《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第8节 曲线与方程 教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第8节 曲线与方程 教案.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2求动点的轨迹方程的基本步骤 常用结论 1“曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解”的充分不必要条件 2曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是
2、两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 2 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( ) (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1到点 F(0，4)的距离比到直线 y5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为( ) Ay16x2 By16x2 Cx
3、216y Dx216y C 由题意可知，动点 M 到点 F(0，4)的距离等于到直线 y4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0，4)为焦点，以 y4 为准线的抛物线，其轨迹方程为 x216y. 2P 是椭圆x29y251 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则PM 中点的轨迹方程为( ) A.49x2y251 B.x2945y21 C.x29y2201 D.x236y251 B 设中点坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)， 代入椭圆方程得x2945y21.故选 B. 3若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2分别与 x 轴，y 轴交于 A，B两点，则 A
4、B 中点 M 的轨迹方程为_ xy10 设 M 的坐标为(x，y)，则 A，B 两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接 PM，l1l2. |PM|OM|， 而|PM| （x1）2（y1）2，|OM|x2y2. 3 （x1）2（y1）2 x2y2， 化简，得 xy10，即为所求的轨迹方程 4 已知线段 AB 的长为 6， 直线 AM， BM 相交于 M， 且它们的斜率之积是49，则点 M 的轨迹方程是_ x29y241(x 3) 以 AB 所在直线为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系(图略)，则 A(3，0)，B(3，0)设点 M 的坐标为(x，y)，则直线A
5、M 的斜率 kAMyx3(x3)，直线 BM 的斜率 kBMyx3(x3)由已知有yx3yx349(x 3)，化简整理得点 M 的轨迹方程为x29y241(x 3) 考点 1 直接法求轨迹方程 直接法求曲线方程的关注点 (1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点 (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等 已知动点 P(x，y)与两定点 M(1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数 (0) (1)求动点 P 的
6、轨迹 C 的方程； (2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 解 (1)由题意可知， 直线PM与PN的斜率均存在且均不为零， 所以kPM kPNyx1yx1，整理得 x2y21(0，x1) 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y21(0，x1) (2)当 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； 4 当10 时，轨迹 C 为中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1，0)，(1，0) 当 1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点) 直接法求曲线
7、方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性，检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义 教师备选例题 (2016 全国卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 解 由题意知 F12，0 ， 设直线 l1的方程为 ya，直线 l2的方程为 yb， 则 ab0，且 Aa22，a ，Bb22，b
8、，P12，a ，Q12，b ，R12，ab2.记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0. (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1ab1a2aba2ab1aababb01212k2. 所以 ARFQ. (2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)， 则 SABF12|ba|FD|12|ba|x112， SPQF|ab|2. 5 由题意可得|ba|x112|ab|2， 所以 x10(舍去)，x11. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kABkDE
9、 可得2abyx1(x1) 而ab2y， 所以 y2x1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1，0)， 满足方程 y2x1. 所以所求的轨迹方程为 y2x1. 已知两点 M(1，0)，N(1，0)且点 P 使MP MN，PM PN，NM NP成公差小于 0 的等差数列，则点 P 的轨迹是什么曲线？ 解 设 P(x，y)，由 M(1，0)，N(1，0)得 PMMP(1x，y)， PNNP(1x，y)， MNNM(2，0)， 所以MP MN2(1x)，PM PNx2y21， NM NP2(1x) 于是MP MN，PM PN，NM NP是公差小于 0 的等差数
10、列等价于x2y21122（1x）2（1x），2（1x）2（1x）0. 即x2y23，x0. 所以点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3为半径的右半圆(不含端点) 6 考点 2 定义法求轨迹方程 (1)若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由定义易求得圆锥曲线方程中的关键量，则往往用圆锥曲线的定义法求解 (2)应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程 解 由已知得
