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1、考点08函数的奇偶性【命题解读】 函数的奇偶性是函数的一个重要性质，在高考的试题中是必考内容，奇偶性在求解过程中要注意函数的定义域的对称，奇偶性可以说是函数的一个“整体”性质，要与单调性区分开来。奇偶性的考察近几年的试题中主要是在函数图象等方面出现，整体难度中等。【命题预测】预计2021年的高考函数的奇偶性还是必考内容，在出题上多注意具有奇偶性函数的图象性质，以及借助函数的奇偶性求解函数的解析式等等。【复习建议】 集合复习策略：1.理解函数的奇偶性的概念以及具有奇偶性函数的图象性质；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.理解掌握函数奇偶性的具体应用。考向一函数的奇偶性及图象性质1奇函数：如果对于函
2、数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 ；奇函数图象关于原点成中心对称.2偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 ；偶函数图象关于y轴成轴对称.3函数具有奇偶性必备条件：(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.1. 【2019山东潍坊模拟】已知f(x)是定义在R上
3、的奇函数，当x0时f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为()A4 B4C6 D6【答案】B【解析】当x0时f(x)3xm(m为常数)，则f(0)30m0，则m1.f(x)3x1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(log35)f(log35)(3log351)4.故选B.2. 【2020四川省高三其他（理）】已知定义在R上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以，因为，所以，故选：C3. 【2019临沂三模】已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)
4、是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是()A. h(x) 的图像关于点 (1,0)对称B. h(x) 的图像关于点 (-1,0)对称C. h(x) 的图像关于直线x=1对称D. h(x) 的图像关于直线x=-1对称【答案】D【解析】设t=x+1,则x=t-1,h(x)=|f(x+1)|+g(x+1)等价于h(t-1)=|f(t)|+g(t),因为h(-t-1)=|f(-t)|+g(-t)=|-f(t)|+g(t)=|f(t)|+g(t)=h(t-1),所以h(x)的图像关于直线x=-1对称.故选D.考向二函数的奇偶性与单调性的综合运用1.
5、比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;2. 对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.1. 【2019甘肃天水月考】已知f(x)，则下列正确的是()A奇函数，在R上为增函数B偶函数，在R上为增函数C奇函数，在R上为减函数D偶函数，在R上为减函数【答案】A【解析】定义域为R，f(x)f(x)，f(x)是奇函数，ex是R上的增函数，ex也是R上的增函数，是R上的增函数，故选A.2. 【2020
6、辉县市第二高级月考】已知定义域为的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】由函数yf（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x1，且在1，+）上单调递增，所以不等式f（2x+1）1=f（3） |2x+11|）|31|，即|2x|2|x|1，解得-1所以所求不等式的解集为：.故选A3. 【2020江苏省期末】关于函数，下述结论正确的是（ ）A若是奇函数，则B若是偶函数，则也为偶函数C若满足，则是区间上的增函数D若，均为上的增函数，则也是上的增函数【答案】BD【解析】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；B. 若是偶函数， ，故，
7、也为偶函数，正确；C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数设，则，故单调递增，故正确；故选：.题组一（真题在线）1. 【2019年高考全国卷文数】设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=ABC D2. 【2019年高考全国卷文数】函数f(x)=在的图像大致为ABCD3. 【2020年高考天津】函数的图象大致为A BC D4. 【2020年新高考全国卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A B C D5. 【2020年高考江苏】 已知y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 6.
8、【2019年高考北京】设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_题组二1. 【2020·湖北省高三其他（理）】函数在的图象大致为ABCD2. 【2020北京四中高三开学考试】设是定义在上的奇函数，且，当时，.则的值为A-1B-2C1D23. 【2019河北邢台月考】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1，0上单调递减，则f(x)在1，3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数4. 【2019山东省实验中学诊断】函数f(x)在0，)上单调递减，且f(x2)的图象关
9、于x2对称，若f(2)1，则满足f(x2) 1的x取值范围是()A2，2 B(，22，)C(，04，) D0，45.【2019山东泰安阶段检测】偶函数f(x)在0，)单调递减，f(1)0，不等式f(x)0的解集为_.6. 【2019山东淄博月考】已知f(x)是定义域(1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m2)f(2m3)0，那么实数m的取值范围是_.7. 【2020巴蜀中学高三高考适应性月考】已知是定义域为的奇函数，且对任意实数，都有，则的取值范围是（ ）ABCD8.【2019贵州适应性考试】已知f(x)是奇函数，g(x). 若g(2)3，则g(2)_.题组一1.D【解析】由题意知
10、是奇函数，且当x0时，f(x)=，则当时，则，得故选D2.D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又，可知应为D选项中的图象故选D3.A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误.故选：A4.D 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或.解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D5. 【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：6. -1； .【解析】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是题组二1. A【解析】设，则，故为上的偶函
11、数，故排除B又，排除C、D故选：A2.B【解析】是奇函数,关于对称,又,关于对称,函数的一个周期为,.故选：B3.D【解析】根据题意， f(x1)f(x)，f(x2)f(x1) f(x)，函数的周期是2；又f(x)在定义域R上是偶函数，在1，0上是减函数，函数f(x)在0，1上是增函数，函数f(x)在1，2上是减函数，在2，3上是增函数，f(x)在1，3上是先减后增的函数4.D【解析】因为yf(x2)的图象向左平移2个单位可得到yf(x)的图象，所以由f(x2)的图象关于x2对称可知yf(x)的图象关于y轴对称，为偶函数，所以(，0上为增函数，且f(2)f(2)1，所以f(x2) 1只需2x2
12、2，解得0x4.5. 或【解析】f(x)在0，)上单调递减，且f(1)0，则可知x0，1)时f(x)0.由偶函数图象关于y轴对称，可知x(1，0时f(x)0.综上可得x(1，1)6. 【解析】f(x)是定义域(1，1)的奇函数，1x1，f(x)f(x)f(x)是减函数，f(m2)f(2m3)0可转化为f(m2)f(2m3)，f(m2)f(2m3)，1m.7. A【解析】 根据是定义域为的奇函数，由，得到，再利用函数的单调性，将恒成立，转化为恒成立求解.因为是定义域为的奇函数所以由，得，而且单调递增，所以恒成立，所以，解得.故选：A8. 【解析】由题意可得g(2)3，则f(2)1，又f(x)是奇函数，则f(2)1，所以g(2)1.