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1、1.1 等腰三角形第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质一选择题（共8小题）1如图，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使DAB=EAC，则添加的条件不能为（）ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD2等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A80 B80或20C80或50D203已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均不对4 如图，在ABC中，AB=AC，A=40，BD为ABC的平分线，则BDC的度数是（）A60B70C75D805已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则
2、该三角形的周长是（）A8 B9 C10或12 D11或136.如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组 B2组 C3组 D4组7 在等腰ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A7 B11 C7或11 D7或108等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（）A60 B120 C60或150 D60或120二填空题（共10小题）9已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是_10如图，已知ABCD，AB=AC，ABC=68，则ACD=_第10题 第11题 第12题 第13题11如图，在ABC中，
3、AB=AC，ABC的外角DAC=130，则B=_12如图，ABCD，AE=AF，CE交AB于点F，C=110，则A=_13如图，在ABC中，AB=AC，BC=6，ADBC于D，则BD=_14如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=32，则BAC=_ 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题15.如图，AB与CD交于点O，OAOC，ODOB，A=50，B30，则D的度数为_.16如图，在ABC中，AB=AC，CD平分ACB，A=36，则BDC的度数为_17如图，在ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，BAD=20，则C=_18如图，在ABC中，AB=AC，A=80，E，F，P分别
4、是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则EPF=_度三解答题（共5小题）19已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，ODAB于D，OEAC于E求证：AD=AE20如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上求证：（1）ABDACD；（2）BE=CE21如图所示，BAC=ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系，并给出证明22如图，在ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC（1）上述四个条件中，由哪两个条
5、件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC23（1）如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于F，过F作DEBC，分别交AB、AC于点D、E判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是ABC的平分线和外角ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想参考答案一、CBBCDCCD二、9、50，50或80，20；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30；16、72；17、70；18、50三、19、证明：AB=AC，B=CODAB，OEAC，ODB=OEC=
6、90O是底边BC上的中点，OB=OC，在OBD与OCE中，OBDOCE（AAS）BD=CEAB=AC，ABBD=ACCE即AD=AE20、证明：（1）D是BC的中点，BD=CD，在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）； （4分）（2）由（1）知ABDACD，BAD=CAD，即BAE=CAE，在ABE和ACE中，ABEACE （SAS），BE=CE（全等三角形的对应边相等）（其他正确证法同样给分） （4分）21、解：OEAB证明：在BAC和ABD中，BACABD（SAS）OBA=OAB，OA=OB又AE=BE，OEAB答：OEAB22、（1）答：有、共4种情形（2）解：选择，证明如下：OB=
7、OC，OBC=OCB，又EBO=DCO，EBO+OBC=DCO+OCB，即ABC=ACB，AC=AB理由是：在BEO和CDO中，BEOCDO，EBO=DCO，OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，AB=AC，23、解：（1）成立；ABC中BF、CF平分ABC、ACB，1=2，5=4DEBC，2=3，4=61=3，6=5根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CEDE=DF+EF=BD+CE故成立（2）BF分ABC，DBF=FBCDFBC，DFB=FBCABF=DFB，BD=DFCF平分ACG，ACF=FCGDFBC，DFC=FCGACF=DFC，CE=EFEF+D
8、E=DF，即DE+EC=BD1.1 等腰三角形第2课时 等边三角形的性质1如图，ABC是等边三角形，则1+2=（）A60B90C120D180 第1题图 第2题图 第3题图2.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+的度数是（）A180 B220 C240 D3003.如图，等边ABC的边长为5个单位长度，ABCABC，BC=9，则线段BC的长为（）A1B2C4D54.下列说法：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；等腰三角形的两腰上的中线长相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40其中不正确的（）ABCD5.