11、圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2) 母题探究 1把本例中圆 M 的方程换为：(x3)2y21，圆 N 的方程换为：(x3)2y21，求圆心 P 的轨迹方程 解 由于点 P 到定点 N(1，0)和定直线 x1 的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点
12、 P 的轨迹是以 N(1，0)为焦点，以 x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为 y24x. 2在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x1 相切，求圆心 P的轨迹方程 解 由已知条件可知圆 M 和 N 外离， 所以|PM|1R， |PN|R1， 故|PM|PN|(1R)(R1)2|MN|6，由双曲线的定义知点 P 的轨迹是双曲线的右支， 其方程为 x2y281(x1) 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 7 1.在ABC 中， |BC|4， ABC 的内切圆切 BC 于 D
13、点， 且|BD|CD|2 2，则顶点 A 的轨迹方程为_ x22y221(x 2) 以 BC 的中点为原点， 中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系，E，F 分别为两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|. 所以|AB|AC|2 2， 所以点 A 的轨迹为以 B，C 为焦点的双曲线的右支(y0)，且 a 2，c2， 所以 b 2， 所以轨迹方程为x22y221(x 2) 2(2019 长春模拟)已知椭圆 C1：x2a2y21(a1)的离心率 e22，左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴，动直线 l2垂直 l1于点 P，线段 PF2的垂直平分线交 l
14、2于点 M，求点 M 的轨迹 C2的方程 解 由 e2c2a2a21a212，得 a 2，c1， 故 F1(1，0)，F2(1，0)， 由条件可知|MP|MF2|， 点 M 的轨迹是以 l1为准线，F2为焦点的抛物线， C2的方程为 y24x. 考点 3 相关点(代入)法求轨迹方程 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1f（x，y），y1g（x，y）； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 (4)检验：注意检验方程是否符合题意 (2017 全国卷)设
15、O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22y21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM. 8 (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x3 上，且OPPQ1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解 (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)， 则 N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0) 由NP 2NM得 x0 x，y022y. 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x22y221. 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. (2)证明：由题意知 F(1，0)设 Q(3，t)，P(m，n)，则 OQ(3，t)
16、，PF(1m，n)，OQ PF33mtn， OP(m，n)，PQ(3m，tn) 由OP PQ1 得3mm2tnn21， 又由(1)知 m2n22，故 33mtn0. 所以OQ PF0，即OQPF. 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F. 本例第(1)问在求解中巧用“NP 2NM”实现了动点 P(x， y)与另两个动点 M(x0，y0)，N(x0，0)之间的转换，并借助动点 M 的轨迹求得动点 P 的轨迹方程；对于本例第(2)问的求解，采用的是“以算待证”的方法，即求得 l 的方程后，借助直线系的特点，得出直线过定点 教师备选例题 在
17、直角坐标系 xOy 中，长为 21 的线段的两端点 C，D 分别在 x 轴、y 轴上滑动，CP 2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，OMOAOB，当点 M9 在曲线 E 上时，求四边形 AOBM 的面积 解 (1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y) 由CP 2PD，得(xm，y) 2(x，ny)， 所以xm 2x，y 2（ny），解得m（ 21）x，n212y， 由|CD| 21，得 m2n2( 21)2， 所以( 21)2x2（ 21）22y2( 21)2， 整理，得曲线 E 的方程为 x2
18、y221. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由OMOAOB，知点 M 坐标为(x1x2，y1y2) 由题意知，直线 AB 的斜率存在 设直线 AB 的方程为 ykx1，代入曲线 E 的方程，得 (k22)x22kx10， 则 x1x22kk22，x1x21k22. y1y2k(x1x2)24k22. 由点 M 在曲线 E 上， 知(x1x2)2（y1y2）221， 即4k2（k22）28（k22）21， 解得 k22. 这时|AB|1k2|x1x2|3（x1x2）24x1x23 22， 原点到直线 AB 的距离 d11k233， 所以平行四边形 OAMB 的面积 S|AB| d
19、62. 10 1.(2019 太原模拟)已知 F1，F2分别为椭圆 C：x24y231 的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为( ) A.x236y2271(y0) B.4x29y21(y0) C.9x243y21(y0) Dx243y21(y0) C 依题意知 F1(1，0)，F2(1，0)，设 P(x0，y0)(y00)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得xx0113，yy03，即x03x，y03y， 代入椭圆 C：x24y231， 得重心 G 的轨迹方程为9x243y21(y0) 2.(2019 沂州一中月考)如图所示，动圆 C1：x2y2
20、t2，1t3 与椭圆 C2：x29y21 相交于 A，B，C，D 四点点 A1，A2分别为 C2的左、右顶点，求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程 解 由椭圆 C2：x29y21，知 A1(3，0)，A2(3，0)， 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)， 直线 AA1的方程为 yy0 x03(x3) 直线 A2B 的方程为 yy0 x03(x3) 由相乘得 y2y20 x209(x29) 又点 A(x0，y0)在椭圆 C2上，故 y201x209. 将代入得x29y21(x3，y0) 因此点 M 的轨迹方程为x29y21(x3，y0)