《2022届高三数学一轮复习（原卷版）9．5 曲线与方程.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）9．5 曲线与方程.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 95 曲线与方程曲线与方程 1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系： (1)_ (2)_ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的_，用有序实数对(x，y)表示曲线上_M 的坐标 (2)写出_的点 M 的集合：PM|p(M) (3)用_表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0 (4)化方程 f(x，y)0 为_形式 (5)说明以化简后的方程的_为坐标的_都在曲线上 注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当
2、说明， 另外， 也可以根据情况省略步骤(2) 3求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法： 直接利用条件建立 x， y 之间的关系f(x，y)0也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明 (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数 (4)相关点法： 动点 P(x， y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化， 并且 Q(x0， y0)又在某已知曲线上，首先用 x，y 表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得到要求
3、的轨迹方程 (5)交轨法：动点 P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程 (6)参数法： 当动点 P(x， y)的坐标之间的关系不易找到， 可考虑将 x， y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程 f(x，y)0 (4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程 自查自纠： 1(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2(1)坐标系 任意一点 (2)适合条件 p (3)坐标 (4)最简 (5)解 点 方程 x2y2
4、0 表示的曲线是 ( ) A B C D 解：y2x2等价于 y x故选 C “点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程 2 xy0”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 解：当点 M 的坐标满足方程 2 xy0 时，将2 xy0 变形得 y24x，即点 M 在曲线 y24x上反之未必成立，例：点 M(4，4)在曲线 y24x上，但其坐标不满足方程 2 xy0故选 B 已知 M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点 P 的轨迹是 ( ) A双曲线 B双曲线左支 C一条射线 D双曲线右支 解：由于|PM|PN|MN|，所以 A，B，D
5、 不正确，动点 P 的轨迹应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线故选 C 已知 M(2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 2 _ 解：连接 OP，则|OP|2，所以点 P 的轨迹是去掉 M，N 两点的圆，所以方程为 x2y24(x 2)故填 x2y24(x 2) 已知圆 x2y24 上一点 M(1， 3)满足OM PM0， 则点 P 的轨迹方程为_ 解：设 P(x，y)，则OMPM(1， 3) (1x，3y)1x3 3y0， 即点 P 的轨迹方程为 x 3y40 故填 x 3y40 类型一类型一 已知方程判断曲线已知方程判断曲线 |y|1 1
6、（x1）2表示的曲线是 ( ) A抛物线 B一个圆 C两个圆 D两个半圆 解：原方程|y|1 1（x1）2等价于 |y|10，1（x1）20，（|y|1）21（x1）2，得y1，（x1）2（y1）21或 y1，（x1）2（y1）21 所以原方程表示(x1)2(y1)21(y1)和(x1)2(y1)21(y1)两个半圆故选 D 点 拨： 化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对值的式子须进行分类讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析 方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是 ( ) A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条直线和一条射线 解： 原方程可化为2x3y10，x
7、30或 x310，即 2x3y10(x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线故选 D 类型二类型二 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程 已知动点 P(x，y)与两定点 M(1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数 (0) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 解：(1)由题意可知，直线 PM 与 PN 的斜率均存在且均不为零，所以 kPMkPNyx1yx1，整理得 x2y21(0，x1) 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y21(0， x1) (2)当 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当
8、10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆，除去点(1，0)，(1，0) 当 1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点) 点 拨： 直接法求曲线的轨迹方程时，建立适当的坐标系非常重要建立适当的直角坐标系一般应遵循两原则：对称性原则：坐标轴为曲线的对称轴，坐标原点为曲线的对称中心；过原点原则：在优先满足的情形下，尽量让曲线经过原点，这样方程可减少一个常数项直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代
9、换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性，即“去杂” (1)(2018大同模拟)与 y 轴相切并与圆 C：x2y26x0 也相外切的圆的圆心的轨迹方程为_ 解：x2y26x0 可化为(x3)2y29，即圆 3 C 是以(3，0)为圆心，3 为半径的圆 当动圆在 y 轴右侧时，动圆圆心 P 到圆心 C(3，0)的距离等于点 P 到定直线 x3 的距离，所以 P点的轨迹是以(3，0)为焦点的抛物线其方程为 y212x(x0) 当动圆在 y 轴左侧时，其圆心在 x 轴的负半轴上，其方程为 y0(x0)
10、故填 y212x(x0)或 y0(x0) (2)(2018郑州模拟)已知长为1 2的线段AB的两个端点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上滑动，P 是 AB上一点，且AP22PB，则点 P 的轨迹方程为_ 解：设 A(x0，0)，B(0，y0)，P(x，y)， 则AP(xx0，y)，PB(x，y0y)， 因为AP22PB， 所以 xx022x，y22(y0y)， 得 x0(122)x，y0(1 2)y 因为|AB|1 2，即 x20y20(1 2)2， 所以(122)x2(1 2)y2(1 2)2， 化简得x22y21 所以点 P 的轨迹方程为x22y21 故填x22y21 类型三类型三 几何法
11、求轨迹方程几何法求轨迹方程 (2016长沙模拟)ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_ 解： 如图， 令内切圆与三边的切点分别为 D， E，F， 可知|AD|AE|8， |BF|BE|2， |CD|CF|， 所以|CA|CB|AE|BE|8263) 故填x29y2161(x3) 点 拨： 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，从而得出动点的轨迹方程的方法叫几何法几何法通过挖掘图形的几何属性，联想有关的定义和性质，建立适当的等量关系，开阔了思维视野，提高了解题的灵活性，简化了思维过程，减少了计
12、算量 (2016河南郑州一模)如图，PAB所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面 互相垂直，且 AD，BC，AD4，BC8，AB6，若 tanADP2tanBCP10，则点 P 在平面 内的轨迹是 ( ) A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 解：由题意知PAAD2PBBC10，则 PAPB40AB6，又因为 P，A，B 三点不共线，故点 P的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆的一部分故选 B 类型四类型四 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心P的轨迹为曲线C， 则
13、C的方程为_ 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23设圆 P的圆心为 P(x，y)，半径为 R 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2 的椭圆(左顶点除外)，则 a2，c1，故 b2a2c23所以 C 的方程为x24y231(x2)故填x24y231(x2) 4 点 拨： 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型， 再写出其方
14、程理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线等，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切， 建立适当的坐标系， 求动圆圆心 M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 解： 如图所示， 以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 由|O1O2|4，得 O1(2，0)、O2(2，0)设动圆 M 的半径为 r， 则由动圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1； 由动圆
15、 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2所以|MO2|MO1|3|PM| 所以点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点，长轴长为3 的椭圆 所以 a32，c1，b a2c254 所以轨迹方程为4x294y251 在平面直角坐标系中，已知 A1( 2，0)，A2( 2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，2)，若实数 使得 2OMONA1PA2P(O 为坐标原点)，求 P 点的轨迹方程，并讨论 P 点的轨迹类型 解：OM(x，1)，ON(x，2)， A1P(x 2，y)，A2P(x 2，y) 因为 2OMONA1PA2P， 所以 2(x22)x22y2， 整理得(12)x2y22(12) 当 1 时， 方程为 y0， 轨迹为一条直线； 当 0 时，方程为 x2y22，轨迹为圆； 当 (1，0)(0，1)时，方程为x22y22（12）1，轨迹为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆； 当 (，1)(1，)时，方程为x22y22（21）1，轨迹为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 8 9