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1、专题7.6 数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2数学归纳法的简单应用.3利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一 利用数学归纳
2、法证明不等式【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，证明【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；(2)求证:.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数，对于任意的，都有.（1）求的取值范围（2）若，证明：()（3）在（2）的条件下，证明：【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关
3、键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1. （2021·浙江高三专题练习）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（）求数列的通项公式；（）证明：，.3. （2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，成等比数列（1）求通项公式；（2）求证：（）；考点二 归纳、猜想、证明【典例4】（
4、2021·全国高三专题练习）设数列满足，（1）计算、，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数，设为的导数，（1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论【总结提升】(1)“归纳猜想证明”的一般步骤计算(根据条件，计算若干项)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)证明(用数学归纳法证明)(2)与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法【变式探究
5、】1.（2019·浙江高二期末）数列的前项和为，且满足()求，的值；()猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论2.给出下列不等式：1>12，1+12+13>1，1+12+13+14+15+16+17>32，1+12+13+115>2，1+12+13+131>52，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.考点三 利用数学归纳法证明等式【典例6】已知a，b，c，使等式122+232+nn+12=nn+112an2+bn+c对nN+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【典例7
6、】 证明：(nN*)【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法【变式探究】1. 数学归纳法证明：2222n12(2n11)(n>2，nN)【答案】见解析【解析】错解(1)当n3时，左边2226，右边2(221)6，等式成立(2)假设nk时，结论成立，即2222k12(2k11)，那么由等
7、比数列的前n项和公式，得2222k12k2(2k1)所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对任意n>2，nN都成立辨析错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误2.（2018·江苏高考模拟（理）在正整数集上定义函数y=f(n)，满足f(n)f(n+1)+1=22-f(n+1)，且f(1)=2（1）求证：f(3)-f(2)=910；（2）是否存在实数a，b，使f(n)=1a(-32)n-b+1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论【易错提醒】在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可其中，第一步是递推的基础，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法