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1、专题5.3 三角函数的图象与性质新课程考试要求理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析等.高考预测（1） “五点法”作图；（2）三角函数的性质；（3）与不等式相结合考查三角函数定义域的求法（4）与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)（5）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质（6）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.【知识清单】知识点1正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定
2、义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.知识点2“五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【考点分类剖析】考点一 三角函数的定义域和
3、值域【典例1】（2021·上海高一课时练习）函数的定义域是_.【答案】【解析】首先根据正切函数的定义得到，再解不等式即可.【详解】因为，所以，解得，因为，所以故答案为：【典例2】（2017新课标2）函数fx=sin2x+3cosx-34（x0,2）的最大值是_【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则fx=1-cos2x+3cosx-34=-cos2x+3cosx+14= -(cosx-32)2+1，由x0,2可得cosx0,1，当cosx=32时，函数f(x)取得最大值1【规律方法】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数
4、图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_，_.【答案】 【解析】由已知得，解得.故答案为：；.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函数有意义，必须使.由正弦的定义知，就是角
5、的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.角的终边应在轴或其上方区域，.函数的定义域为.（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.函数的定义域为.【总结提升】在使用开平方关系sin±和cos±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论考点二 三角函数的单调性常见考题类型：1求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小.【典例3】（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）ABCD【答案】A【解析
6、】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，CD选项均不满足条件.故选：A.【典例4】（2020·河南洛阳高一期末（理）已知，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：.【典例5】（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理）函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由可得出的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，即可求得的最大值.【详解】，则，因为函数在区间内单
7、调递减，则，所以，解得，由，可得，因为且，则，.因此，正数的最大值为.故选：B.【规律方法】1.求形如或 (其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)2.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式
8、(组)求解(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.【变式探究】1.（2021·河南高一三模）已知函数，则（ ）AB在上单调递增C在上的最小值为D在上的最大值为【答案】C【解析】A.直接求解判断； B.由，得到，利用正弦函数的性质判断； CD.利用正弦函数的性质求解判断.【详解】A.，故错误；B.因为，所以，不单调，故错误；C.当，即时，取得最小值，且最小值为，在上无最大值，故正确，D错误.故选：C2. （2020·浙江柯城衢州二中高三其他）已知函数，则的最大值为_，若在区间上是增函数，则的取值范围是_
9、.【答案】2 【解析】因为函数，所以，所以的最大值为2，因为在区间上是增函数，所以，所以，解得.故答案为：(1). 2 (2). 3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文）已知函数求的单调增区间；【答案】，.【解析】因为在区间上单调递增，所以，解得所以的单调增区间为，.【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k，(kZ)后，仍是单调区间，且单调性相同2对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性
10、，即|sinx|1，|cosx|1(2)函数ysinx，xD，(ycosx，xD)的最值不一定是1或1，要依赖函数定义域D来决定(3)形如yAsin(x)(A>0，>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令xZ，将函数转化为yAsinZ的形式求最值3.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(，)，(，)，上都是增函数(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(，)(，)上是增函数考点三 三角函数的周期性【典例6】（2018年全国卷文）函数f(x)=tanx1+tan2x的最
11、小正周期为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 2【答案】C【解析】由已知得fx=tanx1+tan2x=sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosx=12sin2xf(x)的最小正周期T=22=故选C.【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般
12、说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【变式探究】（2021·全国高三月考（理）函数的最小正周期是_.【答案】【解析】利用余弦型函数的
13、周期公式可求得结果.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：.【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对x而言.考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2021·全国高三其他模拟）函数在上的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用奇函数的定义证得是奇函数，即可排除BC，利用当时，排除D，从而得出结果.【详解】因为，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，故排除B、C；当时，所以当时，排除D故选：A【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义
14、域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数y=cos2xlnx的图象可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得函数f(x)=cos2xlnx的定义域为(-,0)(0,+)，f-x=cos-2xln-x=cos2xlnx=f(x)，函数f(x)为偶函数，函数图象关
