《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．4 基本不等式及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）7．4 基本不等式及其应用.doc（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、74 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 1如果 a0，b0，那么_叫做这两个正数的算术平均数 2如果 a0，b0，那么_叫做这两个正数的几何平均数 3重要不等式： a， bR， 则 a2b2_ (当且仅当 ab 时取等号) 4基 本 不 等 式 ： a 0 ， b 0 ， 则_， 当且仅当 ab 时等号成立， 即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 5求最小值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab，a2b2有_，即 ab_，a2b2_简记为：积定和最小 6求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即_，亦即_；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即_简
2、记为：和定积最大 7拓 展 ：若 a 0 ，b 0 时 ，21a1b_ab2_， 当且仅当 ab 时等号成立 自查自纠： 1ab2 2ab 32ab 4ab2 ab 5最小值 2 ab 2ab 6abab22 ab14(ab)2 aba2b22 7ab a2b22 下列说法正确的是 ( ) Aa0，b0，则 a2b22 ab B函数 yx1x的最小值是 2 C函数 f(x)cosx4cosx，x0，2的最小值等于 4 D “x0 且 y0”是“xyyx2”的充分不必要条件 解：选项 A 中，ab01 时不成立；选项 B中， 当 x1 时 y2； 选项 C 中， x0，2时，0cosx0 即 x
3、y0，故“x0 且 y0”为充分不必要条件故选 D (教材改编)设 x0，y0，且 xy18，则xy 的最大值为 ( ) A77 B80 C81 D82 解：因为 x0，y0，所以xy2xy，即xyxy2281，当且仅当 xy9 时取等号，即(xy)max81故选 C 已知f(x)x1x2(x0)， 则f(x)有 ( ) A最大值 0 B最小值 0 C最大值4 D最小值4 解： 因为x2)在xa处取最小值，则 a_ 解：当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x21x2(x2)，即 x3 时取等号则当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3故填 3 (河北衡
4、水中学2017届调考)若 a0， b0， lgalgblg(ab)，则 ab 的最小值为_ 解：由题意得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1a1b1，所以 ab1a1b(ab)2baab22baab4， 当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4故填 4 类型一类型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 (1)已知 a0，b0，且 4ab1，则 ab的最大值为_ 解法一： 因为 a0，b0，4ab1，所以 14ab2 4ab4 ab， 当且仅当 4ab12， 即 a18，b12时，等号成立所以 ab14，ab116，则 ab 的最大值为116 解法二： 因为 4
5、ab1，所以 ab144ab144ab22116，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时等号成立，所以 ab 的最大值为116故填116 (2)已知 x54， 则 f(x)4x214x5的最大值为_ 解： 因为 x0，则 f(x)4x214x554x154x3 2（54x）154x3231当且仅当54x154x，即 x1 时，等号成立故填 1 (3)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为_ 解：由 x3y5xy 可得15y35x1，所以 3x4y(3x4y)15y35x95453x5y12y5x135212y5x3x5y5(当且仅当3x5y12y5x， 即 x1， y
6、12时等号成立)，所以 3x4y 的最小值是 5故填 5 点 拨： 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值注意：使用基本不等式求最值， “一正、二定、三相等”三个条件缺一不可 (1)(2018东北三省四市模拟)已知a0，b0，则a244ab4b2a2b的最小值为 ( ) A14 B1 C2 D4 解： a244ab4b2a2b（a2b）24a2ba2b4a2b2（a2b）4a2b4，当且仅当 a2b 4a2b，
