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1、淘宝店铺：漫兮教育7.4基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，yR，且xy(xy)1，则()来源:数理化网A.xy2(1) B.xy2(1)C.xy2(1)2 D.xy(1)2(2)已知a，bR，则，的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1).因为xy0，所以xy2(1).来源:(2)由有ab2，即ab，所以.又，所以，所以.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设abc，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】(，4).因为abc，所以
2、ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，则函数y4x2的最大值为；(2)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数f(x)，f(0)0，对任意实数x，有f(x)0，则的最小值为()A.3 B. C.2 D.【解析】(1)因为x，所以54x0.所以y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.所以x1时，ymax1.(2)选C.因为f(x)0，所以所以c.又f(x)2axb，所以f(0)b0，1112，当且仅当c且4a2b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正
3、、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得abxy，cdxy，所以2，来源:当0时，4；当0时，0，故的取值范围是(，04，).题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享
4、受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6×26×19x(x1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y19x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x10时，取等号.来源:即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y29x(x1)900
5、6×1 800×0.99x9 729(x35).因为y29，当x35时，y20.所以y29x9 729在35，)上是增函数.所以x35时，y2取最小值.由10 989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.【解析】因为a0，b0,2ab1，所以4a2b2(2ab)24ab14ab，且12ab2，即，ab.所以S24a2b22(14ab)24ab1，当且仅当a，b时，等号成立.总结提高来源:1.基本不等式的几种常见变形公式：ab()2(a，bR)；(a0，b0).注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.