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1、淘宝店铺：漫兮教育第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>bab>0；(2)abab0；(3)a<bab<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论(注意所比较的两个数的符号)自测练习1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的
2、大小关系是()AM<N BM>NCMN D不确定解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，即MN>0.M>N.答案：B知识点二不等式性质性质性质内容注意对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bcc的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n1
3、)同正可开方性a>b>0>(nN，n2)易误提醒1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab，b<ca<c.2在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c0时，有a>bac2>bc2；若无c0这个条件，a>bac2>bc2就是错误结论(当c0时，取“”)自测练习2设a，b，cR，且a>b，则()Aac>bc B.<Ca2>b2 Da3>b3解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a1，b3时，B、C均不正确，故选D.答案：D3若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()A
4、.> Ba>bCa>b D.>解析：由a>b>00<<a>b，故选C.答案：C4已知a<0，1<b<0，那么a，ab，ab2的大小关系是_解析：a<ab2<0，又ab>0，ab>ab2>a.答案：ab>ab2>a考点一利用不等式(组)表示不等关系|1将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系解：由题意知2某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时
5、分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知，利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义考点二不等式性质及应用|1(2016·大庆质检)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A.> B.>C|a|>|b| Da2>b2解析：由a<b<
6、;0，可用特殊值法加以验证，取a2，b1，则>不成立，选A.答案：A2(2016·武汉调研)若实数a，b(0,1)，且满足(1a)b>，则a，b的大小关系是()Aa<b BabCa>b Dab解析：a，b(0,1)，1a>0，又(1a)b>，<2，<，即ba>0，故选A.答案：A3设a，b是实数，则“a>b>1”是“a>b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：法一：因为a，所以若a>b>1，显然a>0，则充分性成立；当a，b时，显然不等式a>b成立，
7、但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f(x)x，则f(x)1，可知f(x)在(，1)，(1，)上为增函数，在(1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a>b”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误2对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据考点三比较大小|(1)若实数a1，比较a2与的大小；(2)比较aabb与abba(a>0且a1，b
8、>0且b1)的大小解(1)a2，a2a12>0，(a2a1)<0，当1a>0，即a<1时，<0，则有a2<.当1a<0即a>1时，>0，则有a2>.综上知，当a<1时，a2<，当a>1时，a2>.(2)aabbbaab，当a>b>0时，>1，ab>0，则ab>1，aabb>abba；当b>a>0时，0<<1，ab<0，则ab>1，aabb>abba；当ab>0时，ab1，aabbabba，综上知aabbabba(当且仅当a
9、b时取等号)比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acb>aBa>cbCc>b>a Da>c>b解析：cb44aa2(2a)20，cb.将题中两式作差得2b22a2，即b1a2.1a2a2>0，1a2>a，b1a2>a.cb&g
10、t;a.答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解析法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值4×2×5，当f(2)4
11、a2b过点B(3,1)时，取得最大值4×32×110，5f(2)10.答案5,10易误点评解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大防范措施(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围跟踪练习若，满足试求3的取值范围解：设3x()y(2)(xy)(x2y).则解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.3的取值范围为1,7A组考点能力演练1已知<<0，则下列结论错误的是()Aa2&
12、lt;b2B.>2Cab>b2 Dlg a2<lg ab解析：<<0，>0，ab>0，abb2(ab)b<0，ab<b2，故选C.答案：C2已知实数a，b(0,1)，且满足cos a<cos b，则下列关系式成立的是()Aln a<ln b Bsin a<sin bC.< Da3<b3解析：因为a，b(0,1)，则a，b(0，)，而函数ycos x在(0，)上单调递减，又cos a<cos b，所以a>b，即a>b，由函数yln x，ysin x，y，yx3的单调性知C正确答案：C3(2016
13、·资阳一诊)已知a，bR，下列命题正确的是()A若a>b，则|a|>|b| B若a>b，则<C若|a|>b，则a2>b2 D若a>|b|，则a2>b2解析：当a1，b2时，A不正确；当a1，b2时，B不正确；当a1，b2时，C不正确；对于D，a>|b|0，则a2>b2，故选D.答案：D4已知ab>0，则“b<”是“a<”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由b<，ab>0得ab2<b，又b2>0，所以a<，同理由a<可得b<，
14、故选C.答案：C5(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是()A若a>b，c>d，则ac>bdB若ac>bc，则a>bC若<，则a<bD若a>b，c>d，则ac>bd解析：A项，取a2，b1，c1，d2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bca<b，B错误；C项，<，c0，又c2>0，a<b，C正确；D项，取ac2，bd1，可知D错误；故选C.答案：C6若m<n，p<q，且(pm)(pn)<0，(qm)(qn)<0，则m，n，p，q的大小顺序是_解析：把p，q看
15、成变量，则m<p<n，m<q<n，即得m<p<q<n.答案：m<p<q<n7(2015·安庆二模)若x>y，a>b，则在ax>by，ax>by，ax>by，>这四个式子中，恒成立的不等式有_(写出所有恒成立的不等式的序号)解析：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件x>y，a>b，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不成立又1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立答案：8如果0<a<b<c<d<e
16、，S，则把变量_的值增加1会使S的值增加最大(填入a，b，c，d，e中的某个字母)解析：显然变量a或c的值增加1会使S的值增加，0<a<b<c<d<e，>0，>，即当变量a的值增加1会使S的值增加最大答案：a9若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.证明：c<d<0，c>d>0.又a>b>0，ac>bd>0.(ac)2>(bd)2>0.0<<.又e<0，>.10某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，
17、其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解：设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx·(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.当n5时，y1y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠B组高考题型专练1(2013·高考天津卷)设a，bR，则“(ab)·a2<0
18、”是“a<b”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：(ab)·a2<0，则必有ab<0，即a<b；而a<b时，不能推出(ab)·a2<0，如a0，b1，所以“(ab)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件答案：A2(2012·高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D解析：a>b>1，<.又c<0，&
19、gt;，故正确当c<0时，yxc在(0，)上是减函数，又a>b>1，ac<bc，故正确a>b>1，c>0，ac>bc>1.a>b>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，即logb(ac)>loga(bc)，故正确答案：D3(2014·高考山东卷)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A.>Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin yDx3>y3解析：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立答案：D4(2014·高考四川卷)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析：依题意取a2，b1，c2，d1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确答案：D