7、即 a 2b 2 时 等 号 成 立 ， 则a244ab4b2a2b的最小值为 4故选 D (2)(2017山东)若直线xayb1(a0， b0) 过点(1，2)，则 2ab 的最小值为_ 解：xayb1(a0， b0)过点(1， 2)， 可得1a2b1，所以 2ab(2ab)1a2b4ba4ab42ba4ab8， 当且仅当 a2， b4 时取“”故填 8 (3)(2017四川乐山一中月考)设 0 x32，则函数 y4x(32x)的最大值为_ 解：y4x(32x)22x(32x)22x（32x）2292， 当且仅当 2x32x，即 x34时，等号成立因为340，32，所以函数 y4x(32x)
8、0 x0，xx23x1a 恒成立， 则实数 a的取值范围是( ) A15， B15， C，15 D，15 解：因为对任意 x0，xx23x1a 恒成立，所以对 x(0， )， axx23x1max， 而对 x(0，)，xx23x11x1x312x1x315，当且仅当 x1x即 x1 时等号成立，所以 a15故选A (2)已知函数 f(x)4xax(x0， a0)在 x3 时取得最小值，则 a_ 解： 因为x0， a0， 所以f(x)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 4x2a 时，f(x)取得最小值又因为 f(x)在 x3 时取得最小值，所以 a43236故填 36 点 拨： 求
9、解含参不等式的策略：观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题： af(x)恒成立af(x)max； af(x)恒成立af(x)min； af(x)有解af(x)min； af(x)有解af(x)max (1)已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x， y 恒成立， 则正实数 a 的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 解：因为(xy)1xay1axyyxaa12 a，当且仅当axyyx时等号成立 要使原不等式恒成立，则只需 a1
10、2 a9恒成立， 所以( a2)( a4)0，解得 a4， 所以正实数 a 的最小值是 4故选 B (2)已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为_ 解：依题意得，x2 2xyx(x2y)2(xy)，即x2 2xyxy2(当且仅当 x2y 时取等号)，即x2 2xyxy的最大值为 2又 x2 2xyxy恒成立，则有 2，即 的最小值为 2故填 2 类型三类型三 利用基本不等式解决实利用基本不等式解决实际问题际问题 (江门2017届调研)如图，某农场要修建3 个形状、 大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000 平方米鱼塘前面要留 4 米宽的运料通道，其余
11、各边为 2 米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？ 解：设每个鱼塘的宽为 x 米，且 x0， 则 AB3x8，AD10 000 x6， 则总面积 y(3x8)10 000 x6 30 04880 000 x18x30 048280 000 x18x32 448，当且仅当 18x80 000 x，即 x2003时，等号成立，此时10 000 x150 即鱼塘的长为 150 米， 宽为2003米时， 占地面积最少为 32 448 平方米 点 拨： 建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时， 除了“一正， 二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不
12、等式次数要尽量少， 最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾， 有矛盾则应调整解法 (1)(2016徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛， 造价为 4 200 元/m2， 在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 80 元/m2 ()设总造价为 S 元，AD 的长为 x m，试建立
13、S 关于 x 的函数关系式； ()计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？ 解：()设 DQ 的长为 y m，则 x24xy200， 所以 y200 x24x S4 200 x22104xy80412y2 38 0004 000 x2400 000 x2(0 x10 2) ()S38 0004 000 x2400 000 x2 38 00024 000 x2400 000 x2 38 0002 16108118 000， 当且仅当 4 000 x2400 000 x2，即 x 10时取“”，所以 Smin118 000(元)故计划至少要投入 118 万元才能建造这个休闲小区 (2)要制作一个
14、容积为 4 m3， 高为 1 m的无盖(无上底面)长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( ) A80 元 B120 元 C160 元 D240 元 解：设底面相邻两边的边长分别为 x m，y m，总造价为 T 元，则 xy 14xy4T420 (2x2y)1108020(xy)80202 xy80204160(当且仅当 xy2 时取等号)故该容器的最低总造价是 160 元故选 C 1基本不等式的变式和推广 a2b2（ab）22；aba2b22； ab14(ab)2；ab22a2b22； (ab)24ab； ab21a1b；