9、如图，在正三角形ABC中，ADBC于点D，则BAD=_.6.若等边三角形的边长为2，则它的面积是_7.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100，则顶角的度数为_度，底角的度数为 _.8.如图，边长为4的等边AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为_（-2，-2） 第5题图 第8题图9如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F（1）求证：ABECAD；（2）求BFD的度数10如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由11已知，如图，延长ABC的各边，使得B
10、F=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：AEFCDE.1.1 等腰三角形第3课时 等腰三角形的判定与反证法一选择题（共8小题）1如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD，CE分别为ABC，ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A5个 B6个 C7个 D8个 第1题 第2题 第4题8 如图，坐标平面内一点A（2，1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A2 B3 C4 D53下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A三条边都相等的三角形D一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B有
11、一个锐角是45的直角三角形C一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形5 如图，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：OB=OC；EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD上述四个条件中，选择两个可以判定ABC是等腰三角形的方法有（）A2种 B3种 C4种 D6种5下列能断定ABC为等腰三角形的是（）AA=30，B=60BA=50，B=80CAB=AC=2，BC=4 DAB=3，BC=7，周长为136下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50的两个等腰三角形
12、全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A1个 B2个 C3个 D4个7已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A1，2，1 B2，2，1 C1，3，1 D2，2，58已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）ABCD二填空题（共10小题）9求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的_.10如图，BAC=100，B=40，D=20，AB=3，则CD=_ 第10题 第11题 第14题 第18题11如图，ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分ABC，
13、ACB，DE经过点M，且DEBC，则图中有_个等腰三角形12在ABC中，与A相邻的外角是100，要使ABC是等腰三角形，则B的度数是_13在ABC中，A=100，当B=_时，ABC是等腰三角形14如图，在ABC中AB=AC，A=36，BD平分ABC，则1=_度，图中有_个等腰三角形15若三角形三边长满足（ab）（ac）=0，则ABC的形状是_16如果一个三角形有两个角分别为80，50，则这个三角形是_三角形17在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_种18如图，已知AD平分EAC，且ADBC，则ABC一定是_三角形三解答题（共5小题）19.用反证法证明：等腰
14、三角形两底角必为锐角20如图，在ABC和DCB中，AC与BD相交于点OAB=DC，AC=BD（1）求证：ABCDCB；（2）OBC的形状是_（直接写出结论，不需证明）21已知：如图，OA平分BAC，1=2求证：ABC是等腰三角形22如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：DBO=ECO；BDO=CEO；BD=CE；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个可以判定ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明ABC是等腰三角形23如图，ABC中，A=36，AB=AC，CD平分ACB，试说明BCD是等腰三角形答案：一、DCDCBAB
15、A二、9、三个内角都小于60；10、3；11、5；12、80或50或20；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三 、19.证明：设等腰三角形底角B，C都是直角，则B+C=180，而A+B+C=180+A180，这与三角形内角和等于180矛盾设等腰三角形的底角B，C都是钝角，则B+C180，而A+B+C180，这与三角形内角和等于180矛盾综上所述，假设，错误，所以B，C只能为锐角故等腰三角形两底角必为锐角20、（1）证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（SSS）（2）解：ABCDCB，OBC=OCBOB=OCOBC为等腰三角形故填等腰三角形21、解
16、答：证明：作OEAB于E，OFAC于F，AO平分BAC，OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）1=2，OB=OCRtOBERtOCF（HL）5=61+5=2+6即ABC=ACBAB=ACABC是等腰三角形22.解：（1），和；（2）以为条件，理由：OB=OC，OBC=OCB又DBO=ECO，DBO+OBC=ECO+OCB，即ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形23.解：ABC中AB=AC，A=36B=ACB=（180A）=72CD平分ACBDCB=ACB=36在DBC中BDC=180BDCB=72=BCD=CB即BCD是等腰三角形1.1 等腰三角形第4课时 等边三角形的判定及
17、含30角的直角三角形的性质一选择题1如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A3.5 B4.2 C5.8 D7 第1题 第3题 第4题 2在ABC中，若AB=BC=CA，则ABC为等边三角形；若A=B=C，则ABC为等边三角形；有两个角都是60的三角形是等边三角形；一个角为60的等腰三角形是等边三角形上述结论中正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个3如图，已知D、E、F分别是等边 ABC的边AB、BC、AC上的点，且DEBC、EFAC、FDAB，则下列结论不成立的是（）ADEF是等边三角形 BADFBEDCFECDE=AB DSABC=3SD
18、EF4如图，在ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则BAC的度数是（）A30 B45 C120 D15 5已知AOB=30，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形二填空题6ABC中，A=B=60，且AB=10cm，则BC=_cm7在ABC中，A=B=C，则ABC是_三角形8如图，将两个完全相同的含有30角的三角板拼接在一起，则拼接后的ABD的形状是_ 第8题 第9题 第10题 9如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若EC=1，则EF=_10如图
19、，M、N是ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN则BAN=_三解答题11.如图，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且1=2=60.求证：ABC是等边三角形.12.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，ADE是等边三角形吗？说明理由.13如图，ABC中，C=90，ABC=60，BD平分ABC，若AD=6，求AC的长14.如图，ABC中，ACB=90，CD是ABC的高，A=30，AB=4，求BD长15.如图，已知ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分ACD，CE=BD，求证：ADE是等边三角形。1.2 直角三角形第1课时 直角
20、三角形的性质与判定1.直角三角形的一个锐角是23，则另一个锐角等于（）A23B63C67D772.如图，ACB=90，CDAB，垂足为D，下列结论错误的是（）A图中有三个直角三角形B1=2C1和B都是A的余角D2=A3.满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（）AC=A+BBa：b：c=3：4：5CC=A-BDA：B：C=3：4：54.直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm，斜边为20cm，则斜边上的高为（）A8cmB10cmC9.1cmD9.6cm5.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm6.在RtABC中，C=90，若a：b=3：4，
