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1、 基础题组练 1已知圆 C 的圆心为(2，1)，半径长是方程(x1)(x4)0 的解，则圆 C 的标准方程为( ) A(x1)2(y2)24 B(x2)2(y1)24 C(x2)2(y1)216 D(x2)2(y1)216 解析：选 C根据圆 C 的半径长是方程(x1)(x4)0 的解，可得半径长为 4，故要求的圆的标准方程为(x2)2(y1)216. 2(2020 河北九校第二次联考)圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( ) Ax2y22x30 Bx2y24x0 Cx2y24x0 Dx2y22x30 解析：选 C由题意设所求
2、圆的方程为(xm)2y24(m0)，则|3m4|32422，解得 m2 或 m143(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即 x2y24x0，故选 C 3方程|x|1 1(y1)2所表示的曲线是( ) A一个圆 B两个圆 C半个圆 D两个半圆 解析：选 D由题意得(|x|1)2(y1)21，|x|10， 即(x1)2(y1)21，x1或(x1)2(y1)21，x1. 故原方程表示两个半圆 4(2020 湖南长沙模拟)圆 x2y22x2y10 上的点到直线 xy2 距离的最大值是( ) A1 2 B2 C122 D22 2 解析：选 A将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，
3、1)，半径为 1，则圆心到直线 xy2 的距离 d|112|2 2，故圆上的点到直线 xy2 距离的最大值为 d1 21，选 A 5点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析：选 A设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则x4x02，y2y02，解得x02x4，y02y2.因为点 Q 在圆 x2y24 上，所以 x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21. 6已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x
4、8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_ 解析：已知方程表示圆，则 a2a2， 解得 a2 或 a1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆 答案：(2，4) 5 7过两点 A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线 y0 上的圆的标准方程为_ 解析：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为圆心在直线 y0 上，所以 b0，所以圆的方程为(xa)2y2r2.又因为该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，所以(1a)216r2，(3a)24r2，解得a
5、1，r220.所以所求圆的方程为(x1)2y220. 答案：(x1)2y220 8若圆 C 与圆 x2y22x0 关于直线 xy10 对称，则圆 C 的方程是_ 解析：设 C(a，b)，因为已知圆的圆心为 A(1，0)，由点 A，C 关于 xy10 对称得ba1(1)1，a12b210， 解得a1，b2.又因为圆的半径是 1， 所以圆 C 的方程是(x1)2(y2)21， 即 x2y22x4y40. 答案：x2y22x4y40 9求适合下列条件的圆的方程 (1)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)； (2)过三点 A(1，12)，B(7，10)，C(9，2)
6、解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有b4a，(3a)2(2b)2r2，|ab1|2r， 解得 a1，b4，r2 2. 所以圆的方程为(x1)2(y4)28. 法二：过切点且与 xy10 垂直的直线为 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1，4) 所以半径 r (13)2(42)22 2， 所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28. (2)设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 则1144D12EF0，491007D10EF0，8149D2EF0. 解得 D2，E4，F95. 所以所求圆的方程为 x2y22x4y950. 10已知以点 P 为圆心
7、的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P于点 C 和 D，且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解：(1)由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2) 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)， 则由点 P 在 CD 上得 ab30. 又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 10， 所以(a1)2b240. 由解得a3，b6，或a5，b2. 所以圆心 P(3，6)或 P(5，2) 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 综合题组练
8、1自圆 C：(x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为( ) A8x6y210 B8x6y210 C6x8y210 D6x8y210 解析：选 D由题意得，圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r2，如图 因为|PQ|PO|，且 PQCQ， 所以|PO|2r2|PC|2， 所以 x2y24(x3)2(y4)2， 即 6x8y210，所以点 P 的轨迹方程为 6x8y210，故选 D 2 设点 P 是函数 y 4(x1)2的图象上的任意一点， 点 Q(2a， a3)(aR)， 则|PQ|的最小值为(
9、) A8 552 B 5 C 52 D7 552 解析：选 C如图所示，点 P 在半圆 C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点 Q 在直线 l：x2y60 上过圆心 C 作直线 l 的垂线，垂足为点 A，则|CA| 5，|PQ|min|CA|2 52.故选 C 3(应用型)已知平面区域x0，y0，x2y40恰好被面积最小的圆 C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_ 解析：由题意知，此平面区域表示的是以 O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 因为OPQ 为直角三角形， 所以圆心为斜边 PQ 的中点(
10、2，1)，半径 r|PQ|2 5， 因此圆 C 的方程为(x2)2(y1)25. 答案：(x2)2(y1)25 4(应用型)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C：x2y24x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_ 解析：因为圆 C：x2y24x2y0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5的圆设点 A(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)，故m02n2220，n2m01， 解得m4，n2，故 A(4，2) 连接 AC 交圆 C 于 Q，由对称性可知 |PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5. 答案：2 5 5(2018 高考全国卷
11、)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 解：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由yk(x1)，y24x得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k24k2. 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2. 由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)
12、， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则y0 x05，(x01)2(y0 x01)2216. 解得x03，y02或x011，y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 6已知圆 C 的方程为 x2(y4)21，直线 l 的方程为 2xy0，点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B. (1)若APB60 ，求点 P 的坐标； (2)求证经过 A，P，C(其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标 解：(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为(0，4)，|PC|2，设 P(a，2a)，则 a2(2a4)22， 解得 a2 或 a65， 所以点 P 的坐标为(2，4)或65，125. (2)证明：设 P(b，2b)，过点 A，P，C 的圆即是以 PC 为直径的圆，其方程为 x(xb)(y4)(y2b)0， 整理得 x2y2bx4y2by8b0， 即(x2y24y)b(x2y8)0. 由x2y24y0，x2y80解得x0，y4或x85，y165， 所以该圆必经过定点(0，4)和85，165.