15、abc33abc；abca3b3c33，等等 对于以上各式，要明了其成立的条件和取“”的条件 2在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时， 还要考虑常数项)必须是正数； “二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值 3基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、 平方等)构造“和”或者“积”， 使之为定值 4求1a1b型最值问题， 常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，
16、有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决， 而要借助于其他求值域的方法来解决 5基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点 1(2017阜阳一模)下列结论正确的是( ) A若 a，bR，则baab2 B若 x0，则 x4x2x4x4 C若 ab0，则b2aa2bab D若 x2 解： 对于 A， 当 ab0 时不成立； 对于 B， 若 x0，则 x4xx4x2（x）4x
17、4，当且仅当 x2 时，等号成立，因此 B 选项不成立；对于 C，取 a1，b2，即b2aa2b92ab3，所以 C 选项不成立；对于 D，若x0，则 02x1，所以 2x2x2 成立故选 D 2(2018武汉模拟)下列命题中正确的是 ( ) A函数 yx1x的最小值为 2 B函数 yx23x22的最小值为 2 C函数 y23x4x(x0)的最小值为 24 3 D函数 y23x4x(x0)的最大值为 24 3 解：yx1x的定义域为x|x0，当 x0 时，函数有最小值 2，当 x2，B 项不正确；因为 x0 时，3x4x23x4x4 3，当且仅当 3x4x，即 x2 33时取等号，所以 y23
18、x4x，有最大值 24 3，故 C 项不正确，D 项正确故选 D 3(2018西安模拟)设OA(1， 2)， OB(a，1)，OC(b，0)(a0，b0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共线，则2a1b的最小值是( ) A4 B92 C8 D9 解： 因为ABOBOA(a1， 1)， ACOCOA(b1，2)，若 A，B，C 三点共线，则有 ABAC，所以(a1)21(b1)0，所以2ab1又 a0，b0，所以2a1b2a1b(2ab)52ba2ab522ba2ab9，当且仅当2ba2ab，2ab1，即 ab13时等号成立故选 D 4(2017山东)若 ab0，且 ab1，则下列不等式成
19、立的是 ( ) Aa1bb2alog2(ab) Bb2alog2(ab)a1b Ca1blog2(ab)b2a Dlog2(ab)a1bb2a 解法一：(特值法)依题意不妨设 a2，b12，则 a1b4，b2a18，log2(ab)log252(1，2) 解法二：(通解)由 ab0 及 ab1 得 a1，且 b1a(0，1)，所以b2a(0，1)，2a1aa baaa1b，故 1log2(ab)log2a1b a1b故选 B 5已知 a0，b0，若不等式m3ab3a1b0恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A4 B16 C9 D3 解：因为 a0，b0，所以由m3ab3a1b0恒成立得 m3a
20、1b(3ab)103ba3ab恒成立因为3ba3ab23ba3ab6，当且仅当 ab时等号成立，故 103ba3ab16，所以 m16，即m 的最大值为 16故选 B 6(2018太原模拟)已知 x，y 为正实数，则4xx3y3yx的最小值为 ( ) A53 B103 C32 D3 解：由于 x，y 为正实数，则4xx3y3yx4xx3y3yxx124xx3y3yxx13，当且仅当4xx3y3yxx时，等号成立，则其最小值为 3故选 D 7(2018沈阳模拟)设等差数列an的公差是d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则Sn8an的最小值是_ 解：ana1(n1)dn，Snn（1n）2，所
21、以Sn8ann（1n）28n12n16n1122n16n1 92，当且仅当 n4 时取等号所以Sn8an的最小值是92故填92 8(2017天津)若 a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_ 解法一：因为 ab0，所以a44b41ab2 4a4b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a22b2，ab12时取等号，故a44b41ab的最小值是 4 解法二：因为a44b41aba3b4b3a1ab，所以由基本不等式得a3b4b3a1ab2a3b4b3a1ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a3b4b3a，4ab1ab同时成立时等号成立故填 4 9已知 x0，y