21、c=20，则a= _，b= _7.在下列条件中：A+B=C，A：B：C=1：2：3，A=90-B，A=B=C中，能确定ABC是直角三角形的条件有_（填序号）.8.如图，C=ABD=90，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于_第8题图 第9题图 第10题图9.如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A=70，BCE=30，则EBF的度数是_，FBC的度数是_10.如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，DEAC，则图中共有_个直角三角形11.如图所示，在ACB中，ACB=90，1=B（1）求证：CDAB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长12.在直角ABC中，AC
22、B=90，B=30，CDAB于D，CE是ABC的角平分线（1）求DCE的度数（2）若CEF=135，求证：EFBC13.如图，四边形ABCD中，ABBC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积14.如图，每个小正方形的边长为1，请说明ABC的形状并求出ABC的面积1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等2. 如图,B=D=90，BC=CD，1=30，则2的度数为( )A. 30 B. 60 C. 30和60之间 D. 以上都不对
23、 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS4. 已知在ABC和DEF中,A=D=90,则下列条件中不能判定ABC和DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.C=F,BC=EF5. 如图,ABEFDC,ABC=90,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) 有两条直角边对应相等; 有两个锐角对应相等; 有斜边和一条直角边对应相等; 有一条直角边和
24、一个锐角相等; 有斜边和一个锐角对应相等; 有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）AB CD8. 如图，已知AD是ABC的BC边上的高，下列能使ABDACD的条件是（）AAB=ACBBAC=90CBD=ACDB=45二、填空题: 9.有_和一条_对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“_”. 10.判定两个直角三角形全等的方法有_.11.如图，已知ACBD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使ABPCDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_12.如图，在
25、RtABC和RtDCB中，AB=DC，A=D=90，AC与BD交于点O，则有_，其判定依据是_，还有_，其判定依据是_ 第11题图 第12题图 第13题图13.如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则ABC=_ 第14题图 第15题图 第16题图14.如图，已知1=2=90，AD=AE，那么图中有 对全等三角形.15.如图，RtABC中，C=90，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_时，ABCAPQ16.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若
26、BD=4cm，CE=3cm，则DE=_cm . 17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABC+DFE=_度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为_m. 第17题图 第18题图三、解答题:19. 如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明 20.在ABC中,AB=CB,ABC=90,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: RtABERtCBF;(2)若CAE=30,求ACF度数.21
27、. 如图 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由22. 已知如图,AB=AC,BAC=90,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BDAE于D,CEAE于E,求证:BD=DE+CE.23. 如图,在ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作ADBC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M. (1)用圆规比较EM与FM的大小. (2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?参考答案一、选择题1.D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.C
28、8.A二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS、ASA、AAS、SAS、HL 11. BP=DP或AB=CD或A=C或B=D12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. 13. 45 14. 315. 4或8 16. 7 17. 90 18. 500 三、解答题19.解：（1）、 （写出其中的三对即可）. （2）以为例证明证明：在Rt和Rt中， RtRt.20.解：（1）ABC=90,CBF=ABE=90.在RtABE和RtCBF中,AE=CF, AB=BC, RtABERtCBF(HL)(2) AB=BC, ABC=90, CAB=ACB=45.BAE=CAB-CAE=45
29、-30=15.由（1）知 RtABERtCBF， BCF=BAE=15,ACF=BCF+ACB=45+15=60.21.（1）证明：在ACD与ABE中，A=A，ADC=AEB=90，AB=AC，ACDABE，AD=AE（2）互相垂直，在RtADO与AEO中，OA=OA，AD=AE，ADOAEO，DAO=EAO，即OA是BAC的平分线，又AB=AC，OABC22.证明：BDAE于D,CEAE于EADB=AEC=90BAC=90ABD+BAD=CAE+BADABD=CAE在ABD和CAE中ABDCAE(AAS)BD=AE,AD=CEAE=AD+DEBD=CE+DE 23. 解：(1)EM=FM(2
30、)作EHAM,垂足为H,FKAM,垂足为K先说明RtEHARtADB 得EH=ADRtFKARtADC 得FK=AD 得EH=FK在RtEHK与RtFKM中,RtEHMRtFKM得EM=FM.1.2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定一、选择题1在RtABC和RtABC中，C=C=90，A=B，AB=BA，则下列结论中正确的是（ ）A.AC=ACB.BC=BCC.AC=BCD.A=A2下列结论错误的是()A全等三角形对应边上的高相等B全等三角形对应边上的中线相等C两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等3两个直角三角
31、形全等的条件是（ ）A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等C.一条边对应相等 D.一条斜边和一直角边对应相等4ABCD（第4题）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A BCD5如图所示，ABC中，AB=AC，ADBC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）A.1 B.2C.3D.4 二、填空题6 如图，DEAB， DFAC， AEAF，请找出一对全等的三角形： 7如图，已知ACBD，BC=CE，AC=DC.试分析B+D= .8如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与 分别是的中点，可证得 ，理由是 ，于是是 的中点三、解答题
32、9如图，已知分别是两个钝角和的高，如果，求证：参考答案1C 2D 3D 4C 5D 6 790 8，HL，9根据“”证，再根据“”证，即1.3 线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A6B5C4D3第1题图 第2题图 第5题图 2如图，AC=AD，BC=BD，则有（）AAB垂直平分CDBCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACB3下列说法中错误的是（）A过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C线段有且只有一条垂直平分线D线段的垂直平分线是一条直线4到ABC的三个顶点距离相等的点是ABC的（）A三边垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D三边中线的交点5如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的平分线交AD于E，连接EC；则AEC等于（）A100B105C115D1206如图，ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A48B24C12D67如图，ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交A