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1、 基础题组练 1.2x2x43的展开式中的常数项为( ) A3 2 B3 2 C6 D6 解析：选 D通项 Tr1Cr32x23r(x4)rCr3( 2)3r(1)rx66r，当66r0，即r1 时为常数项，T26，故选 D 2(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中 x4的系数为( ) A50 B55 C45 D60 解析： 选 B (1x)5(1x)6(1x)7的展开式中 x4的系数是 C45C46C4755.故选 B 3(多选)在二项式3x22x5的展开式中，有( ) A含 x 的项 B含1x2的项 C含 x4的项 D含1x4的项 解析：选 ABC二项式3x22x5的展开式的通项公式为
2、Tr1Cr535r(2)rx103r，r0，1，2，3，4，5，故展开式中含 x 的项为 x103r，结合所给的选项，知 ABC 的项都含有 4在x3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 321，则 x2的系数为( ) A50 B70 C90 D120 解析：选 C令 x1，则x3xn4n，所以x3xn的展开式中，各项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以4n2n2n32，解得 n5.二项展开式的通项 Tr1Cr5x5r3xrCr53rx532r，令 532r2，得 r2，所以 x2的系数为 C253290，故选 C 51(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为(
3、) A2n1 B2n1 C2n11 D2n 解析：选 C令 x1，得 12222n1(2n11)212n11. 6.x13xn的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项是( ) A63x B4x C4x6x D4x或 4x6x 解析：选 A令 x1，可得x13xn的展开式中各项系数之和为 2n，即 82n32，解得 n4，故第 3 项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C24( x)213x263x. 7(x22)1x15展开式中的常数项是( ) A12 B12 C8 D8 解析：选 B1x15展开式的通项公式为 Tr1Cr51x5r(1)r(1)rCr5xr5，
4、当 r52 或 r50， 即 r3 或 r5 时， 展开式的常数项是(1)3C352(1)5C5512.故选 B 8.x1x15展开式中的常数项为( ) A1 B21 C31 D51 解析：选 D因为x1x15(x1)1x5 C05(x1)5C15(x1)41xC25(x1)31x2C35(x1)21x3C45(x1)11x4C551x5. 所以x1x15展开式中的常数项为 C05C5515C15C3413C25C131251.故选 D 9已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|( ) A1 B243 C121 D122 解析：选 B令 x1，得 a5
5、a4a3a2a1a01， 令 x1，得a5a4a3a2a1a0243， ，得 2(a4a2a0)242， 即 a4a2a0121. ，得 2(a5a3a1)244， 即 a5a3a1122. 所以|a0|a1|a5|122121243.故选 B 10(2020 海口调研)若(x2a)x1x10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A13 B12 C1 D2 解析：选 D由题意得x1x10的展开式的通项公式是 Tk1Ck10 x10k1xkCk10 x102k，x1x10的展开式中含 x4(当 k3 时)，x6(当 k2 时)项的系数分别为 C310，C210，因此由题意得 C31
6、0aC21012045a30，由此解得 a2，故选 D 11若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则 a0a2a4a2n等于( ) A2n B3n12 C2n1 D3n12 解析：选 D设 f(x)(1xx2)n， 则 f(1)3na0a1a2a2n， f(1)1a0a1a2a3a2n， 由得 2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)， 所以 a0a2a4a2nf(1)f(1)23n12. 12已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为( ) A39 B310 C311 D312 解析： 选 D 对(x2)9 a
7、0a1xa2x2a9x9两边同时求导， 得 9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令 x1，得 a12a23a38a89a9310，令 x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选 D 13(x yy x)4的展开式中，x3y3项的系数为_ 解析：二项展开式的通项是 Tk1Ck4(x y)4k(y x)k(1)kCk4x4k2y2k2，令 4k22k23，解得 k2，故展开式中 x3y3的系数为(1)2C246. 答案：6 14(201
8、9 高考浙江卷)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_ 解析：二项式( 2x)9展开式的通项为 Tr1Cr9( 2)9rxr.令 r0，得常数项为 C09( 2)916 2.当 r1，3，5，7，9 时，系数为有理数，共 5 项 答案：16 2 5 15设 m 为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m_ 解析：(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为 Cm2m，所以 aCm2m. 同理，bCm12m1. 因为 13a7b，所以 13 Cm2m7 Cm12m1. 所以 13(2m
9、)！m！m！7(2m1)！(m1)！m！. 所以 m6. 答案：6 综合题组练 1 已知C0n4C1n42C2n43C3n(1)n4nCnn729， 则C1nC2nCnn的值等于( ) A64 B32 C63 D31 解析：选 C因为 C0n4C1n42C2n43C3n(1)n4nCnn729，所以(14)n36，所以n6，因此 C1nC2nCnn2n126163，故选 C 2设 aZ，且 0a13，若 512 018a 能被 13 整除，则 a( ) A0 B1 C11 D12 解析：选 D512 018a(521)2 018a C02 018522 018C12 018522 017C2
10、0172 01852(1)2 017C2 0182 018(1)2 018a.因为 52 能被13 整除，所以只需 C2 0182 018(1)2 018a 能被 13 整除，即 a1 能被 13 整除，所以 a12. 3已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是_ 解析：由二项式定理知，anCn110(n1，2，3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项，所以 a6C510，则 k 的最大值为 6. 答案：6 4已知(2x2)(1ax)3的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a
11、_，展开式中含 x2的项的系数是_ 解析：由已知可得，(212)(1a)327，则 a2.所以(2x2)(1ax)3(2x2)(12x)3(2x2)(16x12x28x3)，所以展开式中含 x2的项的系数是 212123. 答案：2 23 5已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求： (1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解：令 x1， 则 a0a1a2a3a4a5a6a71. 令 x1， 则 a0a1a2a3a4a5a6a737. (1)因为 a0C071， 所以 a1a2a3a72. (2)() 2，得 a1a3
12、a5a713721 094. (3)() 2，得 a0a2a4a613721 093. (4)因为(12x)7的展开式中 a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零， 所以|a0|a1|a2|a7| (a0a2a4a6)(a1a3a5a7) 1 093(1 094)2 187. 6已知x124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列 (1)求 n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，由已知得 212C1nC0n14C2n， 解得 n8(n1 舍去) (2)x124x8的展开式的通项 Tr1Cr8( x)8r124xr2rCr8x43r4(r0，1，8)， 要求有理项，则 43r4必为整数，即 r0，4，8，共 3 项，这 3 项分别是 T1x4，T5 358x，T91256x2. (3)设第 r1 项的系数为 ar1最大，则 ar12rCr8， 则ar1ar2rCr82(r1)Cr189r2r1， ar1ar22rCr82(r1)Cr182(r1)8r1，解得 2r3. 当 r2 时，a322C287，当 r3 时，a423C387， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大， 故系数最大的项为 T37x52，T47x74.