22、0，且 2x5y20 (1)求 ulgxlgy 的最大值； (2)求1x25y的最小值 解：(1)因为 x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2 10 xy因为 2x5y20， 所以 2 10 xy20，xy10，当且仅当2x5y20，2x5y，即x5，y2时，等号成立此时 xy 有最大值 10 所以 ulgxlgylg(xy)lg101 则当 x5，y2 时，ulgxlgy 有最大值 1 (2)因为 x0， y0， 所以1x25y1x25y2x5y2012045yx4x5y120425yx4x5y25， 当且仅当2x5y20，5yx4x5y，即x5，y2时，等号成立所以1x25y的最小值为
23、25 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解： (1)由 2x8yxy0， 得8x2y1， 又 x0，y0， 则 18x2y28x2y8xy，得 xy64， 当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立 (2)方法一：由 2x8yxy0，得 x8yy2， 因为 x0，所以 y2， 则 xyy8yy2(y2)16y21018， 当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立 方法二：由 2x8yxy0，得8x2y1， 则 xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当 y6，x12 时等号成立 11(2018
24、河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带， 该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元， 铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为 y 万元 (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解：(1)设需要修建 k 个增压站， 则(k1)x240，即 k240 x1 所以 y400k(k1)(x2x) 400240 x1 240 x(x2x)
25、96 000 x240 x160 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则0 x240 故 y 与 x 的函数关系为 y96 000 x240 x160(0 x240) (2)因为 0 x0，b0，当 ab 为定值时，ab，a2b2有_，即 ab_，a2b2_简记为：积定和最小 6求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即_，亦即_；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即_简记为：和定积最大 7拓 展 ：若 a 0 ，b 0 时 ，21a1b_ab2_， 当且仅当 ab 时等号成立 自查自纠： 1ab2 2ab 32ab 4ab2 ab 5最小值 2 ab 2
26、ab 6abab22 ab14(ab)2 aba2b22 7ab a2b22 下列说法正确的是 ( ) Aa0，b0，则 a2b22 ab B函数 yx1x的最小值是 2 C函数 f(x)cosx4cosx，x0，2的最小值等于 4 D “x0 且 y0”是“xyyx2”的充分不必要条件 解：选项 A 中，ab01 时不成立；选项 B中， 当 x1 时 y2； 选项 C 中， x0，2时，0cosx0 即 xy0，故“x0 且 y0”为充分不必要条件故选 D (教材改编)设 x0，y0，且 xy18，则xy 的最大值为 ( ) A77 B80 C81 D82 解：因为 x0，y0，所以xy2x
27、y，即xyxy2281，当且仅当 xy9 时取等号，即(xy)max81故选 C 已知f(x)x1x2(x0)， 则f(x)有 ( ) A最大值 0 B最小值 0 C最大值4 D最小值4 解： 因为x2)在xa处取最小值，则 a_ 解：当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x21x2(x2)，即 x3 时取等号则当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3故填 3 (河北衡水中学2017届调考)若 a0， b0， lgalgblg(ab)，则 ab 的最小值为_ 解：由题意得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1a1b1，所以 ab1a1b(ab)
28、2baab22baab4， 当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4故填 4 类型一类型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 (1)已知 a0，b0，且 4ab1，则 ab的最大值为_ 解法一： 因为 a0，b0，4ab1，所以 14ab2 4ab4 ab， 当且仅当 4ab12， 即 a18，b12时，等号成立所以 ab14，ab116，则 ab 的最大值为116 解法二： 因为 4ab1，所以 ab144ab144ab22116，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时等号成立，所以 ab 的最大值为116故填116 (2)已知 x54， 则 f(x)4x214x
