以使电感中的磁场能量与电容的电场能量交换，从而减少电源与负载间能量的互换。2021/9/122021/9/126767 为了能提高功率因数而又不影响负载的正常工作，电容应当与感性负载并联而不能串联。在并联电容之前，线路上的电感性负载电流IL滞后于电压U一个角1，如图3-26(b)所示，即，2021/9/122021/9/126868 并联电容器之后，电感性负载中的电流仍为IL，这是因为所加电压和负载参数没有改变，但线路总电流I减小，线路电流与电压之间的相位差2变小，即cos2变大。虽然感性负载的功率因数并未提高，但整个电路的功率因数提高了。为了将功率因数从cos1提高到c
27、os2。若并联电容前R、L电路消耗的功率为PL=UIL cos1，则并联电容后，由于电容上有功功率PC=0，所以并联电容后该电路的总功率P值与PL相同。电容支路的电流为：2021/9/122021/9/126969功率因数从cos1提高到cos2时需并入的电容器C的电容值为 当需要将负载功率因数从cos1提高到cos2时，所需的电容无功功率值为2021/9/122021/9/127070【例3-4】在图3-26所示电路中，有一感性负载的功率P=10kW，cos1=0.65，接入380V的电源上，频率为50Hz。试求：（1）把功率因数从0.5提高到0.9时所需并联补偿电容值；（2）并联电容前、后
28、电路中的电流值。解：（1）当cos1=0.65时，1=49.460，tan1=1.173；当cos2=0.9时，2=25.840，tan2=0.484。故所需并联补偿电容值2021/9/122021/9/127171（2）并联电容C前、后电路中的电流为2021/9/122021/9/1272723.6 谐振谐振3.6.1 3.6.1 串联谐振串联谐振串联谐振串联谐振3.6.2 3.6.2 并联谐振并联谐振并联谐振并联谐振退退退退 出出出出2021/9/122021/9/1273733.6.1 串联谐振串联谐振串联谐振电路如图3-27(a)所示，相量图如3-27(b)所示。2021/9/1220
29、21/9/127474得出2021/9/122021/9/1275752串联谐振的特征电路处在串联谐振时，具有下列特征：（1）电源电压与电路中的电流同相，0，电路呈电阻性，电源供给电路的能量全部被电阻消耗，电感中磁场能与电容中电场能发生能量交换。（2）串联阻抗最小，电流最大。这时由于ZR，故电流I=最大。（3）因为XL=XC，所以UL=UC，UL与UC相位相反，互相抵消，对整个电路不起作用，电阻上电压就等于电源电压UUR。（4）当XL=XCR时，UL=UCUR，又因谐振时U=UR，所以UL=UCU。可见，当电路发生谐振时，会出现电感和电容上的电压UL、UC超过电源电压U许多倍的现象，因此串联谐
30、振又称电压谐振。2021/9/122021/9/127676 3品质因数Q 在电工电子技术中，串联谐振电路中电感和电容上的电压UL、UC高出电源电压U的倍数用品质因数Q表示。即 由上式可知，当XLXCR时，品质因数Q很高，电感电压或电容电压将大大超过外加电源电压。这种高电压有可能击穿电感线圈或电容器的绝缘介质而损坏设备。因此，在电力工程中一般应避免电压谐振或接近谐振情况的发生。但在通信工程中，恰恰相反，由于工作信号比较微弱，往往利用电压谐振获得对应于某一频率信号的高电压，从而达到选频的目的。2021/9/122021/9/127777 【例3-5】在图3-28(a)所示电路中，已知线圈L2的电
31、阻R20，L0.25 mH，为了接收到某电台560 kHz的信号，试求：（1）可变电容C应调至何值；（2）电路的品质因数Q；（3）当输入电压U10V时，求谐振电流及此时调谐电容上的端电压UC；（4）对另一个820kHz电台的信号，此时电路中的电流以及电容上的电压各为多少?2021/9/122021/9/1278782021/9/122021/9/127979UCQU4410106440（V）当f=820kHz时0=2f23.148201035.1510(rads)2021/9/122021/9/1280802021/9/122021/9/1281813.6.2 并联谐振并联谐振并联谐振如图3-
32、29所示，其相量图如图3-29（b）所示。2021/9/122021/9/1282821并联谐振的条件由电路可得若要使得电压与电流同相位，电路呈电阻性，上式必须满足虚部为零的条件，即必须有：得出并联谐振的角频率为：并联的谐振频率为：2021/9/122021/9/128383 2并联谐振的特征 并联谐振时，电路具有以下待征：（1）电路两端电压与电流同相位，电路呈电阻性。（2）电路的并联阻抗最大，电流最小。这时由于Z=R，因此，当电压U一定时，电路中的总电流达到最小。（3）电感电流与电容电流大小相等，相位相反，互为补偿，电路总电流等于电阻支路电流。（4）各并联支路的电流为：2021/9/1220
33、21/9/128484 在并联谐振时，IC=IL，但它们可以比并联电路总电流大许多倍，因此，并联揩振也称为电流谐振。3品质因数Q 并联谐振电路中，电感和电容支路的电流IL、IC与总电流I之比称为并联谐振的品质因数，且，2021/9/122021/9/128585本章小结本章小结n n1 1以电流为例，正弦量的时间函数定义为以电流为例，正弦量的时间函数定义为 对于任意正弦量，当其幅值Im（或有效值I）、角频率（或频率f或周期T）和初相位称为正弦量的三要素。2同一电路中，u、i的初相位分别u和i，u与i的相位差为=(t+u)(t+i)=ui 若0，说明ui，则电压u比电流i先达到最大值（或零点），称电压u超前电流i一个相位角，或称电流i滞后于电压u一个相位角。超前与滞后是相对的，是指它们到达正最大值的顺序。0，则电压u滞后于电流i一个相位角。2021/9/122021/9/1286862021/9/122021/9/1287872021/9/122021/9/1288882021/9/122021/9/128989