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1、专题5.5 函数yAsin(x)的图象及其应用新课程考试要求了解函数 yA sin (x) 的物理意义，掌握 yA sin (x) 的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析（例6）等.高考预测（1） “五点法”作图；（2）函数图象的变换；（3）三角函数模型的应用问题.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.【知识清单】知识点1求三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初
2、相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：知识点2三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图象;把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】把函数向上平移个单位，得到函数的图象;把函数向下平移个单位，得到函数的图象.伸缩变换:把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.2.
3、由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.知识
4、点3函数的图象与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.【考点分类剖析】考点一 求三角函数解析式【典例1】【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y= sin(x+)的部分图像，则sin(x+)= （ ）ABCD【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【典例2】（2020
5、3;山东五莲高三月考）函数的部分图象如图所示，则_；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则_.【答案】 【解析】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，.故答案为：；.【规律方法】1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定(2)：因为T，故往往通过求周期T来确定.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T(3
6、)：从“五点法”中的第一个点(，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为x；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为x2在用以上方法确定的值时，还要注意题目中给出的的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内(4)A，三个量中初相的确定是一个难点，除使用初始点(，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解2.利用图象变换求解析式：由的图象向左
7、或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.【变式探究】1. （2020·湖南娄星娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）ABCD【答案】A【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为故选：A2.（2020·江苏南通高三其他）已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式_.【答案】【解析】因
8、为函数的最小正周期是，所以函数的图象向右平移个单位长度后得到，因为关于原点对称，所以因此故答案为：【总结提升】根据函数的图象确定函数中的参数的主要方法：（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）主要由最小正周期确定，而的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）主要是由图象的特殊点的坐标确定考点二 三角函数图象的变换【典例3】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)Asin（x+）（A0，0，|）的图象已知函数g(x)的部分图象
9、如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ） Af(x)的最小正周期为Bf(x)在区间上单调递减Cf(x)的图象关于直线x对称Df(x)的图象关于点成中心对称【答案】D【解析】根据函数图象求出解析式，再根据平移伸缩变换求出的解析式，然后根据的解析式逐项判断即可.【详解】根据g(x)的部分图象，可得A2，2结合五点法作图，可得2×（）+，故g(x)2sin（2x+）由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，可得f(x)2sin（3x+）2sin（3x）的图象，故f(x)的最小正周期为，故A错误；在区间上，3x0，f(x)没有单调性，故B错误；令x
10、，求得f(x)0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x对称，故C错误；令x，求得f(x)0，故f(x)的图象关于（，0）对称，故D正确，故选：D【典例4】【多选题】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数的图象，只需将的图象（ ）A先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度B先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度C先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)D先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【答案】BC【解析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.【详解】如果是先伸缩
11、再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得 如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.故选：BC【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换如本例一般地，函数f(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称【变式探究】1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数在区间上的图象为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横
12、坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变C把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=k，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得然后各点的横坐标缩短到原来的，得故A正确各点的横坐标缩短到原来的，得然后向左平移个单位，得故C正确故选：AC2.【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
13、标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）A函数的最大值为2B函数的图象关于点对称C函数是偶函数D直线是函数图象的一条对称轴【答案】AC【解析】先根据平移伸缩表示出函数的解析式，再根据图像性质判断选项即可.【详解】由题意得，所以的最大值为2，为偶函数，的图像关于点对称，关于直线对称，故B和D错误，A和C正确.故选：AC.【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“x”而言的2图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与
14、先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|个单位长度，而后者平移了|个单位长度，这是因为由ysinx的图象变换为ysin(x)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|个单位长度，即xx，xx考点三 三角函数模型的应用【典例5】【多选题】（2021·广东深圳市·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为（
15、 ）A摩天轮离地面最近的距离为4米B若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30D，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【答案】BC【解析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；分钟后，转过的角度为，则，B正确；周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，则，又高度相等，则关于对称，则，则；令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递
16、减，当时，当时，所以在只有一个解；故选:BC.【典例6】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5（）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从， ，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（）为保证队员安全，规定在一天中的518时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的
17、安全.【答案】(1) 选做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.【解析】（）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：- 依题意，选做为函数模型， （）由（）知： 令，即 又 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题【变式探究】（2021·全国高一课时练习）如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心距离水面1米，已知水轮自点
18、开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点距水面的高度（米与时间（秒满足函数关系式，则_，_【答案】2 【解析】根据三角函数性质及水轮的结构可得，再由周期求得【详解】水轮的半径为2，水轮圆心距离水面1，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，故答案为：2；考点四 函数的图象与性质的综合应用【典例7】(2019年高考全国卷文)函数在0，2的零点个数为（ ）A2 B3 C4D5【答案】B【解析】由，得或，在的零点个数是3，故选B【典例8】(2019年高考浙江卷)设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，
19、故，所以又，因此或（2）因此，函数的值域是【典例9】（2017·山东高考真题（理）设函数f(x)=sin(x-6)+sin(x-2)，其中0<<3.已知f(6)=0.（）求；（）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在-4,34上的最小值.【答案】(1) =2.(2) -32.【解析】（）因为f(x)=sin(x-6)+sin(x-2)，所以f(x)=32sinx-12cosx-cosx=32sinx-32cosx=3(12sinx-32cosx)=3(sinx-3)由题
20、设知f(6)=0，所以6-3=k，kZ.故=6k+2，kZ，又0<<3，所以=2.（）由（）得f(x)=3sin(2x-3)所以g(x)=3sin(x+4-3)=3sin(x-12).因为x-4,34，所以x-12-3,23，当x-12=-3，即x=-4时，g(x)取得最小值-32.【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数2.研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题【变式探究】1. （2021·江西新余市·高一期末（理）已知函数.（1）已知，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.【详解】解：（1），.（2）当时，可得，由，不等式可化为，有.令，则，若不等式恒成立，则等价于，解得：.故实数的取值范围为.2. （2020·全国高三（文）已知，函数（）若，求的单调递增区间；（）若的最大值是，求的值【答案】（）,;（）.【解析】（）由题意 由，得 所以单调的单调递增区间为，. （）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，故