《高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4.2 平面向量的基本定理及坐标表示 Word版含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4.2 平面向量的基本定理及坐标表示 Word版含答案.doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、淘宝店铺：漫兮教育第二节平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及向量的坐标运算(1)了解平面向量基本定理及其意义(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(3)能用坐标对向量进行线性运算(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2是表示这一平面内所有向量的一组基底易误提醒平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的这一点是易忽视的自
2、测练习1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1解析：选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量答案：D2.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()Aba BbaCab Dab解析：ababa.答案：A知识点二平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(
3、x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| .2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x2x1，y2y1)，|A| .3设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则abx1y2x2y10.易误提醒1向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系2向量平移后坐标不变3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.自测练习3(2015·西宁期末)若向量(1,2)，(
4、3,4)，则()A(2,2) B(2，2)C(4,6) D(4，6)解析：本题考查向量的坐标运算.(4,6)，故选C.答案：C4已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b()A(5，10) B(2，4)C(3，6) D(4，8)解析：由ab得m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案：D考点一平面向量基本定理及应用|1(2015·杭州质检)设O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心)若，则BAC的度数等于()A30°B45°C60° D90°解析：本题考查平面向量加法的几何意义、平面向量共线取BC的中点D，连接AD，则
5、2.由题意得32，又AD为BC的中线，O为ABC的重心又O为外心，ABC为正三角形，BAC60°，故选C.答案：C2(2016·南昌模拟)如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2，若(，R)，即的值为_解析：如图，构成平行四边形，OCD90°，|OC|2，COD30°，|CD|2×2|OE|，|OD|4，注意共线的条件和单位向量有6.答案：6应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起
6、着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的考点二平面向量的坐标运算|(1)(2015·广东六校联考)已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12)B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析由题意可得3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)，故选A.答案A(2)(2015·贵阳期末)已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则|abc|_.解析如图，建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，a(0，1)，b(1,0)，c(1，1)，abc(2，2)，|abc|2.答案
7、2平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用 1(2015·高考江苏卷)已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则解得故mn3.答案：3考点三平面向量共线的坐标表示|(1)在平面直角坐标系中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，c(x,3)，若(2ab)c，则x()A
8、2B4C3 D1解析本题考查向量的坐标运算依题意得b2(4,2)，2ab(2,6)，6x2×36，x1，故选D.答案D(2)(2015·东营模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案平面向量共线的坐标表示问题的常见三种类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已
9、知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线 2已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：A(1,3)，B(4，1)，(3，4)，又|5，与同向的单位向量为.答案：A14.坐标法在向量问题中的应用【典例】给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心，1为半径的圆弧AB上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值思路点拨建立平面直角坐标系，求出A，B的坐标，用三角函数表示出C的坐标，最后转化为三角函数求最值
10、解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以所以xycos sin 2sin.又，所以当时，xy取得最大值2.方法点评对于有些向量的应用问题，如果能够具备建系的条件，可适当建立坐标系，问题转化为向量的坐标运算更加简便跟踪练习向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由cab，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61
11、，23，故2，则4.答案：4A组考点能力演练1(2015·郑州一模)设向量a(x,1)，b(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是()A0 B±2C2 D2解析：由题意可得ab，所以x24，解得x2或2，又a，b方向相反，所以x2，故选D.答案：D2(2015·抚顺二模)若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为()A.ab BabC.ab D.ab解析：设cxayb，则(2xy，x2y)，所以解得则cab，故选A.答案：A3在ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若x，y，则xy()A2 B1C3
12、D.解析：因为M，O，N三点共线，所以存在常数(0，且1)，使得，即()，所以，又O是BC的中点，所以，又，不共线，所以得1，即xy2.答案：A4已知ABC是边长为4的正三角形，D，P是ABC内的两点，且满足()，则APD的面积为()A. B.C. D2解析：取BC的中点E，连接AE，由于ABC是边长为4的正三角形，则AEBC，()，又()，所以点D是AE的中点，AD.取，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知.而APD是直角三角形，AF，所以APD的面积为××.答案：A5(2015·怀化一模)如图所示，在ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设a，b，xayb
13、，则的最小值为()A82 B8C6 D62解析：因为D为AB的中点，所以2，因为xayb，所以2xy，因为F在线段CD上，所以2xy1，又x，y>0，所以(2xy)4428，当且仅当y2x时取等号，所以的最小值为8.答案：B6已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若xyz，则xyz_.解析：依题意得()，因此xyz10.答案：07已知平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，则向量a的坐标是_解析：设a(x，y)平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，1，x·y0.解得xy±.a或.答案：或8已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第
14、二象限，且AOC30°，则实数的值为_解析：由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30°，知xOC150°，tan 150°，即，1.答案：19已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，有3c，2b，求：(1)3ab3c；(2)满足ambnc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20
15、)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)故(90,220)(9，18)10.(2015·皖南八校模拟)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1，B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量；(2)求向量的模解：(1)，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得.(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以·1，由()得| .B组高考题型专练1(2013·高考陕西卷)已知向量a(1，m)，b(m,
16、2)，若ab，则实数m等于()A B.C或 D0解析：由abm21×2m或m.答案：C2(2015·高考四川卷)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2 B3C4 D6解析：由向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，可得4x2×6，解得x3.答案：B3(2015·高考全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：设C(x，y)，A(0,1)，(4，3)，解得C(4，2)，又B(3,2)，(7，4)，选A.答案：A4(2015·高考北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：由题中条件得()xy，所以x，y.答案：5(2015·高考湖北卷)已知向量 ，|3，则·_.解析：因为，|3，所以··()|2·|2329.答案：9