29、5的最大值为_ 解： 因为 x0，则 f(x)4x214x554x154x3 2（54x）154x3231当且仅当54x154x，即 x1 时，等号成立故填 1 (3)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为_ 解：由 x3y5xy 可得15y35x1，所以 3x4y(3x4y)15y35x95453x5y12y5x135212y5x3x5y5(当且仅当3x5y12y5x， 即 x1， y12时等号成立)，所以 3x4y 的最小值是 5故填 5 点 拨： 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解
30、常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值注意：使用基本不等式求最值， “一正、二定、三相等”三个条件缺一不可 (1)(2018东北三省四市模拟)已知a0，b0，则a244ab4b2a2b的最小值为 ( ) A14 B1 C2 D4 解： a244ab4b2a2b（a2b）24a2ba2b4a2b2（a2b）4a2b4，当且仅当 a2b 4a2b， 即 a 2b 2 时 等 号 成 立 ， 则a244ab4b2a2b的最小值为 4故选 D (2)(2017山东)若直线xayb1(a0， b0) 过点(1，2)，则 2ab 的最小值为_
31、 解：xayb1(a0， b0)过点(1， 2)， 可得1a2b1，所以 2ab(2ab)1a2b4ba4ab42ba4ab8， 当且仅当 a2， b4 时取“”故填 8 (3)(2017四川乐山一中月考)设 0 x32，则函数 y4x(32x)的最大值为_ 解：y4x(32x)22x(32x)22x（32x）2292， 当且仅当 2x32x，即 x34时，等号成立因为340，32，所以函数 y4x(32x)0 x0，xx23x1a 恒成立， 则实数 a的取值范围是( ) A15， B15， C，15 D，15 解：因为对任意 x0，xx23x1a 恒成立，所以对 x(0， )， axx23x
32、1max， 而对 x(0，)，xx23x11x1x312x1x315，当且仅当 x1x即 x1 时等号成立，所以 a15故选A (2)已知函数 f(x)4xax(x0， a0)在 x3 时取得最小值，则 a_ 解： 因为x0， a0， 所以f(x)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 4x2a 时，f(x)取得最小值又因为 f(x)在 x3 时取得最小值，所以 a43236故填 36 点 拨： 求解含参不等式的策略：观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值另外，要记
33、住几个常见的有关不等式的等价命题： af(x)恒成立af(x)max； af(x)恒成立af(x)min； af(x)有解af(x)min； af(x)有解af(x)max (1)已知不等式(xy)1xay9 对任意正实数 x， y 恒成立， 则正实数 a 的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 解：因为(xy)1xay1axyyxaa12 a，当且仅当axyyx时等号成立 要使原不等式恒成立，则只需 a12 a9恒成立， 所以( a2)( a4)0，解得 a4， 所以正实数 a 的最小值是 4故选 B (2)已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为_ 解：依题
34、意得，x2 2xyx(x2y)2(xy)，即x2 2xyxy2(当且仅当 x2y 时取等号)，即x2 2xyxy的最大值为 2又 x2 2xyxy恒成立，则有 2，即 的最小值为 2故填 2 类型三类型三 利用基本不等式解决实利用基本不等式解决实际问题际问题 (江门2017届调研)如图，某农场要修建3 个形状、 大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000 平方米鱼塘前面要留 4 米宽的运料通道，其余各边为 2 米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？ 解：设每个鱼塘的宽为 x 米，且 x0， 则 AB3x8，AD10 000 x6， 则总面积 y(3x8)10 000
35、 x6 30 04880 000 x18x30 048280 000 x18x32 448，当且仅当 18x80 000 x，即 x2003时，等号成立，此时10 000 x150 即鱼塘的长为 150 米， 宽为2003米时， 占地面积最少为 32 448 平方米 点 拨： 建立关于 x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时， 除了“一正， 二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少， 最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾， 有矛盾则应调整解法 (1)(2016徐州质检)某住宅小区为了使居
