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1、2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版） 专题05 指数函数、对数函数和幂函数 一、单选题1.若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）f（x2）的解集为（）A（，0）B（0，1）C（1，+）D（0，1）（1，+）【答案】C【分析】设幂函数f（x）x，由题意求得的值，可得不等式即 ，可得 0xx2，由此求得x的范围【解答】解：设幂函数f（x）x，由于它的图象过点（64，2），264，f（x）则f（x）f（x2），即 ，0xx2，x1，故原不等式的解集为（1，+），故选：C【知识点】幂函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域2.已知alog3，bln3，c20.99，则a，
2、b，c的大小关系为（）AbacBabcCcabDbca【答案】D【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】解：，a0，ln3lne1，b1，020.99201，0c1，bca，故选：D【知识点】对数值大小的比较3.已知x0，y0，a1，若a（）y+log2xlog8y3+2x，则（）Aln|1+x3y|0Bln|1+x3y|0Cln（1+3yx）0Dln（1+3yx）0【答案】C【分析】先利用指数、对数运算对已知式子进行变形，然后利用放缩法得到不等关系，最后构造函数，借助其单调性进行求解【解答】解：由题意可知，a（）3y+log2xlog2y+，令f（x），则f（x）f（3y），易知f（
3、x）在（0，+）上为增函数，由f（x）f（3y）得：x3y，3yx0，1+3yx1，ln（1+3yx）ln10，故选：C【知识点】对数的运算性质4.已知对数函数f（x）的图象经过点A（，2）与点B（27，t），alog0.1t，b0.2t，ct0.1，则（）AcabBcbaCbacDabc【答案】D【分析】设出f（x）logmx，（m0，且m1），根据图象过A，B即可求解m和t，借用中间值，即可比较大小【解答】解：由题意，设f（x）logmx，（m0，且m1），根据图象过A，即2，可得m3，则tlog3273，那么alog0.13log0.110，0b0.230.201，c30.1301，可得
4、abc；故选：D【知识点】指数函数的单调性与特殊点5.函数y|log2x|的图象是（）ABCD【答案】D【分析】要想判断函数f（x）|log2x|的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象【解答】解：f（x）则函数的定义域为：（0，+），即函数图象只出现在Y轴右侧；值域为：（0，+）即函数图象只出现在X轴上方；在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+）上递增的曲线分析A、B、C、D四个答案，只有D满足要求故选：D【知识点】对数函数的图象与性质6.千字文是我国传统的启蒙
5、读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为（）A2566B2567C2568D2569【答案】B【分析】由题可知，lgNlg（4.02×102567）2567+lg4.02，根据对数函数的特点即可求出【解答】解：由题可知，lgNlg（4.02×102567）2567+lg4.02因为14.0210，所以0lg4.021，所以lgN的整数部分为2567故选：B【知识
6、点】对数的运算性质7.已知函数f（x），g（x）x22x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）2g（a）0，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（，13，+）C1，3D（，3【答案】C【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为2，6，利用存在实数m，使f（m）2g（a）0，得出2g（a）的值域满足22a24a6，即可【解答】解：g（x）x22x，设a为实数，2g（a）2a24a，aR，y2a24a，aR，当a1时，y最小值2，函数f（x），f（7）6，f（e2）2，值域为2，6存在实数m，使f（m）2g（a）0，22a24a6，即1a3，故选：C【知识点】对数函数图象与性质的综合应用8.集合A
7、x|x1|2，则AB（）A（1，2）B（1，2）C（1，3）D（1，3）【答案】B【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集【解答】解：因为集合Ax|x1|2x|1x3，x|1x2，ABx|1x3x|1x2x|1x2故选：B【知识点】指数函数的单调性与特殊点、交集及其运算、绝对值不等式的解法9.若函数yf（x）与函数ylog2x互为反函数，则（）A9B11C16D18【答案】D【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果【解答】解：因为函数yf（x）与函数ylog2x互为反函数，所以f（x）2x，所以，故选：D【知识点】反函数10.对数函
8、数ylogax（a0且a1）与二次函数y（a1）x2x在同一坐标系内的图象可能是（）ABCD【答案】A【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案【解答】解：由对数函数ylogax（a0且a1）与二次函数y（a1）x2x可知，当0a1时，此时a10，对数函数ylogax为减函数，而二次函数y（a1）x2x开口向下，且其对称轴为x，故排除C与D；当a1时，此时a10，对数函数ylogax为增函数，而二次函数y（a1）x2x开口向上，且其对称轴为x，故B错误，而A符合题意故选：A【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质11.已知函数yf（x）（xR）满