15、于y轴对称，故排除C,D又当x(0,1)时，fx<0，因此可排除B故选A【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(x)与f(x)的关系考点五 三角函数的对称性【典例8】（2021·安徽高三其他模拟（文）已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，；点是的一个对称中心；直线是函数的一条对称轴；函数的单调递增区间是.其中正确的（ ）ABCD【答案】D【解析】由题得，所以，所以正确；函数没有对称中心，对称轴方程为，故不正确，正确；令，得的单调递增区间是，故正确.【详解】因
16、为函数的最小正周期为，所以，所以正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故不正确，正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故正确.故选：D.【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理）关于函数有如下四个命题：的图像关于轴对称. 的图像关于原点对称.的图像关于直线对称. 的图像关于点对称.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】对于，定义域为，
17、显然关于原点对称，且，所以的图象关于y轴对称，命题正确；对于，则，所以的图象不关于原点对称，命题错误；对，则，所以的图象不关于对称，命题错误；对，则，命题正确.故答案为：.【特别提醒】1.求yAsin(x)或yAcos(x)函数的对称轴或对称中心时，应把x作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果2.正切函数图象的对称中心是(，0)而非(k，0)(kZ)考点六 三角函数的零点【典例9】（2021·全国高三其他模拟（理）函数在上的所有零点之和为（ ）ABCD【答案】B【解析】通过令，得到，分别画出两个函数图象，找交点即可【详解】令，得分别画出函数的图象，由图可知，的对称轴为，
18、的对称轴为所以所有零点之和为故选：B【总结提升】重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题【变式探究】（2021·河南商丘市·高一月考）函数的零点个数为（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3故选：B.考点七 三角函数中有关问题常见考题类型：1. 三角函数的周期T
19、与的关系；2.三角函数的单调性与的关系；3.三角函数的对称性、最值与的关系【典例10】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文）已知函数(>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】当时，所以所包含的两个零点为，则当时，求解可得的范围.【详解】解：因为，且>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.【典例11】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）函数在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】解法1：将问题等价转化为函数在内有且仅有一个极大值点的问题
20、；解法2：考虑函数在的最大值后再解不等式.【详解】解法1：因为，所以函数在内有且仅有一个极大值点等价于函数在内有且仅有一个极大值点.若在上有且仅有一个极大值点，则，解得.选项A正确.故选：A.解法2：令，可得极大值点，其中.由，可得，由题设这个范围的整数有且仅有一个，因此，于是正数的取值范围为，选项A正确.故选：A.【典例12】（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）ABC1D【答案】B【解析】先根据一条对称轴方程为可得，再由单调区间的长度小于等于半周期，解不等式即可得到答案；【详解】由题意得：故选：B.【典例
21、13】（2018年北京高考真题）设函数f（x）=cos(x-6)(>0)，若f(x)f(4)对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】23【解析】因为f(x)f(4)对任意的实数x都成立，所以f(4)取最大值，所以4-6=2k(kZ)，=8k+23(kZ)，因为>0，所以当k=0时，取最小值为23.【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题知，函数单增应满足，解得参数范围即可.【详解】由知，在区间上单增，应满足：，解得又，易知k只能取0，解得故选：B2.【多选题】（2021·全国
22、高三其他模拟）函数，若在上的最大值为1，则（ ）ABC，使在区间上为减函数D若的图象关于对称，则的最小值为【答案】AB【解析】对于A：利用直接求出；对于B：由在上的最大值为1，判断出，求得的范围；对于C：利用导数在0附近的区间是增区间，即可判断；对于D：由对称轴求出,进而最小即可判断.【详解】对于A：因为函数，即，又解得，故A正确；对于B：因为若在上的最大值为1，可得，解得：，故B正确；对于C：因为，所以，所以在0附近的区间是增区间，故C错误；对于D：因为的图象关于对称，可得：，解得：,因为，故当时，最小，故D错误.故选：AB3【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数的图象向
23、右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（ ）A函数与有相同的周期B函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同C若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则D若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则【答案】ACD【解析】先求出的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.【详解】本题考查三角函数的图象和性质函数的图象向右平移个单位长度得，所以函数与的周期都为，所以选项正确；函数的对称中心为，函数的对称中心为，当时，对称中心可以相同，所以选项不正确；若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则，解得，所以选项正确记，所以函数的图象与直线右边最近两个交点横坐标为和，左边最近两个交点横坐标为和
24、，令，得，所以，所以正确故选：ACD.考点八 三角函数的图象和性质的应用【典例14】（2021·全国高考真题（文）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A和B和2C和D和2【答案】C【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C【典例15】（2020·上海高三专题练习）函数的最大值是_，最小值是_.【答案】 【解析】即，故答案为：；【规律方法】1求形如yasinxb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1)求解2对于形如yAsin(x)k(A0)的函数，当定义域为R时，值域为
25、|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性4求形如y，ac0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sinx的二次函数求解注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性【变式探究】1.（2020·陕西新城西安中学高三月考（文）设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】令 ，则不等式 对 恒成立，因此 2. （2020·陕西省汉中中学（理）已知函数的周期是.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及其对应的的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】（1）解：,又,的单调递增区间为（2）解：,当时,当,即时,【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：异名函数化为同名函数；利用诱导公式把角化到同一单调区间上；利用函数的单调性比较大小