36、民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛， 造价为 4 200 元/m2， 在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为 80 元/m2 ()设总造价为 S 元，AD 的长为 x m，试建立S 关于 x 的函数关系式； ()计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？ 解：()设 DQ 的长为 y m，则 x24xy200， 所以 y200 x24x S4 200 x22104
37、xy80412y2 38 0004 000 x2400 000 x2(0 x10 2) ()S38 0004 000 x2400 000 x2 38 00024 000 x2400 000 x2 38 0002 16108118 000， 当且仅当 4 000 x2400 000 x2，即 x 10时取“”，所以 Smin118 000(元)故计划至少要投入 118 万元才能建造这个休闲小区 (2)要制作一个容积为 4 m3， 高为 1 m的无盖(无上底面)长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( ) A80 元 B120 元
38、 C160 元 D240 元 解：设底面相邻两边的边长分别为 x m，y m，总造价为 T 元，则 xy 14xy4T420 (2x2y)1108020(xy)80202 xy80204160(当且仅当 xy2 时取等号)故该容器的最低总造价是 160 元故选 C 1基本不等式的变式和推广 a2b2（ab）22；aba2b22； ab14(ab)2；ab22a2b22； (ab)24ab； ab21a1b； abc33abc；abca3b3c33，等等 对于以上各式，要明了其成立的条件和取“”的条件 2在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，
39、 还要考虑常数项)必须是正数； “二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值 3基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、 平方等)构造“和”或者“积”， 使之为定值 4求1a1b型最值问题， 常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决， 而要借助于其他求值域的方法来解决 5基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”
40、转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点 1(2017阜阳一模)下列结论正确的是( ) A若 a，bR，则baab2 B若 x0，则 x4x2x4x4 C若 ab0，则b2aa2bab D若 x2 解： 对于 A， 当 ab0 时不成立； 对于 B， 若 x0，则 x4xx4x2（x）4x 4，当且仅当 x2 时，等号成立，因此 B 选项不成立；对于 C，取 a1，b2，即b2aa2b92ab3，所以 C 选项不成立；对于 D，若x0，则 02x1，所以 2x2x2 成立故选
41、 D 2(2018武汉模拟)下列命题中正确的是 ( ) A函数 yx1x的最小值为 2 B函数 yx23x22的最小值为 2 C函数 y23x4x(x0)的最小值为 24 3 D函数 y23x4x(x0)的最大值为 24 3 解：yx1x的定义域为x|x0，当 x0 时，函数有最小值 2，当 x2，B 项不正确；因为 x0 时，3x4x23x4x4 3，当且仅当 3x4x，即 x2 33时取等号，所以 y23x4x，有最大值 24 3，故 C 项不正确，D 项正确故选 D 3(2018西安模拟)设OA(1， 2)， OB(a，1)，OC(b，0)(a0，b0，O 为坐标原点)，若 A，B，C
42、三点共线，则2a1b的最小值是( ) A4 B92 C8 D9 解： 因为ABOBOA(a1， 1)， ACOCOA(b1，2)，若 A，B，C 三点共线，则有 ABAC，所以(a1)21(b1)0，所以2ab1又 a0，b0，所以2a1b2a1b(2ab)52ba2ab522ba2ab9，当且仅当2ba2ab，2ab1，即 ab13时等号成立故选 D 4(2017山东)若 ab0，且 ab1，则下列不等式成立的是 ( ) Aa1bb2alog2(ab) Bb2alog2(ab)a1b Ca1blog2(ab)b2a Dlog2(ab)a1bb2a 解法一：(特值法)依题意不妨设 a2，b12
43、，则 a1b4，b2a18，log2(ab)log252(1，2) 解法二：(通解)由 ab0 及 ab1 得 a1，且 b1a(0，1)，所以b2a(0，1)，2a1aa baaa1b，故 1log2(ab)log2a1b a1b故选 B 5已知 a0，b0，若不等式m3ab3a1b0恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A4 B16 C9 D3 解：因为 a0，b0，所以由m3ab3a1b0恒成立得 m3a1b(3ab)103ba3ab恒成立因为3ba3ab23ba3ab6，当且仅当 ab时等号成立，故 103ba3ab16，所以 m16，即m 的最大值为 16故选 B 6(2018太原模拟