9、足f（x+2）2f（x），且x1，1时，f（x）|x|+1，则当x10，10时，yf（x）与g（x）log4|x|的图象的交点个数为（）A13B12C11D10【答案】C【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数ylog4|x|的图象，结合图象容易解答本题【解答】解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）2f（x），当x1，1时，f（x）|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数ylog4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间10，10内共有11个交点；故选：C【知识点】对数函数图象与性质的综合应用、函数的图象与图象的变换12.定义在R上的函数f（x
10、）满足：f（x）f（x）恒成立，若x1x2，则f（x2）与f（x1）的大小关系为（）Af（x2）f（x1）Bf（x2）f（x1）Cf（x2）f（x1）Df（x2）与f（x1）的大小关系不确定【答案】A【分析】构造函数g（x），利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解：构造函数g（x），则，函数g（x）单调递增，若x1x2，g（x1）g（x2），即，f（x2）f（x1），故选：A【知识点】指数函数的单调性与特殊点、利用导数研究函数的单调性 二、多选题13.已知a，b均为正实数，若logab+logba，abba，则（）ABCD2【答案】AD【分析】设tlogab，代入化解求出t的值，得到a
11、的b关系式，由abba可求出a，b的值【解答】解：令tlogab，则t+，2t25t+20，（2t1）（t2）0，t或t2，logab或logab2ab2，或a2babba，代入得2bab2或b2aa2b2，a4，或a2b4或故选：AD【知识点】对数的运算性质14.已知axlgx，bylgy，cxlgy，dylgx，且x1，y1，则（）Ax，yR+，使得abcdBx，yR+，都有cdCx，y且xy，使得abcdDa，b，c，d中至少有两个大于1【答案】BD【分析】根据对数的定义可得lgalg2x，lgblg2y，lgclgxlgy，lgdlgxlgy，即可判断各选项【解答】解：axlgx，by
12、lgy，cxlgy，dylgx，且x1，y1，则lgalg2x，lgblg2y，lgclgxlgy，lgdlgxlgy，则x，yR+，都有cd，故B正确，A，C不正确，对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若x10，y10，则a1，b1，c1，d1，则假设不成立，故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确故选：BD【知识点】对数值大小的比较15.已知幂函数f（x）x的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A函数是偶函数B函数是增函数C当x1时，f（x）1D当0x1x2时，【答案】BCD【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：幂函数f（x）x的
13、图象经过点（16，4），所以164，解得，所以f（x）；所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域0，+）上的增函数；当x1时，f（x）f（1）1；画出f（x）在0，+）上的图象，如图所示：由图象知，当0x1x2时，；所以正确的选项是BCD故选：BCD【知识点】幂函数的性质16.若f（x）lg（|x2|+1），则下列命题正确的是（）Af（x+2）是偶函数Bf（x）在区间（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数Cf（x）没有最大值Df（x）没有最小值【答案】ABC【分析】直接利用函数的图象判断函数的单调区间，函数的对称性函数的最值，最后求出结果【解答】解：f（x）lg（|x2|+1），所以f（x+
14、2）lg（|x|+1）为偶函数，故A正确同时画出函数的图象，如图所示：所以函数在（，2）上为减函数，在（2，+）上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故A、B、C正确故选：ABC【知识点】对数函数图象与性质的综合应用 三、填空题17.已知幂函数yf（x）的图象过点（4，），则f（x）【分析】设f（x）xa，根据其图象过点（4，），则有4a，解可得a的值，代入f（x）xa中，可得函数的解析式，即可得答案【解答】解：根据题意，设f（x）xa，由于其图象过点（4，），则有4a，即alog4；即f（x）；故答案为：【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域18.设k2，1，2，若x（1，0）（0，1
15、），且xk|x|，则k取值的集合是【分析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求出结果【解答】解：令f（x）xk，由f（x）|x|，可知，幂函数f（x）的图象在y|x|的图象上方，如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，所以函数f（x）不是奇函数，所以k1，不符合，由于x（0，1），xkx，整理得1x1k，所以1k0，所以k1，故k2不符合，所以k2，即2，故答案为：2，【知识点】幂函数的性质19.函数yarccosx，x1，0的反函数f1（x）【分析】根据反函数的定义即可求出原函数的反函数为f1（x）cosx，并令cosx1，0解出x的范围，即为反函数的定义域【解答】解：由反函数的定义可
16、得f1（x）cosx，令cosx1，0，解得x，故答案为：cosx，x【知识点】反函数20.已知函数yf（x）在定义域R上是单调函数，值域为（，0），满足f（1），且对于任意x，yR，都有f（x+y）f（x）f（y）yf（x）的反函数为yf1（x），若将ykf（x）（其中常数k0）的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数yf1（x）的图象，则实数k的值为【答案】3【分析】由题意设f（x）ax根据f（1），解得a，在求解ykf（x）的反函数，向上平移1个单位，可得yf1（x），即可求解实数k的值；【解答】解：由题意，设f（x）yax，根据f（1），解得a3，f（x）y3x，那么xlog3（y）
