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1、淘宝店铺：漫兮教育第四节基本不等式1基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题知识点基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)易误提醒(1
2、)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性必记结论活用几个重要的不等式：(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)(5)(a>0，b>0，当且仅当ab时取等号)自测练习1下列不等式中正确的是()A若aR，则a29>6aB若a，bR，则2C若a，b>0，则2lglg alg bD若xR，则x2>1解析：a>0，b>0，.2lg2lg lg (ab)lg algB.答案：C2已知f(x)x2(x<0)，则f(x)
3、有()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：x<0，x>0，x22224，当且仅当x，即x1时等号成立答案：C3下列函数中，最小值为4的是()AyxBysin x(0<x<)Cyex4exDy解析：yx中x可取负值，其最小值不可能为4；由于0<x<，0<sin x1，ysin x>24，其最小值大于4；由于ex>0，yex4ex24，当且仅当ex2时取等号，其最小值为4；1，y2，当且仅当x±1时取等号，其最小值为2，故选C.答案：C4已知x>1，则x的最小值为_解析：x>1，x1>0，x(x1
4、)1415，当且仅当x1即x3时等号成立答案：5考点一利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a>0，b>0，ab1，求证：9.(2)设a，b均为正实数，求证：ab2.证明(1)法一：a>0，b>0，ab1，112.同理，12.52549.当且仅当，即ab时取“”9，当且仅当ab时等号成立法二：111，a，b为正数，ab1，ab2，当且仅当ab时取“”于是4，8，当且仅当ab时取“”189，当且仅当ab时等号成立(2)由于a，b均为正实数，所以2，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab22，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号利用基本不等式证明
5、不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等考点二利用基本不等式求最值|(1)已知x>0，y>0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2C2 D4(2)(2015·高考重庆卷)设a，b>0，ab5，则的最大值为_解析(1)由lg 2xlg 8ylg 2得，2x×23y2x3y2，即x3y1，×(x3y)2224，当且仅当即最小值为4.故选D.(2)()2
6、ab42·92·9ab418，所以3，当且仅当a1b3且ab5，即a，b时等号成立所以的最大值为3.答案(1)D(2)3条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值1(2016·长春调研)若两个正实数x，y满足1，并且x2y>m22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，2)4，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析：x2y(x2y)228，当且仅当，即4y2x2时等号成立由x2y>m22m恒
7、成立，可知m22m<8，m22m8<0，解得4<m<2，故选D.答案：D2(2016·洛阳统考)若正实数x，y，z满足x24y2z3xy，则当取最大值时，的最大值为()A2 B.C1 D.解析：zx24y23xy，x，y，z(0，)，1(当且仅当x2y时等号成立)，此时，令t>0，则tt2(当且仅当t1时等号成立)故选D.答案：D考点三基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设
8、该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解(1)由题意得，y，即yx1.5(xN*)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围
9、用对应函数的单调性求解3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC将ABC翻折，使点B落到点B的位置，AB交DC于点P.研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为()A22B32C2 D2解析：设ABx，DPy，则BC2x，PCxy.因为x>2x，故1<x<2.因为ADPCBP，故PAPCxy.由PA2AD2DP2，得(xy)2(2x)2y2，即y2，1<x<2.记ADP的面积为S，则S(2x)332，当且仅当x，即x时，S取得最大值32.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】(1)已知x>0，y&
10、gt;0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x<0)的最小值为_解析(1)x>0，y>0，xy(xy)332(当且仅当yx时取等号)当x1，y2时，(xy)min32.(2)x<0，y12x1(2x)1212，当且仅当x时取等号，故y的最小值为12.答案(1)32(2)12易误点评(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：12，2，xy24，得(xy)min4.(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x2.防范措施(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致跟踪
11、练习已知x，y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案：3A组考点能力演练1(2016·汉中一模)“a0，b0”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由a0，b0可得，当且仅当ab时取等号反之，若，则ab0，可得a0，b0，故选C.答案：C2(2016·杭州一模)设a>0，b>0.若ab1，则的最小值是()A2B.C4 D8解析：由题意2224.当且仅当，即ab时取等号，所以最小值为4.答案：C3若a>0，b>0且ab7，则的最小值为(
12、)A. B1C. D.解析：本题考查利用基本不等式求最值因为b7a，所以(a9a)·(414)1，当且仅当时取得等号，故选B.答案：B4设x，yR，a>1，b>1.若axby2，a2b4，则的最大值为()A1 B2C3 D4解析：由axby2得xloga 2，ylogb 2，2log2 alog2 blog2 (a2·b)log222(当且仅当a2b2时取等号)答案：B5若直线axby10(a>0，b>0)过曲线y1sin x(0<x<2)的对称中心，则的最小值为()A.1 B4C32 D6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式注意到曲
13、线y1sin x(0<x<2)的对称中心是点(1,1)，于是有ab1，·(ab)332，当且仅当，即ba(1)时取等号，因此的最小值是32，故选C.答案：C6(2016·济南一模)若实数x，y满足4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是_解析：设a2x，b2y，则a>0，b>0，由条件得a2b22(ab)，(ab)2a2b22ab2(a2b2)，当且仅当ab时取等号，(ab)24(ab)，ab4，又(ab)22(ab)2ab>0.ab>2，2<ab4，即2<t4.答案：(2,47(2015·郑州二模)已知a，b
14、均为正数，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为_解析：由于2是2a，b的等差中项，故2ab4，又a，b均为正数，故2ab24，当且仅当2ab2，即a1，b2时取等号，所以的最小值为.答案：8已知函数yloga x1(a>0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线40(m>0，n>0)上，则mn的最小值为_解析：由题意可知函数yloga x1的图象恒过定点A(1,1)，点A在直线40上，4，m>0，n>0，mn(mn)1，当且仅当mn时等号成立，mn的最小值为1.答案：19已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：>8.证明：因为x，y，z是互不相等的
15、正数，且xyz1，所以1>，1>，1>，又x，y，z为正数，由××，得>8.10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a.则S(x)
16、(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·160804 160(x>1)(2)804 16080×24 1601 6004 1605 760，当且仅当2，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米B组高考题型专练1(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析：由已知得，且a>0，b>0，abb2a2，ab2.答案：C2(2014·高考重庆卷)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值
17、是()A62 B72C64 D74解析：由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，当且仅当，即a24，b32时取等号，故选D.答案：D3(2015·高考陕西卷)设f(x)ln x,0<a<b，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqr<p Bpr<qCqr>p Dpr>p解析：0<a<b，>，又f(x)ln x在(0，)上单调递增，故f()<f，即q>p，r(f(a)f(b)(ln aln b)ln f()p，pr<q.故选B.答案：B4(2015·高考山东卷)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x>0，y>0时，xy(2y)x的最小值为_解析：因为x>0，y>0，所以xy(2y)x，当且仅当，即xy时取等号故xy(2y)x的最小值为.答案：