44、)已知 x，y 为正实数，则4xx3y3yx的最小值为 ( ) A53 B103 C32 D3 解：由于 x，y 为正实数，则4xx3y3yx4xx3y3yxx124xx3y3yxx13，当且仅当4xx3y3yxx时，等号成立，则其最小值为 3故选 D 7(2018沈阳模拟)设等差数列an的公差是d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则Sn8an的最小值是_ 解：ana1(n1)dn，Snn（1n）2，所以Sn8ann（1n）28n12n16n1122n16n1 92，当且仅当 n4 时取等号所以Sn8an的最小值是92故填92 8(2017天津)若 a，bR，ab0，则a44b41ab的
45、最小值为_ 解法一：因为 ab0，所以a44b41ab2 4a4b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a22b2，ab12时取等号，故a44b41ab的最小值是 4 解法二：因为a44b41aba3b4b3a1ab，所以由基本不等式得a3b4b3a1ab2a3b4b3a1ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a3b4b3a，4ab1ab同时成立时等号成立故填 4 9已知 x0，y0，且 2x5y20 (1)求 ulgxlgy 的最大值； (2)求1x25y的最小值 解：(1)因为 x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2 10 xy因为 2x5y20， 所以 2
46、 10 xy20，xy10，当且仅当2x5y20，2x5y，即x5，y2时，等号成立此时 xy 有最大值 10 所以 ulgxlgylg(xy)lg101 则当 x5，y2 时，ulgxlgy 有最大值 1 (2)因为 x0， y0， 所以1x25y1x25y2x5y2012045yx4x5y120425yx4x5y25， 当且仅当2x5y20，5yx4x5y，即x5，y2时，等号成立所以1x25y的最小值为25 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解： (1)由 2x8yxy0， 得8x2y1， 又 x0，y0， 则 18x2y28x
47、2y8xy，得 xy64， 当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立 (2)方法一：由 2x8yxy0，得 x8yy2， 因为 x0，所以 y2， 则 xyy8yy2(y2)16y21018， 当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立 方法二：由 2x8yxy0，得8x2y1， 则 xy8x2y(xy)102xy8yx1022xy8yx18，当且仅当 y6，x12 时等号成立 11(2018河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带， 该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵
48、站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元， 铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为 y 万元 (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解：(1)设需要修建 k 个增压站， 则(k1)x240，即 k240 x1 所以 y400k(k1)(x2x) 400240 x1 240 x(x2x) 96 000 x240 x160 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则0 x240 故 y 与 x 的函数关系为 y96 000 x240 x160(0 x240) (2)因为 0 x
49、0，b0，当 ab 为定值时，ab，a2b2有_，即 ab_，a2b2_简记为：积定和最小 6求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即_，亦即_；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即_简记为：和定积最大 7拓 展 ：若 a 0 ，b 0 时 ，21a1b_ab2_， 当且仅当 ab 时等号成立 自查自纠： 1ab2 2ab 32ab 4ab2 ab 5最小值 2 ab 2ab 6abab22 ab14(ab)2 aba2b22 7ab a2b22 下列说法正确的是 ( ) Aa0，b0，则 a2b22 ab B函数 yx1x的最小值是 2 C函数 f(x)
50、cosx4cosx，x0，2的最小值等于 4 D “x0 且 y0”是“xyyx2”的充分不必要条件 解：选项 A 中，ab01 时不成立；选项 B中， 当 x1 时 y2； 选项 C 中， x0，2时，0cosx0 即 xy0，故“x0 且 y0”为充分不必要条件故选 D (教材改编)设 x0，y0，且 xy18，则xy 的最大值为 ( ) A77 B80 C81 D82 解：因为 x0，y0，所以xy2xy，即xyxy2281，当且仅当 xy9 时取等号，即(xy)max81故选 C 已知f(x)x1x2(x0)， 则f(x)有 ( ) A最大值 0 B最小值 0 C最大值4 D最小值4