17、，（y0），x与y互换，可得f1（x）log3（x），（x0），则ykf（x）k3x，那么x，x与y互换，可得y，向上平移1个单位，可得y+1，即log3（x），故得k3，故答案为：3【知识点】反函数21.若函数yf（x）的反函数f1（x）logax（a0，a1）图象经过点（8，），则f（）的值为【分析】先把已知点代入反函数的解析式，求出a 的值，再令反函数等于，求出x的值即为所求【解答】解：由已知可得loga8，即a8，解得a4，所以f1（x）log4x，再令log4x，即4x，解得x，由反函数的定义可得f（），故答案为：【知识点】函数的值、反函数22.设函数f（x）的反函数为f1（x），则
18、f1（2）【分析】直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果【解答】解：在中，令y2，得，所以故答案为：【知识点】反函数23.已知a，b，c，dR且满足1，则（ac）2+（bd）2的最小值为【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数x+3lnx与y2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解【解答】解：因为1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数yx+3lnx与y2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线yx+3lnx的切点，因为y1+，故点M处的切斜的斜率k1
19、+，由题意可得1+2，解得t3，也即当切线与已知直线y2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y2x+3的距离最近，最近距离d，也即（ac）2+（bd）2ln2，故答案为：ln2【知识点】对数的运算性质24.如图，已知过原点O的直线与函数ylog8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x图象交于C，D两点，若BCx轴，则四边形ABCD的面积为【分析】设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、
20、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x11，x21则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以 ，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于BC平行于x轴知log2x1log8x2，即得log2x1log2x2，x2x13代入x2log8x1x1log8x2得x13log8x13x1log8x1由于x11知log8x10，x133x1考虑x11解得x1于是点A的坐标为（，log8）即A（， log23）B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）梯形ABC
21、D的面积为S（AC+BD）×BC（ log23+log23）×2故答案为：【知识点】对数函数的图象与性质25.若函数yax（a0，a1）在区间1，2上的最大值和最小值之和为6，则实数a【答案】2【分析】两种情况：（1）当a1时，函数yax在区间1，2上是增函数，所以ymaxa2 ymina，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a6解得：a2或3（负值舍去）（2）0a1，函数yax在区间1，2上是减函数，所以：ymaxa ymina2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a6，解得：a2或3，因为0a1，所以都舍去【解答】解：（1）当a1时，函数yax在区
22、间1，2上是增函数，所以ymaxa2，ymina，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a6，解得：a2或3（负值舍去）；（2）0a1，函数yax在区间1，2上是减函数，所以：ymaxa，ymina2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a6，解得：a2或3，而0a1，故都舍去；故答案为：2【知识点】指数函数的图象与性质26.已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（，+），则c的所有取值构成的集合是【答案】0【分析】由题意可得，函数f（x）的值域为（，+），当a0，显然不合题意，则a0，此时yx2的值域为a2，+）；然后结合反比例函数的图象及函数y在（a，c）内有意义，可得c0，则答案
23、可求【解答】解：函数的反函数的定义域是（，+），即函数f（x）的值域为（，+），若a0，显然不合题意，则a0，此时yx2的值域为a2，+）；则需y的值域包含（，a2），结合函数y在（a，c）内有意义，则c0c的所有取值构成的集合是0故答案为：0【知识点】反函数27.已知函数f（x）|log3x|，实数m，n满足0mn，且f（m）f（n），若f（x）在m2，n的最大值为2，则【答案】9【分析】由题意f（x）|log3x|，正实数m，n满足mn，且f（m）f（n），即log3mlog3n，可得mn1对m2，n范围最大值的可能性进行讨论可求m，n的值【解答】解：f（x）|log3x|，正实数m，n满足mn，且f（m）f（n），log3mlog3n，mn1f（x）在区间m2，n上的最大值为2，函数f（x）在m2，1）上是减函数，在（1，n上是增函数，log3m22，或log3n2若log3m22是最大值，得m，则n3，此时log3n1，满足题意条件那么：同理：若log3n2是最大值，得n9，则m，此时log3m24，不满足题意条件综合可得 m，n3，故，故答案为9【知识点】对数函数的图象与性质