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1、淘宝店铺：漫兮教育第二节排列与组合排列与组合(1)理解排列、组合的概念(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式(3)能解决简单的实际问题知识点一排列与排列数1排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.3排列数公式及性质(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(m，nN*且mn)(2)性质An！；0！1.易误提醒(1)计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)(2)易混淆排列与排列数，排列是一个具体的
2、排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数自测练习1A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A24种B60种C90种 D120种解析：可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A，B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A60(种)答案：B2方程3A2A6A的解为_解析：由排列数公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xN*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或(舍去)，x5.答案：5知识点二组合与组合数1组合从n个不同元素中任取m(mn)个元素为一
3、组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.3组合数公式及性质(1)组合数公式C.(2)性质C1.C.CCC.易误提醒易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关必备方法排列问题与组合问题的识别方法：识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关自测练习3若A6C，则n的值为_解析：因为A6C，
4、所以6×，所以n34，所以n7.答案：74现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264种第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208种由分类加法计数原理知，不同的取法共有264208472种答案：472考点一排列问题|1室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1,2号相邻，3,4号相邻，5,6号
5、相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有_种排法(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A2(种)排法所以不同的排法种数为23×6×12576.答案：57626名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法解析：法一：(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(
6、含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理可知，共有AA480(种)不同的站法法三：(间接法)6人无限制条件排队有A种站法，甲站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A2A480(种)答案：4803(2016·甘肃模拟)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为_解析
7、：首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A9×872(个)，当0不排在个位时，有AA4×832(个)当不含0时，有A·A4×7×8224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有7232224328(个)答案：328求解排列问题的常用方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在
8、前面元素排列的空当中(5)分排问题直排处理的方法(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列考点二组合问题|(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A85B86C91 D90(2)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为_(结果用最简分数表示)解析(1)法一：(直接法)由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CCC
9、CC31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CCCCC34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为CCCC21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31342186.法二：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有CCC120(种)；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有CC34(种)所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为1203486.(2)所取的2瓶都是不过保质期的饮料的概率为，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为1.答案(1)B(2)组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补
10、足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理1现有10个优秀指标分配给6个班级，每个班至少一个，共有_种不同的分配方法？解析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应关系，实际问题化归为组合数求解该事件的实质为将10个相同的元素分成6堆，每一堆至少一个元素，利用“隔板法分堆”，即在10个相同元素构成的9个空中插入5个隔板，其不同的分配方案有C126(种)答
11、案：126考点三分组分配问题|按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解(1)无序不均匀分组问题先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法故共有CCC60(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基
12、础上，还应考虑再分配，共有CCCA360(种)(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有15(种)(4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·ACCC90(种)(5)无序部分均匀分组问题共有15
13、(种)(6)有序部分均匀分组问题在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式·A90(种)(7)直接分配问题，甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给两种C种方法，共有C·CC30(种)解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)、避免重复计数(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组
14、中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数2(2016·内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为()A144B72C36 D48解析：分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A36种答案：C29.模型法巧解排列组合问题【典例】把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有_种不同的放法思路点拨本题可先向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球，再将剩
15、下的17个球随意分成三份装入盒子中即可解析题目有限制条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C120(种)不同的放法答案120方法点评排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中这类问题可利用“隔板法”求解，实质上是最终转化为组合问题根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比构建模型是求解排列、组合问题的关键跟踪练习(2015·浙江金华质检)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放
16、法共有_种(用数字作答)解析：把4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有种最后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有A种，因此，放法共有×A144种答案：144A组考点能力演练1(2016·大连模拟)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A3种B6种C9种 D18种解析：由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从里边选出3门的选法有C10种两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种满足题意的选法有1019种所以选C.答案：C2某校从8名教师中选派4名教师同时
17、去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是()A150 B300C600 D900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C×A240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C×A360种方法因此共有600种不同的选派方案答案：C3如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A50种 B51种C140种 D1
18、41种解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0,1,2,3，共4种情况，所以共有CCCCCCC141种，故选D.答案：D4某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720解析：依题意进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中恰有一人参加，满足题意的不同发言顺序有C·C·A480种，第二类，甲、乙两名同学均参加，满足题意的不同发言顺序有C·C·A·A120种
19、因此，满足题意的不同发言顺序有480120600种，故选C.答案：C5(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()A72 B324C648 D1 296解析：核潜艇排列数为A，6艘舰艇任意排列的排列数为A，同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2，则舰艇分配方案的方法数为A(AAA×2)1 296.答案：D65名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是_(用数字作答)解析：依题意，满足题意的不同的排法种数是C
20、83;A96.答案：9674位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100分，答错得100分，选乙题答对得90分，答错得90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是_解析：由于4位同学的总分为0分，故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：甲：4人，乙：0人；甲：2人，乙：2人；甲：0人，乙：4人对于，须2人答对，2人答错，共有C6种情况；对于，有CCC24种情况；对于，与相同，有6种情况，故共有624636种不同的情况答案：368(2016·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中
21、0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_(用数字作答)解析：本题考查排列组合，难度中等优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择最后两项实验的顺序确定，所以共有300种不同的编排方法答案：3009将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式(2)每种放入方式
22、对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120种放入方式10从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800个(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400个(3)上述七位数中，3个偶数排
23、在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760个B组高考题型专练1(2014·高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种 B216种C240种 D288种解析：若最左端排甲，其他位置共有A120种排法；若最左端排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置有A24种排法，所以共有1204×24216种排法答案：B2(2014·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位
24、置，共有A24种放法，故选D.答案：D3(2014·高考安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱是原正方体的12条面对角线一个正四面体中两条棱成60°角的有(C3)对，两个正四面体有(C3)×2对又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C3)×2×248对故选C.答案：C4(2015·高考四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个解析：数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A48个；同理，以5开头的有3A72个于是共有4872120个，故选B.答案：B5(2015·高考广东卷)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解析：同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，全班共写了40×391 560条毕业留言答案：1 560